10.设a,,是线性空间V上的两两不同的线性变换,求证:存在a∈V,使得aa,a,va两两不同 (2009年大连理工大学) 11.设V是数域P上的n维线性空间,w是V上的线性变换,且存在a∈V,使得V=L(a,wa,a2a,……),其 中L(a,aa,a2a,…)表示a,aa,a/2a,…生成的V的子空间 (1)证明a,afa,a2a 是V的一组基 (2)求在这组基下的矩阵,及的特征多项式与最小多项式.(2011年大连理工大学) 12.设=1,2,E3,E4是线性空间v的一组基,已知线性变换T在这组基下的矩阵为 1021 A 1213 1255 2-21-2 (1)求T在基m=1-2+E4,m=32-3-4,n3=53+E4,m=2=4下的矩阵B (2)求T的值域TV和核T-1(0) (3)在T-1(0)选一组基,将它扩充成V的一组基.(2015年湖南大学) 3.在多项式线性空间V=Px]n中,规定线性变换a/为 d(f(r)=f(r)-f(a),Vf(a)EV 试求出a的值域aV以及aV的一个基.(2010年湖南师范大学) 4.已知线性空间P3上的线性变换 a(x,y,z)=(x+2y-2,y+z,x+y-22) 求的值域aP3与核a-1(0)的基和维数.(2012年湖南师范大学) 15.设为实线性空间R3→R3的线性变换,已知 (1,0.,0)=(1,0,1),(0,1,0)=(2,1,1),少(0,0,1)=(-1,1,-2) (1)试用矩阵A表示此变换(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)A (2)求的值域少(R3)的一个基 (3)求的核-1(0)的一个基.(2014年湖南师范大学) 6.设V是数域K上的4维线性空间,a1,a2,a3,a4是V的一组基若a是V上的线性变换,且在基a1a2,a3,a4下 1000 的矩阵为准对角矩阵 0100 0030,试求所有的-不变子空间(2014年华东师范大学 000310. A , B, C¥Ç5òmV ˛¸¸ÿ”Ç5CÜ, ¶y: 3α ∈ V , ¶A α, Bα, C α¸¸ÿ”. (2009cåÎnÛåÆ) 11. V ¥ÍçP˛nëÇ5òm, A ¥V ˛Ç5CÜ, Ö3α ∈ V , ¶V = L(α, A α, A 2α, · · ·), Ÿ •L(α, A α, A 2α, · · ·)L´α, A α, A 2α, · · ·)§V fòm. (1)y²α, A α, A 2α, · · · , A n−1α ¥V ò|ƒ.; (2)¶A 3˘|ƒe› , 9A Aıë™ÜÅıë™. (2011cåÎnÛåÆ) 12. ε1, ε2, ε3, ε4¥Ç5òmV ò|ƒ, ÆÇ5CÜT3˘|ƒe› è A =   1 0 2 1 −1 2 1 3 1 2 5 5 2 −2 1 −2   (1)¶T3ƒη1 = ε1 − 2ε2 + ε4, η2 = 3ε2 − ε3 − ε4, η3 = ε3 + ε4, η4 = 2ε4e› B; (2)¶TäçT V ⁄ÿT −1 (0); (3)3T −1 (0)¿ò|ƒ, Úß*ø§V ò|ƒ. (2015cHåÆ) 13. 3ıë™Ç5òmV = P[x]n•, 5½Ç5CÜA è A (f(x)) = xf0 (x) − f(x), ∀f(x) ∈ V £¶—A äçA V ±9A V òáƒ. (2010cHìâåÆ) 14. ÆÇ5òmP 3˛Ç5CÜ A (x, y, z) = (x + 2y − z, y + z, x + y − 2z) ¶A äçA P 3ÜÿA −1 (0)ƒ⁄ëÍ. (2012cHìâåÆ) 15. T è¢Ç5òmR 3 → R 3 Ç5CÜ, Æ T (1, 0, 0) = (1, 0, 1), T (0, 1, 0) = (2, 1, 1), T (0, 0, 1) = (−1, 1, −2). (1)£^› AL´dCÜT (x1, x2, x3) = (x1, x2, x3)A; (2)¶T äçT (R 3 )òáƒ; (3)¶T ÿT −1 (0)òáƒ. (2014cHìâåÆ) 16. V ¥ÍçK˛4ëÇ5òm, α1, α2, α3, α4¥V ò|ƒ. eA ¥V ˛Ç5CÜ, Ö3ƒα1, α2, α3, α4e › èOÈ›   1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3   , £¶§kA −ÿCfòm. (2014cu¿ìâåÆ) 5 厦门大学《高等代数》