2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 lim x2 In3_ lim r In3 =(In 3)lim- x_=In3 x→+x(x-1) 2.7连续函数概念 连续函数的概念包括两个方面,首先是函数在一点处连续的概念,主要是用来刻画函 数在一点及其附近的局部情况或微观性态;其次是函数在区间上连续的概念,主要是用来 刻画函数在大范围内的全局情况或宏观性态。而所有这些概念都将是进一步研究函数性质 的必备基础。 2.7.1函数在一点连续的概念 定义36设函数y=f(x) (1)在x的某邻域N(x0,D)={x|x-x<66>0}内有定义 (2)极限limf(x)=A存在 (3)A=f(x0) 则称函数y=∫(x)在x处连续。以上三条见可称为函数在一点连续的三要素,缺一 不可。又若y=f(x)在a,b上或(a,b)内的任意一点处都连续,则称函数y=∫(x)在 a,b上或(a,b)内连续 y=f(x)在x处连续的直观意义是,当1x1=|x-xl任意小时, A(x0)=f(x)-f(x0)也可以任意小。 对初等函数而论,连续性的重要结论是:一元初等函数在其定义域内部的任意区间内 都是连续的 函数在一点连续的定义可有以下两种等价性描述: 等价性描述1:设函数y=f(x)在x的某邻域N(x,6)={x0<x-x<6,6>0内 有定义,并且满足∫(x)=∫(x)+a(x),其中a(x)为无穷小量(x→x0)。则称函数 y=∫(x)在x处连续。 等价性描述2:设函数y=f(x)在x的某邻域N(x,6)={x|x-xl<,6>0内有定 ,引入记号Δx=x-x0,Ay=4(x0)=f(x)-f(x),若有limA=0,则称函数 y=f(x)在x处连续 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 8网址:www.tsinghuatutor.com电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 1 ln 3 lim ln 3 lim 2 2 − = − →+∞ →+∞ x x x x n x ln 3 ( 1) (ln 3) lim 2 = − = →+∞ x x x x 2．7 连续函数概念 连续函数的概念包括两个方面，首先是函数在一点处连续的概念，主要是用来刻画函 数在一点及其附近的局部情况或微观性态；其次是函数在区间上连续的概念，主要是用来 刻画函数在大范围内的全局情况或宏观性态。 而所有这些概念都将是进一步研究函数性质 的必备基础。 2．7．1 函数在一点连续的概念 定义 3.6 设函数 y = f (x) （1）在 的某邻域 x0 ( 0 , ) { , } N x0 δ = x x − x0 < δ δ > 内有定义； （2）极限 f x A 存在； x x = → lim ( ) 0 （3） ( ) x0 A = f 则称函数 在 处连续。以上三条见可称为函数在一点连续的三要素，缺一 不可。又若 在 上或 内的任意一点处都连续，则称函数 在 上或 内连续。 y = f ( x) x0 y = f ( x) [a, b] (a, b) y = f (x) [a, b] (a, b) y = f ( x) 在 x0 处连续的直观意义是， 当 0 ∆x = x − x 任意小时， ( ) ( ) ( ) 0 0 ∆f x = f x − f x 也可以任意小。 对初等函数而论，连续性的重要结论是：一元初等函数在其定义域内部的任意区间内 都是连续的。 函数在一点连续的定义可有以下两种等价性描述： 等价性描述 1：设函数 y = f ( x) 在 x0 的某邻域 ( 0 , ) { 0 , } N x0 δ = x < x − x0 < δ δ > 内 有定义，并且满足 f (x) = f (x ) +α(x) 0 ，其中α(x) 为无穷小量（ ）。则称函数 在 处连续。 x → x0 y = f ( x) x0 等价性描述 2：设函数 y = f ( x) 在 x0 的某邻域 ( 0 , ) { , } N x0 δ = x x − x0 < δ δ > 内有定 义，引入记号 ∆x = x − x0 ， ( ) ( ) ( ) 0 0 ∆y = ∆f x = f x − f x ，若有 0 0 ∆ = ∆ → y x lim ，则称函数 y = f ( x) 在 处连续。 x0 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 8 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805