证明：由于A-1(AB)A=BA,故AB~BA. 4.设A可逆，且A~B,证明：B也可逆，且A1~B- 证明由于T,A皆可逆，所以B可逆，且 B-1=(T-1AT)-1=TAT-1 故A1~B- 5.设A心B,证明4TBT. 证明存在可逆矩阵T,使得T-1AT-B.故BT=(T-1AT)T-TTATT-T. 6.设AB,f)∈K,证明：fA~f(B) 证明存在可逆矩阵T,使得T-1AT=B.故 T-(f(A))T=f(T-AT)=f(B). 7.证明 其中(，2，…，n)是(1,2，…，n的一个排列 证明：设V是n维线性空间，e1,…,n是V的基为V的线性变换，定义为 E=入ei 则在基e1,…,n下的矩阵为 A= 由于（仿，2，…，in)是(1,2，…，n)的一个排列因此…，.仍为V的基，而 e,=入ye,j=1,…,n 故在基e,…,e。下的矩阵为 从而A~B 8.设A,B∈Mn(®)，证明：如果存在可逆矩阵U∈Mn(C),使A=U-1BU,则必存在可逆矩阵 T∈Mn(R),使A=T-1BT. 注本题是下述结论的特例： 设K,F是两个习题。其中F是K的解题（即KCF),A,B是习题K上的两个设为.如 线A,B性F上空间，的一个基性K上空间 证明设U=1+2,T1,2∈M(R).则(1+T2)4=B(T1+2).又因A,B∈M.(®)，可证出 5: 8 A−1 (AB)A = BA, S AB ∼ BA. 4.  A !", % A ∼ B, : B j!", % A−1 ∼ B−1 . : 8 T, A k!", &' B !", % B −1 = (T −1AT) −1 = T AT −1 , S A−1 ∼ B−1 . 5.  A ∼ B, : AT ∼ BT. : h!" T, cR T −1AT = B. S BT = (T −1AT) T = T TATT −T. 6.  A ∼ B, f(x) ∈ K[x], : f(A) ∼ f(B). : h!" T, cR T −1AT = B. S T −1 (f(A))T = f(T −1AT) = f(B). 7. :   λ1 λ2 . . . λn   ∼   λi1 λi2 . . . λin   , >( (i1, i2, · · · , in) 1 (1, 2, · · · , n) l[. :  V 1 n  , ε1, · · · , εn 1 V . A  V  ab, _m Aεi = λiεi , A  ε1, · · · , εn  A =   λ1 λ2 . . . λn   . 8 (i1, i2, · · · , in) 1 (1, 2, · · · , n) l[, X εi1 , · · · , εin n V , $ Aεij = λij εij , j = 1, · · · , n. S A  εi1 , · · · , εin  B =   λi1 λi2 . . . λin   , #$ A ∼ B. 8.  A, B ∈ Mn(R), : oph!" U ∈ Mn(C), c A = U −1BU, qh!" T ∈ Mn(R), c A = T −1BT. r: stuvwxyz{|: } K, F u~￾
, F u K z
( K ⊆ F), A, B u￾
K z~. A, B  F  ,  K  . :  U = T1 + iT2, T1, T2 ∈ Mn(R). (T1 + iT2)A = B(T1 + iT2). T A, B ∈ Mn(R), !Z T1A = BT1, T2A = BT2. · 5 ·