《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 例8设a,b>0,证明ma+b=ma,) 证明ma,b)=ma,b)≤a+bs2mNa,b)→ma,b). 二、数列的子列 (一)引言 极限是个有效的分析工具.但当数列{a}的极限不存在时，这个工具随之失效.这能说明什 么呢？难道{a,}没有一点规律吗？当然不是！出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特 征角度对数列进行研究那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序， 可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部 分数列”就是要讲的“子列” (二)子列的定义 定义1设{a}为数列，{n}为正整数集N的无限子集，且%<%<%<.<m<,则数 0an.,a 称为数列{a,)的一个子列，简记为{a,} 注1由定义可见，{a}的子列{a。}的各项都来自{a}且保持这些项在{a}中的的先后次 序.简单地讲，从{a,}中取出无限多项，按照其在{a,}中的顺序排成一个数列，就是{a}的一个 子列（或子列就是从{a,}中顺次取出无穷多项组成的数列）· 注2子列{a}中的n表示an是{a}中的第m项，k表示a。是{a}中的第k项，即{a} 中的第k项就是{a}中的第n,项，故总有n>k.特别地，若=k,则a=a,即{a}-{a,} 注3数列{a}本身以及{an}去掉有限项以后得到的子列，称为{a}的平凡子列：不是平 凡子列的子列，称为{a}的非平凡子列. 如{a},{a}都是{a}的非平凡子列.由上节例知：数列{a}与它的任一平凡子列同为收 敛或发散，且在收敛时有相同的极限 那么数列{a}的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果：《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 7 例 8 设 a ,b  0 ，证明 lim a b max( a ,b) n n n n + = → . 证明 max( a ,b) max( a ,b) a b 2max( a ,b) max( a ,b) = n n  n n + n  n n → . 二、 数列的子列 (一) 引言 极限是个有效的分析工具.但当数列 an 的极限不存在时，这个工具随之失效.这能说明什 么呢？难道 an 没有一点规律吗？当然不是! 出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特 征角度对数列进行研究.那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序， 可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部 分数列”就是要讲的“子列”. (二) 子列的定义 定义 1 设 an 为数列， nk 为正整数集 N+ 的无限子集，且 1 2 3 k n n n n      ，则数 列 1 2 , , , , k n n n a a a 称为数列 an 的一个子列，简记为 ank . 注 1 由定义可见， an 的子列 ank  的各项都来自 an 且保持这些项在 an 中的的先后次 序.简单地讲，从 an 中取出无限多项，按照其在 an 中的顺序排成一个数列，就是 an 的一个 子列（或子列就是从 an 中顺次取出无穷多项组成的数列）. 注 2 子列 ank  中的 k n 表示 k n a 是 an 中的第 k n 项， k 表示 k n a 是 ank  中的第 k 项，即 ank  中的第 k 项就是 an 中的第 k n 项，故总有 k n k  . 特别地，若 k n k = ，则 k n n a a = ，即     k n n a a = . 注 3 数列 an 本身以及 an 去掉有限项以后得到的子列，称为 an 的平凡子列；不是平 凡子列的子列，称为 an 的非平凡子列. 如 a a 2 2 1 k k , −  都是 an 的非平凡子列.由上节例知：数列 an 与它的任一平凡子列同为收 敛或发散，且在收敛时有相同的极限. 那么数列 an 的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果：