北京大学数学科学学院高等代数(I)期末考试题 班级姓名 学号 成绩 (本题20分)设K为数域。给定K4的两个子空间 M={(x1,x2,x3,x4)|2x1-x2+4x3-3x4=0,x1+m3-x4=0 N={(x1,x2,x3,4)3x1+x2+x3=0,7x1+7x3 求子空间M∩N和M+N的维数和一组基 二.(本题10分)在K4内给定 1=(1,-1,1,1),a=(2,-2,0,1) 令M=L(a1,a2).试求商空间K4/M的维数和一组基 三.(本题20分)给定数域K上的3阶方阵 24-2 3-35 求K上的3阶可逆方阵T,使T-1AT为对角矩阵 2.对于任意正整数m,求Am 四.(本题共15分)设V,U是数域K上的线性空间,dimV=m,dimU=m,f Hom(VU).在V内取基a1,…,=n,在U内取基m,,m,设∫在这两组取定的基下的 矩阵为A∈Mm,n(K) (本题5分)设 且 a=x1E1+…+x 证明f(a)=(m 2.(本题6分)设r(4)=n.给定V内的一个向量组a1,a2,…,as,证明V内向量 可被a1,a2,…,as线性表示的充分必要条件是U内的向量f()可被f(a1),f(a2) f(as)线性表示 3.(本题4分)设B∈Mm,n(K),且r(B)=r(4).证明V内存在一组基e1,,,U 内存在一组基m1,…,mn,使得f在此两组基下的矩阵为B￾ ✁✂✄☎✆☎✝☎☎✞✟✡✠☛✆ ☞✍✌✏✎✒✑✓✔✕✖ ✗✙✘ ✚✜✛ ✢✙✣ ✤✙✥ ✦★✧✪✩✬✫★✭✯✮✱✰✳✲✵✴✷✶✙✸✺✹★✻✽✼★✧✿✾✽❀✙✸❂❁❄❃✽❅★❆★❇✽❈❊❉ ❋✯●✳❍ ✩❏■▲❑◆▼❖■◗P✍▼❘■◗❙✱▼❘■❁ ✴❯❚❱✮❱■❲❑❨❳❩■◗P❨❬❪❭✍■◗❙❯❳❴❫❱■❁ ● ✰❵▼❨■▲❑❛❬❜■◗❙❯❳❩■❁ ● ✰❞❝❡▼ ❢❣●✳❍ ✩❏■▲❑◆▼❖■◗P✍▼❘■◗❙✱▼❘■❁ ✴❯❚❤❫✱■❲❑❛❬❜■◗P❨❬❪■✐❙ ● ✰❵▼❦❥◆■❲❑❧❬♠❥◆■✐❙❯❳❴❫❱■❁ ● ✰❞❝❡♥ ♦❇✽❈❊❉ ❋q♣r❢❣s✙❋ ❬ ❢ ❃✽t★✻s✽✉★✈✽✇✧ ①✧✪✩✬✫★✭ ￾ ✰✳✲✵✴✷②✙✸❂❁④③❜✾★❀ ⑤❑ ● ✩ ￾ ▼⑥❳ ￾ ▼ ￾ ▼ ￾ ✴⑦▼ ⑤P ● ✩⑧✮⑨▼⑥❳❦✮⑨▼❖✰⑨▼ ￾ ✴⑦♥ ⑩ ❋✯●✵❶ ✩⑤❑❤▼ ⑤P❷✴⑦❸✏❹♦✽❺❈❊❉❻✸❼❁◆❽❋ ❃★t✽✻s✽✉★✈★✇✧ ❾✧✪✩✬✫★✭✯✮✱✰✳✲✵✴✷✾★❀✽✻★✼✙✸✺❿★❃✙❫✳➀✽➁❊➂ ➃ ● ➄➅ ➅➆ ￾ ❳ ￾ ￾ ✮ ❭ ❳❦✮ ❳➇❫ ❳➇❫ ➈ ➉⑥➊➊ ➋ ♥ ￾ ❸ ♦ ✸✺❿★❃✙❫✳➀✽➌★➍★➁➎➂➐➏➒➑❡➓➔➏➣→ ❑ ➃ ➏★✹★↔✽↕★➙❊➂❜✧ ✮❞❸✏↔✽➛★➜★➝✽➞★➟✽✻➔➠✪➑ ♦ ➃➢➡ ❸ ➤ ✧➥✩✬✫➦✭➥➧ ￾ ➈❼✲➨✴➩✶➭➫✷▼➲➯❣➳➥✻➥✼➭✸✜❿➥❃➥➵➥➸➥❈➺❉➼➻ ➽❞➾➪➚✵➫ ●➐➶ ➑➇➽❞➾➪➚➨➯ ● ➠❩➑❦➹➺➘ ➴➇➷➚➬✩⑧➫✷▼➲➯➣✴⑦❸➮②✜➫➱③❪✃✇✙❐ ❑ ▼⑥♥❒♥⑥♥⑦▼ ❐❤❮ ➑❞②✯➯➺③❜✃✇✙❰❑ ▼⑥♥❒♥⑥♥⑥▼ ❰➡ ❸✏✶✜➹Ï②✽Ð★❅✈✃★❀✽❃✇★Ñ❃ ➙❊➂❜✹ ➃ ➘ ❋➡➢Ò ❮ ✩⑧✸✪✴⑦❸ ￾ ❸➇✩✬✫★✭✜➈➒✲✵✴✷✶ ⑤ ➘Ï➫Ó➑ÕÔ ⑤ ● ■❲❑ ❐ ❑❛❬➨Ö⑥Ö⑥Ö◆❬❪■❮ ❐ ❮ ● ✩❐ ❑◆▼❒♥⑥♥⑥♥❒▼ ❐ ❮ ✴Ø×❼♥ Ù❊Ú ➹➮✩⑤✴ ● ✩❰ ❑ ▼❒♥⑥♥⑥♥❒▼ ❰➡ ✴⑦✩➃×✪✴⑦❸ ✮❞❸➇✩✬✫★✭✙Û✳✲✵✴✷✶➔Ü❷✩➃ ✴ ●✵➶ ❸✏✾✽❀✜➫Ý③❜❃✉❆❊Þ❪ß✈ ⑤ ❑◆▼ ⑤P❱▼❒♥⑥♥❒♥⑥▼ ⑤➮à ❸ Ù❊Ú ➫á③✽Þ❪ß➔â ➌➨ã ⑤ ❑◆▼ ⑤P✱▼⑥♥⑥♥❒♥⑥▼ ⑤✏à ➵➨➸➨ä➨å➨❃★æ➨✲➨ç➨è➨é★ê➨➳ë➯ì③❴❃íÞ❴ßë➹➮✩❏â✏✴▲➌★ãq➹➮✩⑤ ❑⑦✴î▼➲➹➮✩⑤P❷✴⑦▼ ♥⑥♥❒♥⑥▼➲➹➮✩⑤➮à ✴✷➵★➸★ä✽å★✧ ❫⑨❸➇✩✬✫★✭➔❭ï✲✵✴✷✶✙ð➎➘ ❋➡➢Ò ❮ ✩ñ✸❩✴î➑ÕÔ➔Ü❷✩ñðï✴ ● Ü❷✩➃ ✴⑦❸ Ù❊Ú ➫á③❜ò★②✉★✈★✇ó❐❱ô❑ ▼⑥♥⑥♥❒♥⑥▼ ❐❤ô❮ ➑✐➯ ③❪ò✽②✉✽✈★✇➔❰❞ô❑ ▼⑥♥❒♥⑥♥⑦▼ ❰Õô➡ ➑❡➓★õö➹➬②★÷★❅✈★✇✽Ñ❃★➙➎➂❪✹✜ðø❸