§20.3三维无界空间 Helmholtz方程的 Greent函数 第8页 §20.3三维无界空间 Helmholtz方程的 Green函数 求三维无界空间中 Helmholtz方程的 Green函数,即在三维无界空间中求解方程 ⅴ2G(r;r3)+k2G(r;r) 6(-T),T,r∈V 关于无穷远处的边界条件,后面再讨论 这个方程是一个非齐次方程,因此,可以按照求解非齐次方程的标准做法 ★先求出方程的一个特解,而将方程齐次化; ★将G(r;r)按相应齐次问题的本征函数展开 这两种做法,特别是第二种做法,原则上没有什么困难,这里不作具体的介绍 ★这又是一个特殊的非齐次方程:只在=r点,非齐次项才不为0 ★而且,由于这是在无界空间,可以适当地安置坐标架,以充分发挥 Laplace算符的不变 性,使问题得到充分的简化 首先作坐标平移, y, c 即将点电荷所在点取为新坐标系的原点.令G(r;r)=9(5,n,(),于是,9(5,n,()满足方程 v,9(,n,()+k2g(,n,()=--6(5)6(m)6() 其中 是以直角坐标5,η,为自变量的 Laplace算符,容易看出,变换后的方程是旋转不变的 g(5,,()只是R=√F2+n2+2的函数,g(5,,()=f(R).因此,如果将直角坐标系(,n,) 转换为球坐标系,则方程将变为R≠0点处的齐次方程 1 d [pdf(r) +k2f(R)=0 (原因是在在R=0点只存在单侧导数)以及R=0点处的边界条件(在R=0点处有一单位点电 荷).此方程是零阶球 Bessel程,它的通解是① f(R)=A(k)-p+B(k) 根据R=0和无穷远处的边界条件定出常数A(k)和B(k) ①如果作变换f(B)=m(R)R,则方程化为 u"(B)+k2u(R)=0. 也容易写出通解§20.3 n‘Ã.mHelmholtz§Green¼ê 1 8  §20.3 n‘Ã.mHelmholtz§Green¼ê ¦n‘Ã.m¥Helmholtz§Green¼ê§=3n‘Ã.m¥¦)§ ∇ 2G(r; r 0 ) + k 2G(r; r 0 ) = − 1 ε0 δ(r − r 0 ), r, r 0 ∈ V. 'uá?>.^‡§￾¡2?Ø© ù‡§´‡šàg§§Ïd§Œ±Uì¦)šàg§IO‰{§ F k¦Ñ§‡A)§ ò§àgz¶ F òG(r; r 0 )UƒAàg¯K¼êÐm© ùü«‰{§AO´1«‰{§KþvkŸo(J§ùp؊äN0© F ùq´‡AÏšàg§µ3r = r 0:§šàg‘â؏0© F …§duù´3Ã.m§Œ±·/S‹Ie§±¿©užLaplace ŽÎØC 5§¦¯K¿©{z© ÄkŠ‹I²£§ ξ = x − x 0 , η = y − y 0 , ζ = z − z 0 , =ò:>Ö¤3:#‹IX:©-G(r; r 0 ) = g(ξ, η, ζ)§u´§g(ξ, η, ζ)÷v§ ∇ 2 ξ,η,ζg(ξ, η, ζ) + k 2 g(ξ, η, ζ) = − 1 ε0 δ(ξ)δ(η)δ(ζ), Ù¥ ∇ 2 ξ,η,ζ ≡ ∂ 2 ∂ξ2 + ∂ 2 ∂η2 + ∂ 2 ∂ζ2 ´±†‹Iξ, η, ζ gCþLaplaceŽÎ©N´wѧC†￾§´^=ØC, g(ξ, η, ζ) ´R = p ξ 2 + η 2 + ζ 2 ¼ê, g(ξ, η, ζ) = f(R). Ïd§XJò†‹IX(ξ, η, ζ) =†¥‹IX§K§òCR 6= 0 :?àg§ 1 R2 d dR h R 2 df(R) dR i + k 2 f(R) = 0 (Ï´33R = 0:3üýê)±9R = 0:?>.^‡(3R = 0:?kü :> Ö)©d§´"¥Bessel§§§Ï)´ f(R) = A(k) e ikR R + B(k) e −ikR R . ŠâR = 0Úá?>.^‡½Ñ~êA(k)ÚB(k)© XJŠC†f(R) = w(R)/R§K§z w 00(R) + k 2w(R) = 0. N´ÑÏ)©