《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海南大学数学系 ∬f,oj了rk, a yc(x) 即二重积分可化为先对y,后对x的累次积分 正明°由于风，⅓()，在闭区间血，上连续，故总存在形区域 a,小xk,dD,定义在a,b小x[k,d上的函数 (f(x.y).(x.y)eD F(x.y)=10.(x.y)eD 则F川在a,小x,d小上可积，而且， ∬oFa了jFk冰 jjk =a) =a) 类似地有：若函数c,)在y型区域y型区域： D={x)sx≤6以e≤y≤d上连续其中x6),x6),在飞d上连续， 即=重积分可化为先对，后对的玉衣表分，则水加.必 例2设D是由直线x=0,y=1及y=x围成的区域，试计算二重积分 laeda 的值 解：若化为先对)，后对x的累次积分，则 -rerd加jrer ，由于被积函数的原 函数不能用初等函数表示，故改为化作先对x,后 对y的累次积分 e da 《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 4 ( )  D f x, y d =  b a dx ( ) ( ) ( )  y x y c x f x y dy 2 1 , . 即二重积分可化为先对 y ，后对 x 的累次积分． 证明` 由于 y (x) 1 ， y (x) 2 ，在闭区间 a,b 上连续，故总存在形区域 a,bc,d  D ，定义在 a,bc,d 上的函数 F(x, y)= ( ) ( )  ( )     x y D f x y x y D 0, , , , , ， 则 F(x, y) 在 a,bc,d 上可积，而且， ( )  D f x, y d = ( )      a b  c d F x y d , , ,  =  b a dx ( )  d c F x, y dy =  b a dx ( ) ( ) ( )  y x y c x F x y dy 2 1 , =  b a dx ( ) ( ) ( )  y x y c x f x y dy 2 1 , . 类似地有：若函数 f (x, y) 在 y 型区域 y 型区域： D = (x, y) x1 (y)  x  x2 (y),c  y  d 上连续其中 x (y) 1 ， x (y) 2 ，在 c,d 上连续， 即二重积分可化为先对 x ，后对 y 的累次积分．则 ( )  D f x, y d =  d c dy ( ) ( ) ( )  x y x y f x y dx 2 1 , . 例 2 设 D 是由直线 x = 0, y = 1 及 y = x 围成的区域，试计算二重积分 I =  − D y x e d 2 2 的值 解 ：若化为先对 y ，后对 x 的累次积分，则 I =  − D y x e d 2 2 =   − 1 0 1 2 2 x y x dx e dy ，由于被积函数的原 函数不能用初等函数表示，故改为化作先对 x ，后 对 y 的累次积分 I =  − D y x e d 2 2 =   − 1 0 0 2 2 y y e dy x dx =  − 1 0 3 2 3 1 y e dy y = 3e 1 6 1 −