2003-2004学年第一学期概率论与数理统计重修课考试试卷答案 解: (1)由imF(x)=1,lmF(x)=0,得 I=lim F(x)=lim(A+Arctan x)=A+B x→+ 0=lim F(x)=lim(A-Barctan x)=A-B x→ A+-B 解方程组 B= A-B=0 所以 F(x)=+- arctan x(-∞<x<+∞) 2丌 -1<X<1 F()-F(-1) +-arctan +-arcta 2 ( 11 丌 xy (3).X的密度函数为 f(x)=F(x)= (∞<x<+∞) 丌1 8.设二维随机变量(X,Y)服从平面区域 +v2≤ 上的均匀分布 1)试求二维随机变量(X,H)的联合密度函数 (2).求随机变量X及Y各自的边缘密度函数 (3)求E(X),E(Y)及E(XY) (4)判断随机变量X与Y是否相互独立?是否不相关? 第3页共8页2003-2004 学年第一学期概率论与数理统计重修课考试试卷答案 第 3 页 共 8 页 解： ⑴. 由 lim ( ) =1 →+ F x x ， lim ( ) = 0 →− F x x ，得 F(x) (A B x) A B x x 2 1 lim lim arctan  = = + = + →+ →+ F(x) (A B x) A B x x 2 0 lim lim arctan  = = − = − →− →− 解方程组      − = + = 0 2 1 2 A B A B   ，得 2 1 A = ，  1 B = 所以， F(x) arctan x 1 2 1  = + (−  x  +) ⑵. P−1 X 1 = F(1)− F(−1) ( )       − + −      = + arctan 1 1 2 1 arctan1 1 2 1                  − +  −      = +  4 1 2 1 4 1 2 1     2 1 = ⑶. X 的密度函数为 ( ) ( ) 2 1 1 1 x f x F x + =  =  (−  x  +)． 8．设二维随机变量 (X, Y) 服从平面区域 ( ) 1 2 2 D = x， y ： x + y  上的均匀分布． ⑴. 试求二维随机变量 (X, Y) 的联合密度函数； ⑵. 求随机变量 X 及 Y 各自的边缘密度函数； ⑶. 求 E(X )， E(Y) 及 E(XY) ； ⑷ 判断随机变量 X 与 Y 是否相互独立？是否不相关？ 解：