第6期 方锦清等:网络科学中统一混合理论模型的若干研究进展 有序度8.32 fd≠1/1和gr≠1/1任一情形出现,该模型实际上 由此可见,第1曲 HUHPM模型同时进行随包括了不对称连接.第2曲中与第1曲类似,存 机性择优与确定性择优后,初步理论分析结果与在3种不同的典型混合情形,对于随机性连接:(i) 数值模拟结果相一致,通过调控总混合比可以达如果gr>1/1,则属于随机性连接中一般随机(等 到和谐统一,从物理机制上揭示了适当的随机性概率)连接占主导地位;(i)如果gr=1/1,则属 与确定性混合择优能够同时产生无标度特性和小 般随机连接与随机性择优连接两者平分秋色 世界效应上述发现具有应用潜力,主要有以下3情形;(i)如果gr≤1/1,则属于随机性择优连接 方面的应用前景.(1)由于度分布、点强分布和边占主导地位;这里()和(i)两种是随机性择优连 权分布幂律指数γ对总混合比dr的变化具有敏接中不对称混合连接.同样,对于确定性连接:(i) 感性,这一特性与混沌轨道对初始条件的敏感性如果fd》1/1,则属于确定性连接中扶贫(度大 相类似,因此只要巧妙设计就有可能被应用作为的节点与度小的节点)连接占主导地位;(i)如果 种新的加密通信原理和手段,应用于密码学和fd=1/1,则属于确定性连接中扶贫与择优连接两 保密通信领域.(2)由于最短平均路径距离小,而者平分秋色情形;(ⅲ)如果fd≤1/1,则属于确定 群聚系数高,并且随混合比d大小而改变,这样性连接中确定性择优连接占主导情形;显然,()和 人们就可以根据实际需要和要求来设计和调控网(i)两种情形是确定性连接情形下不对称混合连 络结构,以满足实现工程技术上所需要的不同特接.因此,第2部曲的网络所有特性取决于3个混 殊的用途.(3)上述发现有助于理解生命系统、人合比(dr,gr,fd)及其各种组合形式,如此形成的复 类社会和自然界中发生的某些网络特性 杂网络将产生丰富的多样性和复杂性 3.2第2部曲:大统一混合网络模型③3~4o 第2部曲模型的基本算法与第1部曲模型类 应该注意到第1曲 HUHPM模型的精确理似所不同的是考虑了3个混合比(ar,g,fd).当 论分析极具挑战性,模型还需要进一步完善,最主在网络中选择节点与新增节点连接时,假定被选 要一个不足之处是:它仅仅考虑两大类的择优连择的节点1与新节点连接的概率为k,即首先 接方式,还不能完全地反映实际世界网络形成中按照所需的总混合比d确定节点i是随机性连 存在连接方式的多样性和复杂性因为不论随机接还是确定性连接如果是随机性连接方式,就以 性连接,还是确定性连接,只考虑一种“择优”方9的比率按照BA模型的既定生长方式增长网络 式,而不考虑其他的可能连接方式,这与实际情形 以(1-gr)的比率按照ER连接规则增长网络;如 不完全符合.现实世界网络中,随机性和确定性两果是确定性连接方式,按照度分布从大到小进行 大类连接都存在多种混合方式,比如,既可“择优”,排序,以fd的比率按照最大度择优增长网络,以 又能“扶贫",还搞折中”或求“平衡”、特殊”照(1-fd)的比率按照最小度选择增长网络,总的连 顾等其他多种混合连接方式.因此,自然地可把接概率为 HUHPM推广到 LUHNM133(图1中间一环所 Iki 1-gr)ki+gr 示),其特点是:在总混合比d下分别引入了第2 d+rEil(1-gr)k;+grl 层次的二个混合比:一是随机混合比gr定义为 (1-fd +fd 9 GRA RA (4)其中表示取整运算 通过实施把随机性连接与确定性连接相结合 二是确定性混合比fd定义为 的形式,在经过t个时间间隔后,便形成一个有 HPA (5)N=mo+t个节点,mt条边的网络.为了示范 已经利用式(1)、(4)和(5)3种混合比和式(6)进 这样,它们存在的关系为:DA=HPA+DPA;行了研究,结果确实显示了结构及特性的多样性 RA=GRA+RPA,或DA=f+d,RA=g+r.和复杂性,它可把目前文献上大多数网络模型类 事实上,依此类推,根据实际需要,随时可灵活增型统一在内,例如其中至少有8种特殊情形被关 加混合比个数.因此,第2曲模型形成了具有多注:(1)fd=0/1和gr=0/1:退化为和谐统一的混合 个混合比的大统一混合网络模型.只要dr≠1/1,择优模型( HUHPM;(i)fd=0/1,gr不限制:确定第 6 期 方锦清等 : 网络科学中统一混合理论模型的若干研究进展 669 有序度 [31,32] . 由此可见, 第 1 曲 HUHPM 模型同时进行随 机性择优与确定性择优后, 初步理论分析结果与 数值模拟结果相一致, 通过调控总混合比可以达 到和谐统一, 从物理机制上揭示了适当的随机性 与确定性混合择优能够同时产生无标度特性和小 世界效应. 上述发现具有应用潜力, 主要有以下 3 方面的应用前景. (1) 由于度分布、点强分布和边 权分布幂律指数 γ 对总混合比 dr 的变化具有敏 感性, 这一特性与混沌轨道对初始条件的敏感性 相类似, 因此只要巧妙设计就有可能被应用作为 一种新的加密通信原理和手段, 应用于密码学和 保密通信领域. (2) 由于最短平均路径距离小, 而 群聚系数高, 并且随混合比 dr 大小而改变, 这样 人们就可以根据实际需要和要求来设计和调控网 络结构, 以满足实现工程技术上所需要的不同特 殊的用途. (3) 上述发现有助于理解生命系统、人 类社会和自然界中发生的某些网络特性. 3.2 第 2 部曲: 大统一混合网络模型 [33∼40] 应该注意到: 第 1 曲 HUHPM 模型的精确理 论分析极具挑战性, 模型还需要进一步完善, 最主 要一个不足之处是: 它仅仅考虑两大类的择优连 接方式, 还不能完全地反映实际世界网络形成中 存在连接方式的多样性和复杂性. 因为不论随机 性连接, 还是确定性连接, 只考虑一种 “择优” 方 式, 而不考虑其他的可能连接方式, 这与实际情形 不完全符合．现实世界网络中, 随机性和确定性两 大类连接都存在多种混合方式, 比如, 既可 “择优”, 又能 “扶贫”, 还搞 “折中” 或求 “平衡”、“特殊” 照 顾等其他多种混合连接方式. 因此, 自然地可把 HUHPM 推广到 LUHNM[33∼36](图 1 中间一环所 示), 其特点是: 在总混合比 dr 下分别引入了第 2 层次的二个混合比: 一是随机混合比 gr 定义为 gr = g r = GRA RA (4) 二是确定性混合比 f d 定义为 f d = HP A DA (5) 这样, 它们存在的关系为: DA = HP A + DP A; RA = GRA + RP A, 或 DA = f + d, RA = g + r. 事实上, 依此类推, 根据实际需要, 随时可灵活增 加混合比个数. 因此, 第 2 曲模型形成了具有多 个混合比的大统一混合网络模型. 只要 dr6=1/1, f d6=1/1 和 gr6=1/1 任一情形出现, 该模型实际上 包括了不对称连接. 第 2 曲中与第 1 曲类似, 存 在 3 种不同的典型混合情形, 对于随机性连接: (i) 如果 gr À 1/1, 则属于随机性连接中一般随机 (等 概率) 连接占主导地位; (ii) 如果 gr = 1/1, 则属 于一般随机连接与随机性择优连接两者平分秋色 情形; (iii) 如果 gr ¿ 1/1, 则属于随机性择优连接 占主导地位; 这里 (i) 和 (iii) 两种是随机性择优连 接中不对称混合连接. 同样, 对于确定性连接: (i) 如果 f d À 1/1, 则属于确定性连接中扶贫 (度大 的节点与度小的节点) 连接占主导地位; (ii) 如果 f d = 1/1, 则属于确定性连接中扶贫与择优连接两 者平分秋色情形; (iii) 如果 f d ¿ 1/1, 则属于确定 性连接中确定性择优连接占主导情形; 显然, (i) 和 (iii) 两种情形是确定性连接情形下不对称混合连 接. 因此, 第 2 部曲的网络所有特性取决于 3 个混 合比 (dr, gr, f d) 及其各种组合形式, 如此形成的复 杂网络将产生丰富的多样性和复杂性. 第 2 部曲模型的基本算法与第 1 部曲模型类 似, 所不同的是考虑了 3 个混合比 (dr, gr, f d). 当 在网络中选择节点与新增节点连接时, 假定被选 择的节点 i 与新节点连接的概率为 Π ki , 即首先 按照所需的总混合比 dr 确定节点 i 是随机性连 接还是确定性连接, 如果是随机性连接方式, 就以 gr 的比率按照 BA 模型的既定生长方式增长网络, 以 (1 − gr) 的比率按照 ER 连接规则增长网络; 如 果是确定性连接方式, 按照度分布从大到小进行 排序, 以 f d 的比率按照最大度择优增长网络, 以 (1 − f d) 的比率按照最小度选择增长网络, 总的连 接概率为 Π ki = r d + r (1 − gr)ki + gr Σj [(1 − gr)kj + gr] + d d + r · (1 − f d) hh ki kmax ii + f dhhkmin ki ii¸ (6) 其中 [[·]] 表示取整运算. 通过实施把随机性连接与确定性连接相结合 的形式, 在经过 t 个时间间隔后, 便形成一个有 N = m0 + t 个节点, mt 条边的网络. 为了示范, 已经利用式 (1)、(4) 和 (5) 3 种混合比和式 (6) 进 行了研究, 结果确实显示了结构及特性的多样性 和复杂性, 它可把目前文献上大多数网络模型类 型统一在内, 例如其中至少有 8 种特殊情形被关 注: (i)f d=0/1 和 gr=0/1: 退化为和谐统一的混合 择优模型 (HUHPM); (ii) f d=0/1, gr 不限制: 确定