自动控制系统及应用 LDf()=e"f()。+sl。e"f(o)dt =sF(s)-f(0) 同理可得 LDf()=s2F(s)-(0)-f(0) d()=sF(s)-s3(0)-90-2(0) dr(o)=sF(s)-s"f(0)-s2f(0)-…-f(n)(0) (2.15) 式中f(O),f(0),f2)(0)…,m(0)分别为函数f(1)及其各阶导数在t=0时的值。 (2.14)和式2.15)可知,在求导数的拉氏变换中,已引入了各个初始条件。如果这些初始条件 均为零,则有 L,f(O)=sF()(n=12…) (2.16) 上式表明,在初始条件为零的前提下,原函数n阶导数的拉氏变换就等于其象函数乘以 22.6原函数积分的象函数(积分定理) 若LDf()=F(s),则f(1)的积分f()dt的象函数为 L(0d=)+f-(o (2.17) 式中(O)=丁/od 证明: L∫()d=J。可f()dl"d 利用分部积分法,取u=f()d,d=e"dr 则有da=f(dt,v= 因此自动控制系统及应用 84 0 0 d [ ( )] e ( ) e ( )d d ( ) (0) L st st f t f t s f t t t sF s f +   − − = + = −  同理可得： 2 2 (1) 2 d [ ( )] ( ) (0) (0) d L f t s F s sf f t = − − 3 3 2 (1) (2) 3 d [ ( )] ( ) (0) (0) (0) d L f t s F s s f sf f t = − − − d 1 2 (1) ( 1) [ ( )] ( ) (0) (0) (0) d L n n n n n n f t s F s s f s f f t − − − = − − − − （2.15） 式中 (1) (2) ( 1) (0), (0), (0), , (0) n f f f f − 分别为函数 f t() 及其各阶导数在 t = 0 时的值。 (2.14)和式 2.15)可知，在求导数的拉氏变换中，已引入了各个初始条件。如果这些初始条件 均为零，则有 d [ ( )] ( ) d L n n n f t s F s t = ( 1, 2, ) n = （2.16） 上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数 n 阶导数的拉氏变换就等于其象函数乘以 n s 。 2.2.6 原函数积分的象函数（积分定理） 若 L[ ( )] ( ) f t F s = ，则 f t() 的积分 f t t ( )d  的象函数为 ( 1) ( ) (0) L[ ( )d ] F s f f t t s s − = +  (2.17) 式中 ( 1) 0 (0) ( )d t f f t t − = =  证明： 0 L[ ( )d ] [ ( )d ]e d st f t t f t t t +  − =    利用分部积分法，取 ( )d ,d e dst u f t t v t − = =  则有 e d ( )d , st u f t t v s − = = − 因此