l-。odl"d f( d 同理可得n重积分的拉氏变换 L- Is(dr1=5()+"0+0+…+/"0(218) 式中f-(O),2(0)…,f”(0)分别为f()的各重积分在t=0的值。如果这些积分 的初始值均为零,则有: L[If(Odr F(s) LUSr(d)1=F(s) (2.19) F(S) (dt 上式表明,在零初始条件下,原函数的n重积分的拉氏变换等于其象函数除以s"。 227终值定理 若L[f()]=F(s),则原函数∫()的终值为 lim f(=lim sF(S) (220) 证明:由式(21L,(o)=J。0d=sF()-(0) 当s→0,则e”→1,于是由上式左边得 lim df(1) d|=f( f(t)-f(0) 由上式右边得 lim[sF(s)-f(o)]=lim sF(s)-f(o) 因此得 f(o=lim sF(s) 上式表明,原函数f()在I→+∞的数值(稳态值),可以通过将象函数F(S)乘以s后, 再求s→>0的极限来求得。条件是当1→+∞和s→0时,等式两边各个极限存在自动控制系统及应用 85 0 0 0 ( 1) [ ( ) ] [ ( )d ]e d 1 1 ( )d ( )e d 1 (0) ( ) L st st t f t dt f t t t f t t f t t s s f F s s s +  − +  − = − = = + = +      同理可得 n 重积分的拉氏变换： ( 1) ( 2) ( ) 1 ( ) (0) (0) (0) L[ ( )(d ) ] n n n n n F s f f f f t t s s s s − − − − = + + + +   （2.18） 式中 ( 1) f (0) − ， ( 2) f (0), , − ( ) (0) n f − 分别为 f t() 的各重积分在 t = 0 的值。如果这些积分 的初始值均为零，则有： 2 2 ( ) [ ( )d ] ( ) [ ( )(d ) ] ( ) [ ( )(d ) ] L L L n n F s f t t s F s f t t s F s f t t s  =    =    =        （2.19） 上式表明，在零初始条件下，原函数的 n 重积分的拉氏变换等于其象函数除以 n s 。 2.2.7 终值定理 若 L[ ( )] ( ) f t F s = ，则原函数 f t() 的终值为 lim ( ) lim ( ) t s f t sF s →+ → = 0 （2.20） 证明：由式(2.14) 0 d d ( ) [ ( )] e d ( ) (0) d d L st f t f t t sF s f t t +  − = = −  当 s →0 ，则 e 1 −st → ，于是由上式左边得 0 0 0 d ( ) lim e d ( ) lim ( ) (0) d st s t f t t f t f t f t +  − +  → →+   = = −      由上式右边得 0 0 lim[ ( ) (0)] lim ( ) (0) s s sF s f sF s f → → − = − 因此得 0 lim ( ) lim ( ) t s f t sF s →+ → = 上式表明，原函数 f t() 在 t → + 的数值（稳态值），可以通过将象函数 F s( ) 乘以 s 后， 再求 s →0 的极限来求得。条件是当 t → + 和 s →0 时，等式两边各个极限存在