2003-2004学年第一学期概率论与数理统计重修课考试试卷答案 (.平面区域D的面积为丌,所以,二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 D 0(x,y)∈D (2).当-1≤x≤1时, f(x)=「f(x,ykh 所以,随机变量X的边缘密度函数为 fr(x) 1<x 其它 同理,随机变量Y的边缘密度函数为 f()={x y 其它 (3).由对称性,得 E(X)=xf(xxx=20 E()=J dy=0 E(xr)=xyf(x, y)drdy=_Jxydrdy=0 ()由于cov(X,Y)=E(XY)-E(x)E(Y)=0,所以,随机变量X与Y不相关.但是 x,y)≠f()()(x2 所以,随机变量X与Y不相互独立 9.设随机变量X~N(0,1),Y=X2+1,试求随机变量y的密度函数 随机变量X的密度函数为 ∞<x<+∞) 第4页共8页2003-2004 学年第一学期概率论与数理统计重修课考试试卷答案 第 4 页 共 8 页 ⑴．平面区域 D 的面积为  ，所以，二维随机变量 (X, Y) 的联合密度函数为 ( ) ( )  ( )      = x y D x y D f x y ， ， 0 1 ,  ⑵. 当 −1 x 1 时， ( ) ( ) 2 1 1 1 1 2 2 2 f x f x y dy dy x x x X = = = −   − − − + −   ， 所以，随机变量 X 的边缘密度函数为 ( )     − −   = 0 其它 1 1 1 2 2 x x f x X  ； 同理，随机变量 Y 的边缘密度函数为 ( )     − −   = 0 其它 1 1 1 2 2 y y f y Y  ． ⑶. 由对称性，得 ( ) ( ) 0 1 2 1 1 2 = − = =   − + − dx x x E X x f x dx X  ( ) ( ) 0 1 2 1 1 2 = − = =   − + − dy y y E Y yf y dy Y  ( ) ( ) 0 1 , 1 2 2 = = =    +  + − + − x y E XY xyf x y dxdy xydxdy  ⑷ 由于 cov(X, Y) = E(XY)− E(X)E(Y) = 0 ，所以，随机变量 X 与 Y 不相关．但是， f (x y) f (x)f (y)  X Y , ( 1) 2 2 x + y  所以，随机变量 X 与 Y 不相互独立． 9．设随机变量 X ~ N(0, 1)， 1 2 Y = X + ，试求随机变量 Y 的密度函数． 解： 随机变量 X 的密度函数为 ( ) 2 2 2 1 x f x e − =  (−  x  +)