证:由于f(x,y=,H(y-1) f(x,y)=2y-)+x2+y2)-yy-12y (1+x2+ 在全平面上连续,所以原方程在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理条件.又显 然y=0,y=1是方程的两个特解.现任取x0∈(-∞,+∞),y∈(0,1),记y=y(x)为过 x,yo)的解,那么这个解可以唯一地向平面的边界无限延展,又上不能穿越y=1,下不能 穿越y=0,因此它的存在区间必为(-∞,+∞) 2.证明设y=y(x)为方程任一解满足y(xo)=y,由常数变易法有 y(x)=yoe--*)+e-of(s)e-ids 于是 f∫(s)ed imy(x)=lim、yo+lm ,若∫f(s)ewds收敛 o =0.若厂(seds发散 3.证明由已知条件,方程在整个xoy平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件, 因此,它的任一解都可延展到平面的无穷远 又由已知条件,知y=0是方程的一个解 且在上半平面(y>0),有y=x2f(y)<0 在下半平面(y<0),有y'=x2f(y)>0 现不妨取点(x0,y0)属于上半平面,并记过该点的解为y=y(x).由上面分析可知, y=y(x)一方面在上半平面单调递减向平面无穷远延展;另一方面又不能穿过x轴,否则与 唯一性矛盾.故解y=y(x)存在区间必为[x0,+∞)4 1．证： 由于 2 2 1 ( 1) ( , ) x y y y f x y + + − = 2 2 2 2 2 (1 ) (2 1)(1 ) ( 1)2 ( , ) x y y x y y y y f x y y + + − + + − − =  在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理条件．又显 然 y = 0, y = 1 是方程的两个特解．现任取 ( , ) x0  − +  ， (0, 1) y0  ，记 y = y(x) 为过 ( , ) 0 0 x y 的解，那么这个解可以唯一地向平面的边界无限延展，又上不能穿越 y = 1 ，下不能 穿越 y = 0 ，因此它的存在区间必为 (−, + ) ． 2．证明 设 y = y(x) 为方程任一解满足 0 0 y(x ) = y ，由常数变易法有  − − − − − = + x x x x x x s x y x y f s 0 0 0 ( ) e e (s)e d ( ) ( ) 0 于是 0 0 0 0 e ( )e d lim e lim ( ) lim 0 x x x x s x x x x x x f s s y y x − − → − → →  = + = 0 +        =    − − − →  − 若 发散 ， 若 收敛 0 0 0 0 0 0 0, ( )e d e ( )e lim 0 ( )e d x s x x x x x x x s x f s s f s f s s 3．证明 由已知条件，方程在整个 xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件， 因此，它的任一解都可延展到平面的无穷远． 又由已知条件，知 y = 0 是方程的一个解． 且在上半平面 ( y  0) ，有 ( ) 0 2 y  = x f y  ； 在下半平面 ( y  0) ，有 ( ) 0 2 y  = x f y  ． 现不妨取点 ( , ) 0 0 x y 属于上半平面，并记过该点的解为 y = y(x) ．由上面分析可知， y = y(x) 一方面在上半平面单调递减向平面无穷远延展；另一方面又不能穿过 x 轴，否则与 唯一性矛盾．故解 y = y(x) 存在区间必为 [ , ) x0 + 