线性空间中最重要的概念是线性相关与线性无关 定义 线性空间X中有限的向量集合{，·，}是线性相关的，如果存在不 全为零的数a1,·,an,使a+…+ann=0.否则，就称为线性无 关的，这时关系a1+·+andm=0蕴含a1=·=an.一个无穷的 向量集合S称为线性无关的，如果S的每个有限子集都是线性无关的 否则，S称为线性相关的 容易看出，包含一个线性相关子集的集合一定线性相关；线性无关 集一定包含零向量， 定义 设线性空间X,如果存在正整数n,使X包含由n个向量组成的线性 无关集，而且X中每n+1个向量的集合都是线性相关的，则称X是 有限维的；如此的n称为X的维数，有时记作dimX=n 只有零向量的线性空间也称为有限维的，即零维的.如果X不是有限维 的，就称为无穷维的，这时记作dimX=oo. 泛函分析 October 11,2021 5/53线性空间中最重要的概念是线性相关与线性无关. 定义 线性空间 X 中有限的向量集合 {x1, · · · , xn} 是线性相关的，如果存在不 全为零的数 α1, · · · , αn，使 ax1 + · · · + αnxn = 0. 否则，就称为线性无 关的，这时关系 α1x1 + · · · + αnxn = 0 蕴含 α1 = · · · = αn. 一个无穷的 向量集合 S 称为线性无关的，如果 S 的每个有限子集都是线性无关的. 否则，S 称为线性相关的. 容易看出，包含一个线性相关子集的集合一定线性相关；线性无关 集一定包含零向量. 定义 设线性空间 X，如果存在正整数 n，使 X 包含由 n 个向量组成的线性 无关集，而且 X 中每 n + 1 个向量的集合都是线性相关的，则称 X 是 有限维的；如此的 n 称为 X 的维数，有时记作 dimX = n. 只有零向量的线性空间也称为有限维的，即零维的. 如果 X 不是有限维 的，就称为无穷维的，这时记作 dimX = ∞. 泛函分析 October 11, 2021 5 / 53