中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 5 三、(25分)一质量为m、长为L的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴O在竖直平面内自由 转动.杆在水平状态由静止开始下摆， 1.令1=”表示细杆质量线密度。当杆以角速度0绕过其一端的光滑水平轴0在竖直平面内转动 时，其转动动能可表示为 E=k“o 式中，k为待定的没有单位的纯常数.已知在同一单位制下，两物理量当且仅当其数值和单位都相 等时才相等.由此求出α、B和y的值 2.己知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系（随 质心平动的参考系)中的动能之和，求常数k的值 3.试求当杆摆至与水平方向成0角时在杆上距O点为r处的横截面两侧部分的相互作用力.重力加 速度大小为g」 提示：如果X(t)是t的函数，而Y(X(t)是X(t)的函数，则Y(X(t)对1的导数为 dy(X()_dy dx dx dr 例如，函数cos(t)对自变量t的导数为 dcos(dcose de dr de dt 参考解答 1.当杆以角速度0绕过其一端的光滑水平轴O在竖直平面内转动时，其动能是独立变量1、。和 L的函数，按题意可表示为 E4=ka“o (1) 式中，k为待定常数（单位为1）.令长度、质量和时间的单位分别为[L]、[M]和[T](它们可视 为相互独立的基本单位)，则1、o、L和E的单位分别为 []=[M[L, [o]=[TT, (2) [L]=[L, [E]=[MI[L[T]2 在一般情形下，若[q]表示物理量g的单位，则物理量q可写为 q=(q)[q] (3) 式中，(q)表示物理量q在取单位[q时的数值.这样，(I)式可写为 (E.)[E]=k(2)(o)P(L)y[][o[LY (4 在由(2)表示的同一单位制下，上式即 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理5 三、（25 分）一质量为m 、长为 L 的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内自由 转动. 杆在水平状态由静止开始下摆， 1. 令 m L l = 表示细杆质量线密度. 当杆以角速度w 绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内转动 时，其转动动能可表示为 E k L k   g = l w 式中，k 为待定的没有单位的纯常数. 已知在同一单位制下，两物理量当且仅当其数值和单位都相 等时才相等. 由此求出 、 和g 的值. 2. 已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系（随 质心平动的参考系）中的动能之和，求常数k 的值. 3. 试求当杆摆至与水平方向成q 角时在杆上距O 点为 r 处的横截面两侧部分的相互作用力. 重力加 速度大小为 g . 提示：如果 tX )( 是t 的函数，而 tXY ))(( 是 tX )( 的函数，则 tXY ))(( 对t 的导数为 d ( ( )) d d d d d Y X t Y X t X t = 例如，函数cos ( ) q t 对自变量t 的导数为 d cos ( ) d cos d d d d t t t q q q q = 参考解答： 1. 当杆以角速度w 绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内转动时，其动能是独立变量l 、w 和 L 的函数，按题意 可表示为 E k L k   g = l w (1) 式中，k 为待定常数（单位为 1）. 令长度、质量和时间的单位分别为[ ] L 、[ ] M 和[ ] T （它们可视 为相互独立的基本单位），则l 、w 、 L 和 Ek 的单位分别为 1 1 2 2 [ ] [ ][ ] , [ ] [ ] , [ ] [ ], [ ] [ ][ ] [ ] k M L T L L E M L T l w - - - = = = = (2) 在一般情形下，若[ ] q 表示物理量q 的单位，则物理量q 可写为 q q q = ( )[ ] (3) 式中，( ) q 表示物理量q 在取单位[ ] q 时的数值. 这样，(1) 式可写为 ( )[ ] ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] E E k L L k k   g   g = l w l w (4) 在由(2)表示的同一单位制下，上式即 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理