16.(本题满分10分) 计算积分 dhdy,其中D是第一象限中以曲线y=√x与x轴为边界的无界区域 (1+x2+y2) (1 n √r o (+r+yy dx 17.(本题满分10分) 求Im∑ k 【详解】由定积分的定义 i∑ln|1+ xIn(1+x)da n kel n [+x2 18.(本题满分10分) 已知方程 In(1+x)x =k在区间(0,1)内有实根,确定常数k的取值范围 【详解】设∫(x)= -,x∈(O,1),则 n(l+x x 1(1+x)ln2(1+x) (1+x)ln2(1+x)x2x2(1+x)ln2(1+x) 令g(x)=(1+x)ln2(1+x)-x2,则g(O)=0,g(1)=2ln22-1 g(x)=ln2(1+x)-2ln(1+x)-2x,g(0)=0 2(In(1+x)-x) g"(x) 1+x <0,x∈(0,1),所以g(x)在(0,1)上单调减少, 由于g(0)=0,所以当x∈(0,1)时,g(x)<g0)=0,也就是g(x)g'(x)在(O,1)上单调减少,当x∈(0,1) 时,g(x)<g(0)=0,进一步得到当x∈(0,1)时,f(x)<0,也就是f(x)在(O,1)上单调减少 lim f(x)=lin lim f(1) 也就是得到 1<k< 1-0((1+x)x)roxIn(+x)25 16．（本题满分 10 分） 计算积分 3 2 4 2 (1 ) D y dxdy + + x y  ，其中 D 是第一象限中以曲线 y x = 与 x 轴为边界的无界区域． 【详解】 3 3 2 4 2 2 4 2 0 0 2 4 2 4 2 0 0 2 2 0 (1 ) (1 ) 1 (1 ) 4 (1 ) 1 1 1 2 1 4 1 1 2 8 2 x D x y y dxdy dx dy x y x y d x y dx x y dx x x  + + + = + + + + + + = + +     = − = −         + +         17．（本题满分 10 分） 求 2 1 lim ln 1 n n k k k → = n n     +    【详解】由定积分的定义 1 2 0 1 1 1 2 0 1 lim ln 1 lim ln 1 ln(1 ) 1 1 ln(1 ) 2 4 n n n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx → → = =         + = + = +     = + =     18．（本题满分 10 分） 已知方程 1 1 ln(1 ) k x x − = + 在区间 (0,1) 内有实根，确定常数 k 的取值范围． 【详解】设 1 1 ( ) , (0,1) ln(1 ) f x x x x = −  + ，则 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 )ln (1 ) ( ) (1 )ln (1 ) (1 )ln (1 ) x x x f x x x x x x x + + −  = − + = + + + + 令 2 2 g x x x x ( ) (1 )ln (1 ) = + + − ，则 2 g g (0) 0, (1) 2ln 2 1 = = − 2 g x x x x g   ( ) ln (1 ) 2ln(1 ) 2 , (0) 0 = + − + − = 2(ln(1 ) ) ( ) 0, (0,1) 1 x x g x x x + −  =   + ，所以 g x ( ) 在 (0,1) 上单调减少， 由于 g (0) 0 = ，所以当 x(0,1) 时， g x g   ( ) 0) 0  = ，也就是 g x( ) g x ( ) 在 (0,1) 上单调减少，当 x(0,1) 时， g x g ( ) (0) 0  = ，进一步得到当 x(0,1) 时， f x ( ) 0  ，也就是 f x( ) 在 (0,1) 上单调减少． 0 0 0 1 1 ln(1 ) 1 lim ( ) lim lim x x x ln(1 ) ln(1 ) 2 x x f x x x x x → → → + + +   − + = − = =     + + ， 1 (1) 1 ln 2 f = − ，也就是得到 1 1 1 ln 2 2 −   k ．