·200 智能系统学报 第9卷 vm）+dn-1a-D+…+d+d。=y0p(14) 证明选取逼近误差的Lyapunov函数为 式中：d,(i=0,1,…,n-1)、y均为DAFLS的动态 V(G)=2(G)-0'G)p)2+(u,(k)-0'G)p)月 参数。 其一阶差分为 假设(14)的动态形成低通滤波。将其离散化 得到离散的DAFLS, △VG)=1/2({[CAnG)]2+[Cb0(G)p])2- (k)[r0+T1z1+…+Tnz]=w0p(15) [Cn(j)]2+2CAn(j)Cb 0"(j)p+ 式中：r:(i=0,1,…,n)、w是导出的参数。运用 Cn(j)0(j)p -0(j+1)pCAn(j)- DAFLS逼近滑模控制式(4)。 0'G+1)pCb0')p+ 将滤波器（式(14）)看作一个子系统，可以通过 1/2(1[0'G+1)p]2-[0'U)p]2)+ 选择状态变量，将式(15)变为状态空间模型， [0'(G+1)p]2-[0()p]2+ 2u,(k)[0)-0G+1)]'p= (n(j+1)=An(j)+b0(j)p (16) (j)=Cn(j) 1/2(1[CAn)]2+[Cb0'U)p])2- 式中：0'p看作是子系统(16)的输入，x()是这个 [Cn(j)]+CAn(j)Cb0"(j)p+Cn(j)0(j)p- 子系统的输出。定理2已经证明如果没有引入滤波 0'G+1)pCAG)-0'G+1)pCb0'()p+ 器动态，AFLS逼近滑模控制的误差是收敛的。现在 3[0G+1p2-20Upl)+ 选取新的关于其输出()与滑模控制之间误差的 2u,(k)[0)-0G+1)]'p 正定Lyapunov函数，其一阶差分负定，则DAFLS的 输出()在适当的自适应律下逼近滑模控制的误 若代入0(G+1)-0G)=p(u(k)-0'()p),有 差仍然收敛。DAFLS中的动态滤波器可以看作是 40=2[CAn0]+[Ch00p]- 线性系统(16)。 [Cm)]2}+Cm)0'()p- 3主要结果 [0()p]2Cb-0'(G)pCA)(1-Cb) p'p(u.(k)-0'G)p)·(CAn(j)+Cb0'(U)p)+ 3.1动态AFLS的逼近误差 定理3对于准滑模控制(4)，若DAFLS(16) 3u(-0Gp1ypp产+ 以(11)为自适应机构且其参数满足：ACCA半负 30(U)p[u,(k)-0'(j)p]p'p- 定，Cb=1,采样周期T2远比准滑模控制(4)的采样 2u,(k)[u,(k)-0'(G)p]pp (17) 周期T,小，则DAFLS(16)逼近准滑模控制(4)的误 若Cb=1,式(17)变为 差渐近收敛。 AG)=21[CAnG)]2-[0'G)p]2-[C0)]2}+Cm)'p-pp(u,(k)- p)CA)+-2t()p 4G)=[CAnG)]2-2[CAm)+p'p(u,()-0rGp)12- IC()p+2()-P'](k)-p 若矩阵A、C满足Lyapunov方程 v0)=u,(k)=0(U)p AT CCA-CC=-0 成立。根据Lyapunov理论逼近误差收敛。证毕。 其中Q=Q,Q>0。则有[CAn)]2≤[Cm()]2 3.2近似逼近下的滑模可达性 则 定理4对于准滑模控制(4)，若DAFLS(16) △V)≤2[(p'p)2-p'p][u,(k)-0'U)p]2 以(11)为自适应机构且其参数且满足定理2内容， 又因为p是模糊基向量则pp≤1。因此有 则滑模到达条件(6)能够得到满足。 AV()≤0成立。若4V()=0成立则有 证明考虑不等式离散到达条件，ｖ （ｎ） ＋ ｄｎ－１ ｖ （ｎ－１） ＋ … ＋ ｄ１ ｖ · ＋ ｄ０ ＝ γ θ Ｔ ｐ （１４） 式中： ｄｉ（ｉ ＝ ０，１，…，ｎ － １） 、 γ 均为 ＤＡＦＬＳ 的动态 参数。 假设（１４）的动态形成低通滤波。 将其离散化 得到离散的 ＤＡＦＬＳ， ｖ（ｋ）［ｒ０ ＋ ｒ１ ｚ －１ ＋ … ＋ ｒｎ ｚ －ｎ ］ ＝ ω θ Ｔ ｐ （１５） 式中： ｒｉ（ｉ ＝ ０，１，…，ｎ） 、 ω 是导出的参数。 运用 ＤＡＦＬＳ 逼近滑模控制式（４）。 将滤波器（式（１４））看作一个子系统，可以通过 选择状态变量，将式（１５）变为状态空间模型， η（ｊ ＋ １） ＝ Ａη（ｊ） ＋ ｂ θ Ｔ （ｊ）ｐ ｖ（ｊ） ＝ Ｃη（ｊ） { （１６） 式中： θ Ｔ ｐ 看作是子系统（１６）的输入， ｖ（ｊ） 是这个 子系统的输出。 定理 ２ 已经证明如果没有引入滤波 器动态，ＡＦＬＳ 逼近滑模控制的误差是收敛的。 现在 选取新的关于其输出 ｖ（ｊ） 与滑模控制之间误差的 正定 Ｌｙａｐｕｎｏｖ 函数，其一阶差分负定，则 ＤＡＦＬＳ 的 输出 ｖ（ｊ） 在适当的自适应律下逼近滑模控制的误 差仍然收敛。 ＤＡＦＬＳ 中的动态滤波器可以看作是 线性系统（１６）。 ３ 主要结果 ３．１ 动态 ＡＦＬＳ 的逼近误差 定理 ３ 对于准滑模控制（４），若 ＤＡＦＬＳ（１６） 以（１１）为自适应机构且其参数满足： Ａ Ｔ Ｃ ＴＣＡ 半负 定， Ｃｂ ＝ １，采样周期 Ｔ２ 远比准滑模控制（４）的采样 周期 Ｔ１ 小，则 ＤＡＦＬＳ（１６）逼近准滑模控制（４）的误 差渐近收敛。 证明 选取逼近误差的 Ｌｙａｐｕｎｏｖ 函数为 Ｖ（ｊ） ＝ １ ２ （ｖ（ｊ） － θ Ｔ （ｊ）ｐ） ２ ＋ （ｕｓ（ｋ） － θ Ｔ （ｊ）ｐ） ２ 其一阶差分为 ΔＶ（ｊ） ＝ １ ／ ２（｛［ＣＡη（ｊ）］ ２ ＋ ［Ｃｂ θ Ｔ （ｊ）ｐ］） ２ － ［Ｃη（ｊ）］ ２ ＋ ２ＣＡη（ｊ）Ｃｂ θ Ｔ （ｊ）ｐ｝ ＋ Ｃη（ｊ） θ Ｔ （ｊ）ｐ － θ Ｔ （ｊ ＋ １）ｐＣＡη（ｊ） － θ Ｔ （ｊ ＋ １）ｐＣｂ θ Ｔ （ｊ）ｐ ＋ １ ／ ２（｛［θ Ｔ （ｊ ＋ １）ｐ］ ２ － ［θ Ｔ （ｊ）ｐ］ ２ ｝） ＋ ［θ Ｔ （ｊ ＋ １）ｐ］ ２ － ［θ Ｔ （ｊ）ｐ］ ２ ＋ ２ｕｓ（ｋ） ［θ（ｊ） － θ（ｊ ＋ １）］ Ｔ ｐ ＝ １ ／ ２（｛［ＣＡη（ｊ）］ ２ ＋ ［Ｃｂ θ Ｔ （ｊ）ｐ］） ２ － ［Ｃη（ｊ）］ ２ ｝ ＋ ＣＡη（ｊ）Ｃｂ θ Ｔ （ｊ）ｐ ＋ Ｃη（ｊ） θ Ｔ （ｊ）ｐ － θ Ｔ （ｊ ＋ １）ｐＣＡη（ｊ） － θ Ｔ （ｊ ＋ １）ｐＣｂ θ Ｔ （ｊ）ｐ ＋ ３ ２ （［θ Ｔ （ｊ ＋ １）ｐ］） ２ － ３ ２ （［θ Ｔ （ｊ）ｐ］） ２ ＋ ２ｕｓ（ｋ） ［θ（ｊ） － θ（ｊ ＋ １）］ Ｔ ｐ 若代入 θ（ｊ ＋ １） － θ（ｊ） ＝ ｐ（ｕ（ｋ） － θ Ｔ （ｊ）ｐ） ，有 ΔＶ(ｊ) ＝ １ ２ ｛［ＣＡη（ｊ）］ ２ ＋ ［Ｃｂ θ Ｔ （ｊ）ｐ］ ２ － ［Ｃη（ｊ）］ ２ ｝ ＋ Ｃη（ｊ） θ Ｔ （ｊ）ｐ － ［θ Ｔ （ｊ）ｐ］ ２Ｃｂ － θ Ｔ （ｊ）ｐＣＡη（ｊ）（１ － Ｃｂ） － ｐ Ｔ ｐ（ｕｓ（ｋ） － θ Ｔ （ｊ）ｐ）·（ＣＡη（ｊ） ＋ Ｃｂ θ Ｔ （ｊ）ｐ） ＋ ３ ２ （［ｕｓ（ｋ） － θ Ｔ （ｊ）ｐ］） ２ （ｐ Ｔ ｐ） ２ ＋ ３ θ Ｔ （ｊ）ｐ［ｕｓ（ｋ） － θ Ｔ （ｊ）ｐ］ ｐ Ｔ ｐ － ２ｕｓ（ｋ）［ｕｓ（ｋ） － θ Ｔ （ｊ）ｐ］ ｐ Ｔ ｐ （１７） 若 Ｃｂ ＝ １， 式（１７）变为 ΔＶ（ｊ） ＝ １ ２ ｛［ＣＡη（ｊ）］ ２ － ［θ Ｔ （ｊ）ｐ］ ２ － ［Ｃη（ｊ）］ ２ ｝ ＋ Ｃη（ｊ） θ Ｔ （ｊ）ｐ － ｐ Ｔ ｐ（ｕｓ（ｋ） － θ Ｔ （ｊ）ｐ）ＣＡη（ｊ） ＋ ３ ２ （ｐ Ｔ ｐ） ２ － ２ ｐ Ｔ ｐ é ë ê ê ù û ú ú ｕｓ（ｋ） － θ Ｔ [ （ｊ）ｐ] ２ ΔＶ（ｊ） ＝ ［ＣＡη（ｊ）］ ２ － １ ２ ＣＡη（ｊ） ＋ ｐ Ｔ [ ｐ（ｕｓ（ｋ） － θ Ｔ （ｊ）ｐ） ] ２ － １ ２ Ｃη（ｊ） － θ Ｔ [ （ｊ）ｐ] ２ ＋ ２ （ｐ Ｔ ｐ） ２ － ｐ Ｔ [ ｐ] ｕｓ（ｋ） － θ Ｔ [ （ｊ）ｐ] ２ 若矩阵 Ａ、Ｃ 满足 Ｌｙａｐｕｎｏｖ 方程 Ａ Ｔ Ｃ ＴＣＡ － Ｃ ＴＣ ＝ － Ｑ 其中 Ｑ ＝ Ｑ Ｔ ，Ｑ ＞ ０。 则有 ［ＣＡη（ｊ）］ ２ ≤ [Ｃη（ｊ） ] ２ 则 ΔＶ（ｊ） ≤ ２ （ｐ Ｔ ｐ） ２ － ｐ Ｔ [ ｐ] ｕｓ（ｋ） － θ Ｔ [ （ｊ）ｐ] ２ 又因为 ｐ 是模糊基向量则 ｐ Ｔ ｐ ≤ １ 。 因此有 ΔＶ（ｊ） ≤ ０ 成立。 若 ΔＶ（ｊ） ≡ ０ 成立则有 ｖ(ｊ) ＝ ｕｓ (ｋ) ＝ θ Ｔ （ｊ）ｐ 成立。 根据 Ｌｙａｐｕｎｏｖ 理论逼近误差收敛。 证毕。 ３．２ 近似逼近下的滑模可达性 定理 ４ 对于准滑模控制（４），若 ＤＡＦＬＳ（１６） 以（１１）为自适应机构且其参数且满足定理 ２ 内容， 则滑模到达条件（６）能够得到满足。 证明 考虑不等式离散到达条件， ·２００· 智 能 系 统 学 报 第 ９ 卷