0(t-a)dr=l,/()dr-a)dr=f(a) 在三维空间,一个位于P=a的点电荷q,其电荷密度表为:p)=qP-a) Q例题 目例1:求位于P=a点电偶极子的电荷密度p() 解:对位于a处的点电荷,电荷密度可表为:p)=q0-a 电偶极子由相距很近的一对点电荷构成 设电偶极子的两个点电荷-q与+q分别位于P=a与P=a+7 电偶极矩p=lmq7并且: lim qx(1的高阶项)=0 把电荷密度表为两点电荷之和:9=q(+-=a-2)-6-可 对c-a-)做1-r展开:-a-1--a+(1)V-a)+(7的高阶项) 4-a-1=67-)+(16-+(7的高阶项 这一步似乎相当野蛮,一个不连续的函数,居然做 Taylor展开。但基于广义函数理论,却是正确的 代入PG的表达式得:=-小V5-a+q×(7的高阶项) 取极限{→ lmd-,V6-a)+mgx(7的高阶项)=pV6-a 从而,一个位于P=a的点电偶极子,其电荷密度 ()=-pV6(F-a) 0例2:求对应于:j/()b(x-x)dx=-(xo)的三维形式 8(x-a)dx=l, f()8(x-a)dx=f(a) :1,|f() 其导数形式:|f(x)6(x-x0)dx=-f(x0)对应的三维形式如何? 三维标量函数的“导数”可能是梯度矢量:V(P-a,矢量函数可同另一个矢量函数至少构成两种不同的乘积 标量积:4=8,V6P-dr=|vBnb-alr-[go-a}dr m一司山-Jp一a0d,利用了散度定理,J∫vd=gmd =0,积分 矢量积: x数6一ld+(x到列)]6-adr,利用了旋度定理:v×dr=dn×dV∞ δr  - a  τ = 1， V∞ f (r  ) δr  - a  τ = f (a) 在三维空间，一个位于 r  = a 的点电荷 q，其电荷密度表为： ρq(r  ) = q δr  - a  例题 ☺ 例 1：求位于 r  = a 点电偶极子的电荷密度 ρp(r  ) 解：对位于 a 处的点电荷 ，电荷密度可表为 ： ρq(r  ) = q δr  - a 电偶极子由相距很近的一对点电荷构成 。 设电偶极子的两个点电荷 - q 与 + q 分别位于 r  = a 与 r  = a + l  电偶极矩 p = lim q∞ l  0 q l  并且：lim q∞ l  0 q   l  的高阶项  = 0 把电荷密度表为两点电荷之和 ：ρp(r  ) = q δr  - a - l   - δr  - a 对 δr  - a - l   做 Taylor 展开： fr  - a - l   = f r  - a + -l  ·∇ f r  - a +  l  的高阶项  即：δr  - a - l   = δr  - a + -l  ·∇δr  - a +  l  的高阶项 , 这一步似乎相当野蛮 ，一个不连续的函数 ，居然做 Taylor 展开。但基于广义函数理论 ，却是正确的 。 代入 ρp(r  ) 的表达式得 ：ρp(r  ) = q-l  · ∇δr  - a + q   l  的高阶项  取极限  q  ∞ l  0 ： ρp(r  ) = lim q∞ l  0 q-l  ·∇δr  - a + lim q∞ l  0 q   l  的高阶项 此极限为0 = -p·∇δr  - a 从而，一个位于 r  = a 的点电偶极子 ，其电荷密度 ： ρp(r  ) = -p·∇δ r  - a ☺ 例 2：求对应于： ∫ f (x) δ′(x - x0) x = -f ′(x0) 的三维形式。 一维：-∞ ∞ δ(x - a) x = 1，-∞ ∞ f (x) δ(x - a) x = f (a) 三维：V∞ δr  - a τ = 1，V∞ f (r  ) δr  - a τ = f (a) 其导数形式 ： f (x) δ′ (x - x0) x = -f ′(x0) 对应的三维形式如何 ？ 三维标量函数的 “导数” 可能是梯度 矢量：∇δr  - a，矢量函数可同另一个矢量函数至少构成两种不同的乘积 标量积：I1 = V∞ g(r  )·∇δr  - a τ = V∞ ∇ ·g(r  ) δr  - a τ -V∞ ∇ · g(r  ) δr  - a  τ = S∞ n· g(r  ) δr  - a σ 在表面，δr  - a   = 0，积分为0 - V∞ ∇ ·g(r  ) δr  - a  τ，利用了散度定理 ：V ∇ ·A  τ = S n·A σ = -∇ ·g(r  )  r  =a 矢量积：I2 = V∞ g(r  )∇δr  - a τ = -V∞ ∇ g(r  ) δr  - a τ + V∞ ∇ g(r  ) δr  - a τ = -S∞ n  g(r  ) δr  - a σ 在表面，δr - a  = 0，积分为0 + V∞ ∇ g(r  ) δr  - a  τ，利用了旋度定理 ：V ∇ A  τ = S nA σ = ∇ g(r  )  r  =a 6 z07a.nb