《自动控制系统及应用》第二章 拉普拉斯变换

自动控制系统及应用 第二章拉普拉斯变换 拉普拉斯变换简称拉氏变换。它是一种函数的变换,经变换后,可将时域的微分方程变 换成复数域的代数方程。并且在变换的同时,即将初始条件引入,避免了经典解法中求积分 常数的麻烦,可使解题过程大为简化。因此,对于那些以时间t为自变量的定常线性微分方 程来说,拉氏变换求解法是非常有用的。 在经典自动控制理论中,自动控制的数学模型是建立在传递函数基础之上的,而传递函 数的概念又是建立在拉氏变换的基础上,因此,拉氏变换是经典控制理论的重要数学基础, 是分析研究线性动态系统的有力数学工具。本章着重介绍拉氏变换的定义,一些常用时间函 数的拉氏变换,拉氏变换的性质以及拉氏反变换的方法。最后,介绍用拉氏变换解微分方程 的方法。在学习中应注重该数学方法的应用,为后续章节的学习奠定基础 21拉氏变换 211拉氏变换的定义 若f(t)为实变量时间t的函数,且t<0时,函数f(t)=0,则函数f()的拉氏变换记作 f()或F(s),并定义为: Lf(O)=F(s)=∫。Oedt (2.1) 式中s=a+jO为复变量,F(s)称为f(t)的象函数,称∫(1)为F(S)的原函数。原函 数是实变量t的函数,象函数是复变量S的函数。所以拉氏变换是将原来的实变量函数f(t) 转化为复变量函数F(s)的一种积分运算。在本书中,将用大写字母表示相对应的小写字母 所代表的函数的拉氏变换。 若式(21)的积分收敛于一确定的函数值,则∫(m)的拉氏变换F(S)存在。这里f(1)必 须满足狄里赫里条件。这些条件在工程上常常是可以满足的 212典型时间函数的拉氏变换 (1)单位阶跃函数 单位阶跃函数如图21所示 其定义为 0(<0) f(m)=l(0) 由式(2.1)可得 图2.1单位阶跃函数 L[()=。1ed (2.2)

自动控制系统及应用 77 第二章 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换简称拉氏变换。它是一种函数的变换，经变换后，可将时域的微分方程变 换成复数域的代数方程。并且在变换的同时，即将初始条件引入，避免了经典解法中求积分 常数的麻烦，可使解题过程大为简化。因此，对于那些以时间 t 为自变量的定常线性微分方 程来说，拉氏变换求解法是非常有用的。 在经典自动控制理论中，自动控制的数学模型是建立在传递函数基础之上的，而传递函 数的概念又是建立在拉氏变换的基础上，因此，拉氏变换是经典控制理论的重要数学基础， 是分析研究线性动态系统的有力数学工具。本章着重介绍拉氏变换的定义，一些常用时间函 数的拉氏变换，拉氏变换的性质以及拉氏反变换的方法。最后，介绍用拉氏变换解微分方程 的方法。在学习中应注重该数学方法的应用，为后续章节的学习奠定基础。 2.1 拉氏变换 2.1.1 拉氏变换的定义 若 f t() 为实变量时间 t 的函数,且 t  0 时，函数 f t( ) 0 = ，则函数 f t() 的拉氏变换记作 L[ ( )] f t 或 F(s) ，并定义为： 0 L[ ( )] ( ) ( )e d st f t F s f t t +  − = =  （2.1） 式中 s j = +   为复变量， F s( ) 称为 f t() 的象函数，称 f t() 为 F s( ) 的原函数。原函 数是实变量 t 的函数，象函数是复变量 s 的函数。所以拉氏变换是将原来的实变量函数 f t() 转化为复变量函数 F s( ) 的一种积分运算。在本书中，将用大写字母表示相对应的小写字母 所代表的函数的拉氏变换。 若式（2.1）的积分收敛于一确定的函数值，则 f t() 的拉氏变换 F s( ) 存在。这里 f t() 必 须满足狄里赫里条件。这些条件在工程上常常是可以满足的。 2.1.2 典型时间函数的拉氏变换 ⑴单位阶跃函数 单位阶跃函数如图 2.1 所示。 其定义为 0 ( 0) ( ) 1( ) 1 ( 0) t f t t t   = =    由式（2.1）可得 0 0 e 1 L[1( )] 1 e d st st t t s s +  − +  − =  = − =  (2.2) 0 图4.1 单位阶跃函数 1 图 2.1 单位阶跃函数

自动控制系统及应用 在自动控制系统中,单位阶跃函数相当于一个实加作用信号,如开关的闭合(或断开) 加(减)负载等 (2)单位脉冲函数 单位脉冲函数如图22所示 其定义为 6(1)= 同时,∫。()=1,即脉冲面积为1。而且有如下特性: (1)·f(tdt=f(0) f(0)为f(1)在t=0时刻的函数值。 由式(21)求(1)的拉氏变换: L[(t)]= 6(0)edt=e|=0 (23) △t→ 图22单位脉冲函数 图2.3单位斜坡函数 (3)单位斜坡函数 单位斜坡函数如图23所示 其定义为 f(t)= t(t20) 由式(2.1)有 o (e-st dt=te/*oo (24) +op e (4)指数函数e

自动控制系统及应用 78 在自动控制系统中，单位阶跃函数相当于一个实加作用信号，如开关的闭合（或断开）， 加（减）负载等。 ⑵单位脉冲函数 单位脉冲函数如图 2.2 所示。 其定义为 0 ( ) 0 0 t t t   = =    同时， 0  ( )d 1 t t + =  ，即脉冲面积为 1。而且有如下特性：  ( ) ( )d (0) t f t t f + −  =  f (0) 为 f t() 在 t = 0 时刻的函数值。 由式（2.1）求  ()t 的拉氏变换： 0 0 [ ( )] ( ) e d e 1 st st t   t t t +  − − L =  = =  = (2.3) ⑶ 单位斜坡函数 单位斜坡函数如图 2.3 所示。 其定义为 0 ( 0) ( ) ( 0) t f t t t   =    由式（2.1）有 0 0 0 2 2 0 0 e e [ ] e d ( )d e 1 1 d e L st st st st st t t t t t s s t s s s +  − − + + − − +  +  − =  = − − − = = − =    （2.4) ⑷指数函数 e at 图 2.2 单位脉冲函数 图4.2 单位脉冲函数 0 △ →0 0 图 2.3 单位斜坡函数 0 图4.3 单位斜坡函数 45°

自动控制系统及应用 L|e"]= 同理 L[e“] s+a (5)正弦函数 sin ot 由欧拉公式 sin ot=(e-e-),可得 LIsin ot (e/o-e- o)e-dt 2j s-Jo s+je (6)余弦函数 cos ot 由欧拉公式cm=(em+em),可得 LIcos ot 0 S (7)幂函数t 令l=s,则t=-,dt=-dl 则有 ul du 式中。u"e“da=I(n+1)为r函数 而 r(n+1) 故 [t"] 上面求取了几个简单函数的拉氏变换式。用类似的方法可求出其他时间函数的拉氏变换 式。实际上,常把原函数与象函数之间的对应关系列成对照表的形式。通过查表,就能够知 道原函数的象函数,或象函数的原函数。常用函数的拉氏变换对照表见表2.1

自动控制系统及应用 79 ( ) 0 0 1 L[e ] e e d e d at at st s a t t t s a + + − − − =  = = −   (2.5) 同理 1 L[e ] at s a − = + (2.6) ⑸正弦函数 sint 由欧拉公式 1 sin (e e ) 2 j t j t t j    − = − ，可得 0 0 2 2 1 [sin ] sin e d (e e )e d 2 1 1 1 ( ) 2 L st j t j t st t t t t j j s j s j s         + + − − − =  = − = − − + = +   (2.7) ⑹余弦函数 cost 由欧拉公式 1 cos (e e ) 2 j t j t t    − = + ，可得 0 0 2 2 1 [cos ] cos e d (e e )e d 2 1 1 1 ( ) 2 L st j t j t st t t t t s j s j s s        + + − − − =  = + = + − + = +   (2.8) ⑺幂函数 n t 0 L[ ] e d n n st t t t + − =   令 u st = ，则 1 ,d d u t t u s s = = 则有 1 0 0 0 1 1 L[ ] e d e d e d n n n st u n u n n u t t t u u u s s s + + + − − − + =  =   =     式中 0 e d ( 1) n u u u n + − =  +  为  函数， 而 (n + 1) = n! 故 1 ! [ ] + = n n s n L t 上面求取了几个简单函数的拉氏变换式。用类似的方法可求出其他时间函数的拉氏变换 式。实际上，常把原函数与象函数之间的对应关系列成对照表的形式。通过查表，就能够知 道原函数的象函数，或象函数的原函数。常用函数的拉氏变换对照表见表 2.1

自动控制系统及应用 表2常用函数拉氏变换对照表 原函数f(1) 象函数F(S) d(1) l(1) s+a te sin ot S cOST S-+ r"(n=1,2,3,… r"e(n=1,2,3…) s+a (s+a)(s+b) (s+a)(s+b) 12 ablt a-b be s(s+a(s+b) 13 e sin ot (S+a)2+O s+a (S+a)2+ s+a 16 e"*ond sin(On 1-52D) s-+2E0s+o (0<5<1) "seu sin( 17 p= arctan (0<5<1)

自动控制系统及应用 80 表 2.1 常用函数拉氏变换对照表 原函数 f t() 象函数 F s( ) 1  ()t 1 2 1( )t 1 s 3 t 2 1 s 4 e −at 1 s a + 5 e at t − 2 1 ( ) s a + 6 sint 2 2 s  + 7 cost 2 2 s s + 8 ( 1,2,3, ) n t n = 1 ! n n s + 9 e ( 1,2,3 ) n at t n − = 1 ! ( )n n s a + + 10 1 (e e ) at bt b a − − − − 1 ( )( ) s a s b + + 11 1 ( e e ) bt at b a b a − − − − ( )( ) s s a s b + + 12 1 1 [1 ( e e )] at bt b a ab a b − − + − − 1 s s a s b ( )( ) + + 13 e sin at t − 2 2 ( ) s a  + + 14 e cos at t − 2 2 ( ) s a s a  + + + 15 2 1 (e 1) at at a − + − 2 1 s s a ( ) + 16 n n 2 n 2 e sin( 1 ) 1 t t      − − − 2 n 2 2 n n 2 (0 1) s s     + +   17 n 2 n 2 2 1 e sin( 1 ) 1 1 arctan t t         − − − − − − = 2 2 n n 2 (0 1) s s s    + +  

自动控制系统及应用 续表 S(2+250ns+n) arctan (0<5<1) 22拉氏变换的性质 下面介绍几个以后本书中将直接用到的拉氏变换的重要性质 221线性性质 拉氏变换是一个线性变换,若有常数K1、K2,函数f1(1)、f2(1),则 L[K1f(1)+K2f()]=K1LLf()]+K2LL2() =K1F1(s)+K2F2(s) 上式可由拉氏变换的定义式直接得证。 线性性质表明,时间函数和的拉氏变换等于每个时间函数拉氏变换之和:;原函数乘以常 数K的拉氏变换就等于原函数拉氏变换的K倍。 例21已知f(t)=1-2 cos ot,求F(s) F(S=LIf(OJ=L[1-2 cos at 解: S S"+O s(s+O' 222实数域的位移定理(延时定理) 若有一函数f(1)相当于f(m从坐标轴右移一段时间r,即f()=f(-),称函数 f(n为f(1)的延迟函数,如图24所示 那么,f()和f()的象函数之间具有下列关系 L[f()=L[f(t-)=e"F(s) (2.11) 证明: L/(=)=。(-)e"dt 令l=t-r,则t=l+r,dt=da 代入上式有

自动控制系统及应用 81 续表 18 2 2 2 1 1 sin( 1 ) 1 1 n t n e t arctan         − − − − − − − = 2 2 2 ( 2 ) (0 1) n n n s s s     + +   2.2 拉氏变换的性质 下面介绍几个以后本书中将直接用到的拉氏变换的重要性质。 2.2.1 线性性质 拉氏变换是一个线性变换，若有常数 K1 、 K2 ，函数 ( ) 1 f t 、 ( ) 2 f t ，则 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 [ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) L L L K f t K f t K f t K f t K F s K F s + = + = + (2.10) 上式可由拉氏变换的定义式直接得证。 线性性质表明，时间函数和的拉氏变换等于每个时间函数拉氏变换之和；原函数乘以常 数 K 的拉氏变换就等于原函数拉氏变换的 K 倍。 例 2.1 已知 f t t ( ) 1 2cos = −  ，求 F s( ) 解： 2 2 2 2 2 2 ( ) [ ( )] [1 2cos ] 1 2 ( ) F s f t t L L s s s s s s     = = − − + = − = + + 2.2.2 实数域的位移定理（延时定理） 若有一函数 1 f t() 相当于 f t() 从坐标轴右移一段时间  ,即 1 f t f t ( ) ( ) = − ,称函数 1 f t() 为 f t() 的延迟函数，如图 2.4 所示。 那么， 1 f t() 和 f t() 的象函数之间具有下列关系： 1 L L [ ( )] [ ( )] e ( ) s f t f t F s   − = − = （2.11） 证明： 0 L[ ( )] ( )e d st f t f t t   +  − − = −  令 u t = − ，则 t u t u = + =  ,d d 代入上式有

自动控制系统及应用 LL(t-t)=。f(t-r)e"dt f(ue f(ue du f(O 图24延迟函数 图2.5方波 可见,比f(1)延迟r的f(m)的象函数只要把∫()的象函数F(s)乘以e“即可求得 例22求图25所示方波的拉氏变换。 解:方波可表达为 L[f()= 223复数域的位移性质(平移定理) 若L[f()=F(s),对任一常数a,有 LIe f(o= F(s+a) 证明:由定义出发 LIe"f()=J。efo)e"dt f(o)e (+a) d t 可见,原函数∫(1)乘以e“时,它的象函数只需将F(s)中的s用(s+a)代替即可。 例23求 e sin ot的拉氏变换 解:直接运用复数域的位移定理可得 Le

自动控制系统及应用 82 0 ( ) 0 0 [ ( )] ( )e d ( )e d e ( )e d e ( ) L st s u s su s f t f t t f u u f u u F s      +  − +  − + +  − − − − = − = = =    可见，比 f t() 延迟  的 1 f t() 的象函数只要把 f t() 的象函数 F(s) 乘以 e −s 即可求得。 例 2.2 求图 2.5 所示方波的拉氏变换。 解：方波可表达为 1( ) 1 1( ) 1 ( ) =  −  t − T t T f t 1 1 1 L[ ( )] e (1 e ) sT sT f t Ts Ts Ts − − = − = − 2.2.3 复数域的位移性质(平移定理) 若 L[ ( )] ( ) f t F s = ，对任一常数 a ，有 L[e ( )] ( ) at f t F s a − = + （2.12） 证明：由定义出发 0 ( ) 0 [e ( )] e ( ) e d ( ) e d ( ) L at at st s a t f t f t t f t t F s a +  − − − +  − + =  =  = +   可见，原函数 f t() 乘以 at e − 时，它的象函数只需将 F s( ) 中的 s 用 ( ) s a + 代替即可。 例 2.3 求 sin at e t  − 的拉氏变换。 解：直接运用复数域的位移定理可得 2 2 [e sin ] ( ) L at t s a    − = + + 图 2.4 延迟函数 0 图4.4 延迟函数 1 图 2.5 方波 1/ 0 图4.5 方波

自动控制系统及应用 同理,可求得 s+a LIe cos ot] L[e-·r"] (n=1,2,3,…,) 224相似性质 若L[f(t)=F(s),如将∫(1)波形相对于时间轴t进行压缩(或伸长)a倍,成为 f(t/a) Lff(/a)]=aF(as) (2.13) 证明: Li(/a)]=f(/a)e"dt y=x,则 t=ar dt=ad z LU(/a)]=/(/a)e"dr d。f(r)emd aF(as) 上式表明,当原函数f(t)的自变量t变化1a时,则它对应的象函数F(S)及变量s按 比例变化a倍。 225原函数导数的象函数(微分定理) 若Lf(t)=F(s),则导数f()的象函数为: L[,f()]=sF(s)-f(0) (2.14) 式中f(0)是当t=0时函数f(1)的值,即原函数的初始条件 证明: L[,f(l)= +m d f(e-s dt 利用分部积分公式[vdv=y 令u=e”,=f(1,有

自动控制系统及应用 83 同理，可求得 2 2 [e cos ] ( ) L at s a t s a   − + = + + 1 ! [e ] ( ) L at n n n t s a − +  = + ( 1,2,3, ,) n = 2.2.4 相似性质 若 L[ ( )] ( ) f t F s = ，如将 f t() 波形相对于时间轴 t 进行压缩（或伸长） a 倍，成为 f t a ( )， 则 L[ ( )] ( ) f t a aF as = （2.13） 证明： 0 L[ ( )] ( )e d st f t a f t a t + − =  令 t a =  ,则 t a t a = =   ,d d 0 0 [ ( )] ( )e d ( )e d ( ) L st sa f t a f t a t a f aF as    +  − +  − = = =   上式表明，当原函数 f t() 的自变量 t 变化 1 a 时，则它对应的象函数 F s( ) 及变量 s 按 比例变化 a 倍。 2.2.5 原函数导数的象函数(微分定理) 若 L[ ( )] ( ) f t F s = ，则导数 d ( ) d f t t 的象函数为： L[ ( )] ( ) (0) d f t sF s f dt = − （2.14） 式中 f (0) 是当 t = 0 时函数 f t() 的值，即原函数的初始条件。 证明： 0 d ( ) [ ( )] e d d L d f t st f t t dt t +  − =  利用分部积分公式 u v uv v u d d = −   令 e , ( ), st u v f t − = = 有

自动控制系统及应用 LDf()=e"f()。+sl。e"f(o)dt =sF(s)-f(0) 同理可得 LDf()=s2F(s)-(0)-f(0) d()=sF(s)-s3(0)-90-2(0) dr(o)=sF(s)-s"f(0)-s2f(0)-…-f(n)(0) (2.15) 式中f(O),f(0),f2)(0)…,m(0)分别为函数f(1)及其各阶导数在t=0时的值。 (2.14)和式2.15)可知,在求导数的拉氏变换中,已引入了各个初始条件。如果这些初始条件 均为零,则有 L,f(O)=sF()(n=12…) (2.16) 上式表明,在初始条件为零的前提下,原函数n阶导数的拉氏变换就等于其象函数乘以 22.6原函数积分的象函数(积分定理) 若LDf()=F(s),则f(1)的积分f()dt的象函数为 L(0d=)+f-(o (2.17) 式中(O)=丁/od 证明: L∫()d=J。可f()dl"d 利用分部积分法,取u=f()d,d=e"dr 则有da=f(dt,v= 因此

自动控制系统及应用 84 0 0 d [ ( )] e ( ) e ( )d d ( ) (0) L st st f t f t s f t t t sF s f +   − − = + = −  同理可得： 2 2 (1) 2 d [ ( )] ( ) (0) (0) d L f t s F s sf f t = − − 3 3 2 (1) (2) 3 d [ ( )] ( ) (0) (0) (0) d L f t s F s s f sf f t = − − − d 1 2 (1) ( 1) [ ( )] ( ) (0) (0) (0) d L n n n n n n f t s F s s f s f f t − − − = − − − − （2.15） 式中 (1) (2) ( 1) (0), (0), (0), , (0) n f f f f − 分别为函数 f t() 及其各阶导数在 t = 0 时的值。 (2.14)和式 2.15)可知，在求导数的拉氏变换中，已引入了各个初始条件。如果这些初始条件 均为零，则有 d [ ( )] ( ) d L n n n f t s F s t = ( 1, 2, ) n = （2.16） 上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数 n 阶导数的拉氏变换就等于其象函数乘以 n s 。 2.2.6 原函数积分的象函数（积分定理） 若 L[ ( )] ( ) f t F s = ，则 f t() 的积分 f t t ( )d  的象函数为 ( 1) ( ) (0) L[ ( )d ] F s f f t t s s − = +  (2.17) 式中 ( 1) 0 (0) ( )d t f f t t − = =  证明： 0 L[ ( )d ] [ ( )d ]e d st f t t f t t t +  − =    利用分部积分法，取 ( )d ,d e dst u f t t v t − = =  则有 e d ( )d , st u f t t v s − = = − 因此

l-。odl"d f( d 同理可得n重积分的拉氏变换 L- Is(dr1=5()+"0+0+…+/"0(218) 式中f-(O),2(0)…,f”(0)分别为f()的各重积分在t=0的值。如果这些积分 的初始值均为零,则有: L[If(Odr F(s) LUSr(d)1=F(s) (2.19) F(S) (dt 上式表明,在零初始条件下,原函数的n重积分的拉氏变换等于其象函数除以s"。 227终值定理 若L[f()]=F(s),则原函数∫()的终值为 lim f(=lim sF(S) (220) 证明:由式(21L,(o)=J。0d=sF()-(0) 当s→0,则e”→1,于是由上式左边得 lim df(1) d|=f( f(t)-f(0) 由上式右边得 lim[sF(s)-f(o)]=lim sF(s)-f(o) 因此得 f(o=lim sF(s) 上式表明,原函数f()在I→+∞的数值(稳态值),可以通过将象函数F(S)乘以s后, 再求s→>0的极限来求得。条件是当1→+∞和s→0时,等式两边各个极限存在

自动控制系统及应用 85 0 0 0 ( 1) [ ( ) ] [ ( )d ]e d 1 1 ( )d ( )e d 1 (0) ( ) L st st t f t dt f t t t f t t f t t s s f F s s s +  − +  − = − = = + = +      同理可得 n 重积分的拉氏变换： ( 1) ( 2) ( ) 1 ( ) (0) (0) (0) L[ ( )(d ) ] n n n n n F s f f f f t t s s s s − − − − = + + + +   （2.18） 式中 ( 1) f (0) − ， ( 2) f (0), , − ( ) (0) n f − 分别为 f t() 的各重积分在 t = 0 的值。如果这些积分 的初始值均为零，则有： 2 2 ( ) [ ( )d ] ( ) [ ( )(d ) ] ( ) [ ( )(d ) ] L L L n n F s f t t s F s f t t s F s f t t s  =    =    =        （2.19） 上式表明，在零初始条件下，原函数的 n 重积分的拉氏变换等于其象函数除以 n s 。 2.2.7 终值定理 若 L[ ( )] ( ) f t F s = ，则原函数 f t() 的终值为 lim ( ) lim ( ) t s f t sF s →+ → = 0 （2.20） 证明：由式(2.14) 0 d d ( ) [ ( )] e d ( ) (0) d d L st f t f t t sF s f t t +  − = = −  当 s →0 ，则 e 1 −st → ，于是由上式左边得 0 0 0 d ( ) lim e d ( ) lim ( ) (0) d st s t f t t f t f t f t +  − +  → →+   = = −      由上式右边得 0 0 lim[ ( ) (0)] lim ( ) (0) s s sF s f sF s f → → − = − 因此得 0 lim ( ) lim ( ) t s f t sF s →+ → = 上式表明，原函数 f t() 在 t → + 的数值（稳态值），可以通过将象函数 F s( ) 乘以 s 后， 再求 s →0 的极限来求得。条件是当 t → + 和 s →0 时，等式两边各个极限存在

自动控制系统及应用 228初值定理 若L[f(t)]=F(s),则原函数f()的初值为 lim f(=lim SF(s) (221) 证明:由式(2.14) 当s→,则"+0/m=了df(oe"dr=F()-f0) d t 即limf(t)= lim sF(s) 上式表明,原函数f(t)在t=0时的数值(初始值),可以通过将象函数F(s)乘以s后, 再求s→+0的极限来求得。条件是在t→0和s→>+∞时等式两边各有极限存在。 229卷积定理 若L[f(t)=F(s),L[g(O)]=G(s),则有 L[ f(-r)g(r)dr]=F(s).G(s) (222) 式中积分∫。(-g(r)d()=f()*g(0),称作f(O)和g()的卷积 证明 在式(222)中,当z>1,f(t-)·1(-)=0,因此 「。(-rg(r)dz=」。(t-)1-)g()dr 于是 L∫(-r)g()dl=J。U(-)1(t-)g(r)drle"dt 令t-=,代入上式,又由于f(1)和g()是可进行拉氏变换的,所以可改变上式的积分 次序,可得 L[(-()dl=。U(x)cd」g)dr [f()edl·g(r)edr 上式表明,两个时间函数f(1)和g(1)卷积的拉氏变换等于两个时间函数拉氏变换的乘 积。这个关系式在拉氏反变换中可简化计算

自动控制系统及应用 86 2.2.8 初值定理 若 L[ ( )] ( ) f t F s = ，则原函数 f (t) 的初值为 0 lim ( ) lim ( ) t s f t sF s → →+ = （2.21） 证明： 由式(2.14) 0 d d ( ) [ ( )] e d ( ) (0) d d L st f t f t t sF s f t t +  − = = −  当 s → ，则 e 0 −st → ，因此 0 d ( ) lim e d lim[ ( ) (0)] ( ) (0) lim ( ) (0) 0 d st s s s f t t sF s f f t f sF s f t +  − →+ →+ →+   = − − = − =      即 0 lim ( ) lim ( ) t s f t sF s → →+ = 上式表明，原函数 f (t) 在 t = 0 时的数值（初始值），可以通过将象函数 F s( ) 乘以 s 后， 再求 s → + 的极限来求得。条件是在 t →0 和 s → + 时等式两边各有极限存在。 2.2.9 卷积定理 若 L[ ( )] ( ) f t F s = ， L[ ( )] ( ) g t G s = ，则有 0 L[ ( ) ( )d ] ( ) ( ) t f t g F s G s − =      （2.22） 式中积分 0 ( ) ( )d( ) ( ) ( ) t f t g f t g t − =      ，称作 f t() 和 g t() 的卷积。 证明： 在式（2.22）中，当   t ， f t t ( ) 1( ) 0 −  − =   ，因此 0 0 ( ) ( )d ( ) 1( ) ( )d t f t g f t t g        +  − = −  −    于是 0 0 L[ ( ) ( )d ] [ ( ) 1( ) ( )d ]e d t st f t g f t t g t        +  − − = −  −   令 t − =   ，代入上式，又由于 f t() 和 g t() 是可进行拉氏变换的，所以可改变上式的积分 次序，可得： ( ) 0 0 0 0 0 [ ( ) ( )d ] [ ( )e d ( )d [ ( )e d ( )e d ( ) ( ) L t s s s f t g f g f g F s G s                + + − + + + − − − =  =  =      上式表明，两个时间函数 f t() 和 g t() 卷积的拉氏变换等于两个时间函数拉氏变换的乘 积。这个关系式在拉氏反变换中可简化计算