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.524 北京科技大学学报 第30卷 f=ca.-2c(t-i(。-) 度的表达式，弹性能密度对P和M变分可得： òfh/p=-2p[(e1-2ge33C12/C1E)品- f出=之c贵=c(暗-0(。-“) (qoa-qexs/CHE)P2-fM qe33/Cug] (9) (6) òf出/6M=-2M/M(C出-CHC/Cw)2- 其中，C和C分别为两相的弹性模量，和蹬为 总应变，e和e为两相相变引起的自发应变，e,和 C(-q/CuM)(m2-3)-frCH/Cu e为弹性应变不考虑平面内扭转，2=1== (10) 瑙=0.基底引起的平均弹性应变为1=2= 其中， 路=路=品=F+ aM ap i-1,其中ap、 q11=2Q12(CH+Cf)+2Q11C5, q33=2Q12C+Q11C5, 2aM和a,分别为铁电相、铁磁相平面内方向的晶格 gog=012[2Q12(Ch+cf2)+2 Qucf2)]+ 长度和基底的晶格长度，这里认为基底为刚性的， Qu(2012 cf2+ouch). 并采用有效基底长度α来计入了位错的影响. 于是，显式的铁电、铁磁金兹堡一朗道方程耦合方程 =ap=1- 0 (7) 可以写为： aol 其中，=1-1 -L5ap20 as fap+(1-f)am e、一，hp=fh+ -LF(1-f)AF(T-T)P+BEp+ (1一f)h,am=fau十(1-f)p·这里h和h品 分别为铁磁相和铁电相的无位错临界厚度，hp和ao cp-2诚影-i周 (11) 分别为薄膜的平均临界厚度和平均晶格常数，©为 薄膜相对于基底的失配应变 业W=-18n20= 垂直方向的平均应变站和路可以通过平衡方 -L"A(T-T尚M+B"n3- 33一 程(1-f)成+∫端=0和位移相容条件仰一- (12) =△解出，△为两相晶格在界面处的差值· a∫ 其中， 高=C品2品-Pt) AF=AE(T-T)-2[(qel-2qe33 C120/ CE)一fMqe33)/C1E], 题-品ec-in+) (8) Ar'=AM(T-T)-2/M(C盛- 其中， C12=(1-f)C⑤+fC出， CM C120/CIM)2e-cMfp/CIIM+ c=(l-f)ci+f子p 子cN(A-/Gw】 LE和LM分别为两相畴壁移动的动力系数 cu-/ 对表面相变分可得出边界条件： g1=(1-f)(2c5Q12+c5Q1), . 9出=f(2C出z+CHa), =-f[ec造+c借02-/3)+f -{= P=0(x=0),3:= f--(-iech0z+chu)(c aM=-业(x=lu), aM=0(x=0) (13) fM为铁电相极化强度对铁磁相的贡献，fp则相反· 其中，lp=l(1一f和lu=lWf分别为铁电和铁磁x 把以上结果代入方程(6)，则可以得到弹性能密 方向的长度，f E elas＝ 1 2 C E ijkle p kle p mn＝ 1 2 C E ijkl（εp kl－ε E kl）（εp mn－ε E mn） f M elas＝ 1 2 C M ijkle m kle m mn＝ 1 2 C M ijkl（εm kl－ε M kl）（εm mn－ε M mn） （6） 其中C E ijkl和 C M ijkl分别为两相的弹性模量εp kl和εm kl为 总应变ε E kl和ε M kl为两相相变引起的自发应变e p kl和 e m kl为弹性应变不考虑平面内扭转εp 12＝εp 21＝εm 12＝ εm 21＝0．基底引起的平均弹性应变为 εp 11＝εp 22＝ εm 11＝εm 22＝ε0 11＝ f aM ＋ 1－ f aP a aff s －1其中 aP、 2aM 和 as 分别为铁电相、铁磁相平面内方向的晶格 长度和基底的晶格长度．这里认为基底为刚性的 并采用有效基底长度 a eff s 来计入了位错的影响． a eff s ＝ as ρas＋1 ρ＝ ε0′ 11 a0 1－ hρ h （7） 其中ε0′ 11＝1－ 1 as aM aP f aP＋（1－ f ） aM hρ＝ f h M ρ ＋ （1－ f ） h P ρa0＝ f aM＋（1－ f ） aP．这里 h M ρ 和 h P ρ 分别为铁磁相和铁电相的无位错临界厚度hρ和 a0 分别为薄膜的平均临界厚度和平均晶格常数ε0′ 11为 薄膜相对于基底的失配应变． 垂直方向的平均应变εp i3和 εm i3可以通过平衡方 程（1－ f ）σ E 33＋ fσ M 33＝0和位移相容条件 aP εp 33 1－ f － aM εm 33 f ＝Δ解出Δ为两相晶格在界面处的差值． εp 33＝ －1 C11E （2C 0 12ε0 11－q E 11P 2＋ f M） εm 33＝ －1 C11M （2C 0 12ε0 11－q M 11M 2＋ f P） （8） 其中 C 0 12＝（1－ f ） C E 12＋ fC M 12 C11E＝（1－ f ） C E 11＋ f 2 1－ f C M 11 cP cM C11M＝ fC M 11＋ （1－ f ） 2 f C E 11 cM cP q E 11＝（1－ f ）（2C E 12Q12＋C E 11Q11） q M 11＝ f （2C M 12λ12＋C M 11λ11） f M＝－f ［（2C M 12λ12＋C M 11λ11）（m 2－1／3）＋fC M 11 Δ cM fP＝－（1－f）［（2C E 12Q12＋C E 11Q11）P 2－（1－f）C E 11 Δ cP f M 为铁电相极化强度对铁磁相的贡献f P 则相反． 把以上结果代入方程（6）则可以得到弹性能密 度的表达式．弹性能密度对 P 和 M 变分可得： δf E elas／δP＝－2P［（ qc11－2qc33C120／C11E）ε0 11－ （ qcq－qc33／C11E） P 2－ f M qc33／C11E ］ （9） δf M dlas／δM＝－2Mλ11／M 2 s （C M 12－C M 11C120／C11M）2ε0 11－ C M 11（λ11－q M 11／C11M）（ m 2－ 1 3 ）－ f P C M 11／C11M （10） 其中 qc11＝2Q12（C E 11＋C E 12）＋2Q11C E 12 qc33＝2Q12C E 12＋ Q11C E 11 qcq＝ Q12［2Q12（C E 11＋C E 12）＋2Q11C E 12）］＋ Q11（2Q12C E 12＋ Q11C E 11）． 于是显式的铁电、铁磁金兹堡－朗道方程耦合方程 可以写为： ∂P（ xz t） ∂t ＝－ L E δF δP（ xz t） ＝ － L E （1－ f ） A E （ T－ T E c0） P＋B E P 3＋ C E P 5－2D E 44 ∂2P ∂x 2－ D E 11 ∂2P ∂z 2 （11） ∂M（ xz t） ∂t ＝－ L M δF δM（ xz t） ＝ － L M f A M′（ T－ T M c0） M＋B M′M 3－ D M 44 ∂2M ∂x 2－ D M 11 ∂2M ∂z 2 （12） 其中 A E′＝ A E （ T－ T E c0）－2［（ qc11－2qc33C120／ C11E）ε0 11－ f M qc33）／C11E ］ A M′＝ A M （ T－ T M c0）－2λ11／M 2 s （C M 12－ C M 11C120／C11M）2ε0 11－C M 11f P／C11M＋ 1 3 C M 11（λ11－q M 11／C11M） L E 和 L M 分别为两相畴壁移动的动力系数． 对表面相变分可得出边界条件： ∂P ∂z ＝∓ P δP z z ＝± hP 2 ∂P ∂x ＝－ P δP x （ x＝ lP） ∂P ∂n ＝0（ x＝0） ∂M ∂z ＝∓ M δM z z ＝± hM 2 ∂M ∂x ＝－ M δM x （ x＝ lM） ∂M ∂n ＝0（ x＝0） （13） 其中lP＝ l（1－ f 和 lM＝ l f 分别为铁电和铁磁 x 方向的长度． ·524· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷