《自动控制系统及应用》第六章 自动控制系统的稳态性能分析

自动控制系统及应用 第六章自动控制系统的稳态性能分析 自动控制系统的输出量一般都包含着两个分量:一个是暂态分量,另一个是稳态分量。 暂态分量反映控制系统的动态性能。对于稳定的系统,暂态分量随着时间的推移,将逐渐减 小并最终趋于零。稳态分量反映控制系统跟踪给定量和抑制扰动量的能力和准确度。对于稳 定的系统来说,稳态性能的优劣一般是以稳态误差的大小来度量 由于稳态误差始终存在于系统工作过程之中,因此在设计控制系统时,除了首先要保证 系统能稳定运行外,其次就是要求系统的稳态误差小于规定的容许值。 本章着重建立有关稳态误差的概念,介绍稳态误差的分析和计算方法,并将讨论减小稳 态误差的途径。 61系统稳态误差的概念 为建立稳态误差的概念,需要对控制系统的误差给出确切的定义,同时要明确系统的误 差和偏差的区别以及它们的联系 611系统的误差e()与偏差(1) 设c1(1)为控制系统的希望输出,c(1)为其实际输出,则误差e()定义为: e(D)=c1()-c( 其拉氏变换记为E(s) E(S=CH(S)-C(s 系统的偏差则是以输入端为基准来定义的,记为ε(1), E(1)=r(1)-b(1) 其拉氏变换记为6(s) (s)=R(s)-B(s)=R(S)-H(SC(s) (6.2) 式中H(s)为反馈回路的传递函数 H(S) E(s) 由此可见,系统的误差e(1)和系统的偏差e(t) 一般情况下并不相同。 现绘出图61来求E(s)与E(s)之间的关系。 图61E(s)与6(m)关系框图

自动控制系统及应用 165 第六章 自动控制系统的稳态性能分析 自动控制系统的输出量一般都包含着两个分量：一个是暂态分量，另一个是稳态分量。 暂态分量反映控制系统的动态性能。对于稳定的系统，暂态分量随着时间的推移，将逐渐减 小并最终趋于零。稳态分量反映控制系统跟踪给定量和抑制扰动量的能力和准确度。对于稳 定的系统来说，稳态性能的优劣一般是以稳态误差的大小来度量。 由于稳态误差始终存在于系统工作过程之中，因此在设计控制系统时，除了首先要保证 系统能稳定运行外，其次就是要求系统的稳态误差小于规定的容许值。 本章着重建立有关稳态误差的概念，介绍稳态误差的分析和计算方法，并将讨论减小稳 态误差的途径。 6.1 系统稳态误差的概念 为建立稳态误差的概念，需要对控制系统的误差给出确切的定义，同时要明确系统的误 差和偏差的区别以及它们的联系。 6.1.1 系统的误差 et() 与偏差  ()t 设 H c t() 为控制系统的希望输出， ct() 为其实际输出，则误差 et() 定义为： H e t c t c t ( ) ( ) ( ) = − 其拉氏变换记为 E s( ) H E s C s C s ( ) ( ) ( ) = − （6.1） 系统的偏差则是以输入端为基准来定义的，记为  ()t ，  ( ) ( ) ( ) t r t b t = − 其拉氏变换记为  ( )s  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s R s B s R s H s C s =−=− (6.2) 式中 H s( ) 为反馈回路的传递函数。 由此可见，系统的误差 et() 和系统的偏差  ()t ， 在一般情况下并不相同。 现绘出图 6.1 来求 E s( ) 与  ( )s 之间的关系。 图 6.1 E s( ) 与  ()t 关系框图 + 图8.1 (s)与 关系框图 - + (s) - 1 r

如前所述,一个闭环控制系统是运用偏差E(s)来对输出C(s)进行自动控制的。当 C(s)≠C(s)时,ε(s)≠0,(s)就起控制作用,力图将C(s)调节到C(s)值:反之, 当C(s)=CH(s)时,应有E(s)=0,ε(s)不再对C(s)进行调节。 因此,当C(s)=C1(s)时,s(S)=R(s)-H(s)C(s)=R(s)-H(s)C(s)=0,故: R(S CH(S) H(s) 由式(61)、式(62)、和式(6.3)可求得在一般情况下系统的误差与偏差的关系为: E(s)=() H(s) 由上式可知,求出偏差后即可求出误差,对单位反馈系统来说,H(s)=1,故偏差与 误差二者相同 612误差e()的一般计算 为了在一般情况下分析、计算系统的误差 (),设输入R(S)与扰动D(s)同时作用于系Rs)e(s) 统,绘出如图62所示的典型系统框图。 现可求得图示情况下系统的实际输出的拉 图62典型系统框图 氏式C(s),它是由R(s)引起的输出C(s)和扰 动D(s)引起的输出C(s)的叠加。 C(s)=C(s)+C4(S) G1(S)G2(s) R(S)+ G2(s) 1+G(s)G2()(5)21() (6.5) 1+G(s)G2(s)H(s) dr (S)R(S)+pd (S)D(s) 式中Φ(s)=(5) G1(s)G2(S) 为输入与输出之间的传递函数: R(s)1+G1(s)G2(s)H(s) CA(s) G2(s) 为扰动与输出之间的传递函数 D(s)1+G1(s)G2(s)H(s)

自动控制系统及应用 166 如前所述，一个闭环控制系统是运用偏差  ( )s 来对输出 C s( ) 进行自动控制的。当 H C s C s ( ) ( )  时，  ( ) 0 s  ， ( )s 就起控制作用，力图将 C s( ) 调节到 H C s( ) 值；反之， 当 H C s C s ( ) ( ) = 时，应有  ( ) 0 s = ， ( )s 不再对 C s( ) 进行调节。 因此，当 H C s C s ( ) ( ) = 时， H  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 s R s H s C s R s H s C s = − = − = ，故： H ( ) ( ) ( ) R s C s H s = （6.3） 由式(6.1)、式(6.2)、和式(6.3)可求得在一般情况下系统的误差与偏差的关系为：  ( ) ( ) ( ) s H s E s = 或 ( ) ( ) ( ) s E s H s  = (6.4) 由上式可知，求出偏差后即可求出误差，对单位反馈系统来说， H s( ) 1 = ，故偏差与 误差二者相同。 6.1.2 误差 et() 的一般计算 为了在一般情况下分析、计算系统的误差 et() ，设输入 R s( ) 与扰动 D s( ) 同时作用于系 统，绘出如图 6.2 所示的典型系统框图。 现可求得图示情况下系统的实际输出的拉 氏式 C s( ) ，它是由 R s( ) 引起的输出 r C s( ) 和扰 动 D s( ) 引起的输出 d C s( ) 的叠加。 r d 1 2 2 1 2 1 2 cr cd ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C s C s C s G s G s G s R s D s G s G s H s G s G s H s s R s s D s = + = + + + =  +  （6.5） 式中 r 1 2 cr 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) C s G s G s s R s G s G s H s  = = + 为输入与输出之间的传递函数； d 2 cd 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) C s G s s D s G s G s H s  = = + 为扰动与输出之间的传递函数。 图8.2 图 6. 典型系统框图 2 典型系统框图 + - 1 + + 2

将式(63)、式(6.5)代入式(61)得: E(S)=CH(S)-C(s R(S) Φa(s)R H(s) (s)R(s)+[-Φ(S)D(s) Φ-(s)R(s)+da(S)D(s) E,(S)+E(S) 式中 H(S[+G,S)G,(S)H(sI Φa(s)=-Ka(s) 1+G1(s)G2(s)H(s) E,(s)=Φ(S)R(s) E4(s)=Φ(S)D(s) Φ(s)为无扰动d(t)时误差e()对于输入r(1)的传递函数;Φa(s)为无输入r(1)时 误差e(1)对于扰动d(1)的传递函数。Φ(s)和Φ(S)总称为误差传递函数,反映了系统的 结构与参数对误差的影响。E(S)为输入量产生的误差拉氏式;E(S)为扰动量产生的误差 拉氏式 若对式(66)进行拉氏反变换,即可得: e(D)=e1(D)+e2(D) 式(67)表明,系统总的误差为输入产生的跟随误差e(1)和扰动产生的扰动误差ea()的 代数和 61.3系统的稳态误差和稳态偏差 系统的稳态误差是指系统进入稳态后的误差。只有稳定的系统才存在稳态误差。不稳定 的系统,讨论其稳态误差失去意义 稳定系统的稳态误差定义为: lime(o) (6.8) 为了计算稳态误差,可首先求出系统的误差信号的拉氏变换式E(s),再应用终值定理求解 lime(t)=lims·E(s) 同理,系统的稳态偏差

自动控制系统及应用 167 将式（6.3）、式(6.5)代入式（6.1）得： H cr cd cr cd er ed r d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E s C s C s R s s R s s D s H s s R s s D s H s s R s s D s E s E s = − = −  −  = −  + − =  +  = + （6.6） 式中 er cr 1 2 2 ed 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )[1 ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) cd s s H s H s G s G s H s G s s s G s G s H s  = −  = + −  = − = + r er d ed ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E s s R s E s s D s =  =  er  ( )s 为无扰动 d t() 时误差 et() 对于输入 rt() 的传递函数； ( ) ed  s 为无输入 rt() 时 误差 et() 对于扰动 d t() 的传递函数。 er  ( )s 和 ( ) ed  s 总称为误差传递函数，反映了系统的 结构与参数对误差的影响。 r E s( ) 为输入量产生的误差拉氏式； d E s( ) 为扰动量产生的误差 拉氏式。 若对式（6.6）进行拉氏反变换，即可得： r d e t e t e t ( ) ( ) ( ) = + （6.7） 式(6.7)表明，系统总的误差为输入产生的跟随误差 r e t() 和扰动产生的扰动误差 d e t() 的 代数和。 6.1.3 系统的稳态误差和稳态偏差 系统的稳态误差是指系统进入稳态后的误差。只有稳定的系统才存在稳态误差。不稳定 的系统，讨论其稳态误差失去意义。 稳定系统的稳态误差定义为： ss lim ( ) t e e t → = （6.8） 为了计算稳态误差，可首先求出系统的误差信号的拉氏变换式 E s( ) ，再应用终值定理求解 ss 0 lim ( ) lim ( ) t s e e t s E s → → = =  （6.9） 同理，系统的稳态偏差

自动控制系统及应用 Es= lima(t)=lim s.a(s) (6.10) 62与输入信号有关的稳态误差 621跟踪稳态误差 系统在输入信号作用下的稳态误差反映了系统跟踪输Rs)、ε(s) 入信号的准确度,称为系统的跟踪稳态误差。此时不考虑扰 -Gs) 动作用,即D(s)=0,只有R(s)作用于系统的框图如图63 图6.3系统框图 所示 由图6.3可知 E(S)= R(s) (6.11) 1+G(s)H(s) 将式6.11)代入式(64)有 E(s)=E(s) E(s) R(S) H(s)H(s)[1+G(s)H(3) 由终值定理得跟随稳态误差e,为: es=lims·E,(s)=lim s·R(s) (6.12) 0H(s)1+G(s)H() 由式(612)可见,输入信号所产生的跟随稳态误差e与系统的结构参数有关,还与输 入信号的大小和变化规律有关。当输入信号一定时,e取决于系统的结构和参数。下面就 此作进一步讨论 622e与系统结构参数的关系 系统开环传递函数G(S)H(S),一般可化为分子分母各因式的常数项均为1的形式 G(SH(s) k(Ts+1)(Ts+1)…(Tns+1) (6.13) S(Ts+1(T2s+1)…(T+1) 式中k为开环增益,Tn…,m;7,…,分别为时间常数。S表示原点处有y重极点,也就 是说开环传递函数含有γ个积分环节,y=0,1,2…,γ表征了系统的结构特征。工程上

自动控制系统及应用 168 ss 0 lim ( ) lim ( ) t s    t s s → → = =  （6.10） 6.2 与输入信号有关的稳态误差 6.2.1 跟踪稳态误差 ssr e 系统在输入信号作用下的稳态误差反映了系统跟踪输 入信号的准确度，称为系统的跟踪稳态误差。此时不考虑扰 动作用，即 D s( ) 0 = ，只有 R s( ) 作用于系统的框图如图 6.3 所示。 由图 6.3 可知 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) s R s G s H s  = + (6.11) 将式(6.11)代入式(6.4)有 r ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[1 ( ) ( )] s E s E s R s H s H s G s H s  = = = + 由终值定理得跟随稳态误差 ssr e 为： ssr 0 0 ( ) lim ( ) lim ( )[1 ( ) ( )] r s s s R s e s E s → → H s G s H s  =  = + （6.12） 由式(6.12)可见，输入信号所产生的跟随稳态误差 ssr e 与系统的结构参数有关，还与输 入信号的大小和变化规律有关。当输入信号一定时， ssr e 取决于系统的结构和参数。下面就 此作进一步讨论。 6.2.2 ssr e 与系统结构参数的关系 系统开环传递函数 G s H s ( ) ( ) ，一般可化为分子分母各因式的常数项均为 1 的形式 1 2 ( 1)( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1)( 1) ( 1) a b m p k T s T s T s G s H s s T s T s T s  + + + = + + + （6.13） 式中 k 为开环增益， m 1 p , , ; , , T T T T a 分别为时间常数。 s  表示原点处有  重极点，也就 是说开环传递函数含有  个积分环节，  = 0 ，1，2…，  表征了系统的结构特征。工程上 图 6.3 系统框图 图8.3 系统框图 + -

自动控制系统及应用 往往把系统中包含的积分环节的个数y称为型别,或无静差度。 y=0,无积分环节,称为0型系统(又称零阶无静差); y=1,有1个积分环节,称为I型系统(又称一阶无静差) y=2,有2个积分环节,称为Ⅱ型系统(又称二阶无静差)。 γ愈高,稳态精度愈高,但稳定性愈差,因此,一般系统不超过Ⅲ型。 注意,系统的型别与系统的阶次是完全不同的两个概念。例如 G(S)H(S) k(0.5+1) s(s+1)(2s+1) 由于y=1,故为Ⅰ型系统,但就其阶次而言,由分母部分可知属于三阶系统 稳态误差与开环传递函数中的时间常数无关,这可从下面的分析看出 式(6.13)可改写成如下形式 G(S)H(s)=Go(s)Ho(s) (6.14) 式中,G6(S)H0(s)= (Ts+1(Ts+l)…(Ts+1) (Ts+1)(T2s+1)…(TS+1) 显然有 lim Go(S)Ho(s)=1 x→0 lim G(s)H(s)=lim k (6.15) x→0 如果再假设反馈回路不含积分环节,增益为,那么 lim H(s)=a (6.16) 经上述处理后,式(6.12)所表示的跟随稳态误差可表达为 e = lim R(S) 3-0 H(S[+G(S)H(S)] R(S) R(s) (6.17) lim =lim al+k1 o a[s+kI 由式(617)可知,由输入信号R(S)所产生的系统的跟随稳态误差e与前向通道所含积 分环节的个数γ和开环增益k值有关。γ值愈高,k值愈大,则跟随稳态误差es愈小,系 统稳态精度愈高。当然,ε还与输入信号R(s)有关。下面再来讨论不同类型的系统,在不 同输入信号作用下的稳态误差

自动控制系统及应用 169 往往把系统中包含的积分环节的个数  称为型别，或无静差度。  = 0 ，无积分环节，称为 0 型系统（又称零阶无静差）；  = 1 ，有 1 个积分环节，称为Ⅰ型系统（又称一阶无静差）；  = 2 ，有 2 个积分环节，称为Ⅱ型系统（又称二阶无静差）。  愈高，稳态精度愈高，但稳定性愈差，因此，一般系统不超过Ⅲ型。 注意，系统的型别与系统的阶次是完全不同的两个概念。例如 (0.5 1) ( ) ( ) ( 1)(2 1) k s G s H s s s s + = + + 由于  = 1 ，故为Ⅰ型系统，但就其阶次而言，由分母部分可知属于三阶系统。 稳态误差与开环传递函数中的时间常数无关，这可从下面的分析看出。 式（6.13）可改写成如下形式 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) k G s H s G s H s s  = (6.14) 式中， 0 0 1 2 ( 1)( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1)( 1) ( 1) a b m p T s T s T s G s H s T s T s T s + + + = + + + 显然有 0 0 0 0 0 lim ( ) ( ) 1 lim ( ) ( ) lim s s s G s H s k G s H s s  → → → = = （6.15） 如果再假设反馈回路不含积分环节，增益为  ，那么 0 lim ( ) s H s  → = （6.16） 经上述处理后，式（6.12）所表示的跟随稳态误差可表达为 ssr 0 ( 1) 0 0 ( ) lim ( )[1 ( ) ( )] ( ) ( ) lim lim [ ] [1 ] s s s s R s e H s G s H s s R s s R s k s k s      → + → →  = +   = = + + （6.17） 由式(6.17)可知，由输入信号 R s( ) 所产生的系统的跟随稳态误差 ssr e 与前向通道所含积 分环节的个数  和开环增益 k 值有关。  值愈高， k 值愈大，则跟随稳态误差 ssr e 愈小，系 统稳态精度愈高。当然， ssr e 还与输入信号 R s( ) 有关。下面再来讨论不同类型的系统，在不 同输入信号作用下的稳态误差

自动控制系统及应用 623e与r(1)之间的系统 常用的典型输入信号有: 阶跃信号r(1)=r0·1(1),R(s)=/s,常数表示阶跃信号幅值。当=1时, 称为单位阶跃信号。 匀速信号(斜坡函数)r(1)=o1,R(s)=v/s2,o常数表示输入信号速度的 大小,即斜率的大小。当v=1时,称为单位斜坡信号 匀加速度信号(抛物线函数)r()=an2/2,R(s)=a0/s3,常数a为加速度的 大小。当an=1时,称为单位抛物线信号。 下面分别就上述三种典型输入信号作用下的e。进行讨论。 (1)当R(s)=1/s时 将R(s)=l6/s代入式(617)有 em=m、y (=0) (1+k) (≥1) (6.18) (s+k) 式(618)表明,在阶跃信号输入下,系统消除跟随稳态误差的条件是γ≥1,即在系统的开环 传递函数中至少要有一个积分环节 (2当R(S)=v/s2时 将R(s)=v/2代入式(617)有 ∞(y=0) (+1) s 0 a( '+k)s ak 式(6.19)表明,在斜坡信号输入下,系统消除跟随稳态误差的条件是γ≥2,即在系统中至少 含有两个积分环节 (3当R(s)=an/3时 将R(s)=a/s3代入式(6.17)有

自动控制系统及应用 170 6.2.3 ssr e 与 rt() 之间的系统 常用的典型输入信号有： ·阶跃信号 ( ) 1( ) 0 r t = r  t ， R s r s 0 ( ) = ， 0 r 常数表示阶跃信号幅值。当 0 r =1 时， 称为单位阶跃信号。 ·匀速信号（斜坡函数） r t = v t 0 ( ) ， 2 0 R(s) = s ， 0 v 常数表示输入信号速度的 大小，即斜率的大小。当 0 v =1 时，称为单位斜坡信号。 ·匀加速度信号（抛物线函数） ( ) 2 2 0 r t = a t ， 3 0 R(s) = a s ，常数 0 a 为加速度的 大小。当 0 a =1 时，称为单位抛物线信号。 下面分别就上述三种典型输入信号作用下的 ssr e 进行讨论。 ⑴当 R s r s 0 ( ) = 时 将 R s r s 0 ( ) = 代入式（6.17）有 ( 1) 0 0 ssr 0 lim (1 ) ( ) 0 s r s r e k s k s     + →   =  =  + +   ( 0) ( 1)   =  (6.18) 式(6.18)表明，在阶跃信号输入下，系统消除跟随稳态误差的条件是  ≥1，即在系统的开环 传递函数中至少要有一个积分环节。 ⑵当 2 0 R(s) = s 时 将 2 0 R(s) = s 代入式（6.17）有 ( 1) 0 0 ssr 2 0 ( 0) lim ( 1) ( ) 0 ( 2) s s v v e s k s k        + →  =   =  = =  +     (6.19) 式(6.19)表明，在斜坡信号输入下，系统消除跟随稳态误差的条件是  ≥2，即在系统中至少 含有两个积分环节。 ⑶当 3 0 R(s) = a s 时 将 3 0 R(s) = a s 代入式（6.17）有

自动控制系统及应用 (y=0,y=1) 2 a(s+k)sak > 式(620)表明,在抛物线信号输入下,系统消除跟随稳态误差的条件是y≥3,即开环传递函 数中至少应有三个积分环节 由以上分析可看出,同一种输入信号,对于结构不同的系统产生的稳态误差不同。系统 型别γ愈高,误差愈小,即跟踪输入信号的无差能力愈强。所以系统的型别γ反映了系统无 差的度量,故又称无差度。系统的型别从系统本身结构的特征上,反映了系统跟踪输入信号 的稳态精度。另一方面,型别相同的系统输入不同信号所引起的稳态误差不同,即同一系统 对不同信号的跟踪能力不同,从另一角度反映了系统消除稳态误差的能力。 将三种典型输入下的跟随稳态误差与系统型别之间有规律的关系,综合在表6.1中,可 由此根据具体的输入信号的形式,从精度要求方面正确选择系统型别。 表6三种典型输入下e与y的关系 R(s) a(1+k) 0 0 0 ao 从表中可看出,在主对角线上,跟随稳态误差为有限值,在主对角线以上,跟随稳态误 差为无穷大,在主对角线以下,跟随稳态误差为零。当es=0时,表明此类系统不仅能跟 踪该输入信号,而且可实现无静差。当e。为∞时,表明此类系统不具有跟踪这种输入信号 的能力。当e为有限值时,表明此类系统对该种输入信号能跟踪,但是它为有差系统。 增加系统开环传递函数中的积分环节和增大开环增益,是消除和减小系统稳态误差的途 径。但γ和k值的增大,都会造成系统的稳定性变坏,设计者的任务正在于合理地解决这些 相互制约的矛盾,选择合理的结构与参数 最后还需再说明几点。第一,系统必须是稳定的,否则计算稳态误差没有意义。第二, 上述公式及表6.1中的k值是系统的开环增益,即在开环传递函数中,各环节中的常数项须 化成1的形式。第三,表61显示的规律是在反馈回路传递函数H(S)=a情况下建立的

自动控制系统及应用 171 ( 1) 0 0 ssr 3 0 ( 0, 1) lim ( 2) ( ) 0 ( 3) s s a a e s k s k         + →  = =   =  = =  +     (6.20) 式(6.20)表明，在抛物线信号输入下，系统消除跟随稳态误差的条件是  ≥3，即开环传递函 数中至少应有三个积分环节。 由以上分析可看出，同一种输入信号，对于结构不同的系统产生的稳态误差不同。系统 型别  愈高，误差愈小，即跟踪输入信号的无差能力愈强。所以系统的型别  反映了系统无 差的度量，故又称无差度。系统的型别从系统本身结构的特征上，反映了系统跟踪输入信号 的稳态精度。另一方面，型别相同的系统输入不同信号所引起的稳态误差不同，即同一系统 对不同信号的跟踪能力不同，从另一角度反映了系统消除稳态误差的能力。 将三种典型输入下的跟随稳态误差与系统型别之间有规律的关系，综合在表 6.1 中，可 由此根据具体的输入信号的形式，从精度要求方面正确选择系统型别。 表 6.1 三种典型输入下 ssr e 与  的关系 R(s) v ssr e 0 r s 0 2 v s 0 3 a s 0 0 (1 ) r  + k   Ⅰ 0 0 v k  Ⅱ 0 0 0 a k 从表中可看出，在主对角线上，跟随稳态误差为有限值，在主对角线以上，跟随稳态误 差为无穷大，在主对角线以下，跟随稳态误差为零。当 ssr e = 0 时，表明此类系统不仅能跟 踪该输入信号，而且可实现无静差。当 ssr e 为  时，表明此类系统不具有跟踪这种输入信号 的能力。当 ssr e 为有限值时，表明此类系统对该种输入信号能跟踪，但是它为有差系统。 增加系统开环传递函数中的积分环节和增大开环增益，是消除和减小系统稳态误差的途 径。但  和 k 值的增大，都会造成系统的稳定性变坏，设计者的任务正在于合理地解决这些 相互制约的矛盾，选择合理的结构与参数。 最后还需再说明几点。第一，系统必须是稳定的，否则计算稳态误差没有意义。第二， 上述公式及表 6.1 中的 k 值是系统的开环增益，即在开环传递函数中，各环节中的常数项须 化成 1 的形式。第三，表 6.1 显示的规律是在反馈回路传递函数 H s( ) = 情况下建立的

自动控制系统及应用 当单位反馈时,取a=1。如果H(s)中含有s=0的因子,其e应当用式(6.12)计算。 第四,当输入信号是上述典型信号的线性组合时,可根据线性系统的叠加原理,总的跟随稳 态误差应是它们分别作用时的跟随稳态误差之和。第五,上述结论只适用于输入信号作用下 系统的稳态误差,即跟随稳态误差,不适用于扰动作用下的稳态误差。有关扰动稳态误差的 分析请见下一节。 624由系统开环对数频率特性分析系统的稳态性能 由上述可知,系统的稳态精度取决于系统的型别γ和开环增益k,而系统开环幅频(渐 近线)特性的低频段可很直观地反映系统的型别和增益 L(O)低频段的斜率确定了系统的型别y。当L()低频段斜率为OdB/dec(水平直线) 时,则y=0,如图64(a)所示;当L(O)低频段斜率为-20dB/dec时,则y=1,如图64(b) 所示:当L(O)低频段斜率为-40dB/dec时,则y=2,如图64c)所示。L(O)在O=1的 高度为20gk,即L()a-=20gk,如图64所示。 (o)dB L(o)dB rad/s 0 1 (a (b) 图64L()低频特性 综上所述,系统开环对数幅频特性L()低频段曲线愈陡,L()在O=1处的高度愈大 则系统的稳态误差将愈小,系统稳态性能愈好。 63扰动作用下的稳态误差 系统除承受输入信号作用外,还经常会受到各种扰动的作用,如负载的突变、温度的 变化、电源的波动等,系统在扰动作用下的稳态误差,称扰动稳态误差,它反映了系统抗干 扰的能力,显然,我们希望扰动引起的稳态误差愈小愈好,理想情况误差最好为零 631扰动稳态误差e的求取 此时不考虑给定输入作用,即R(s)=0,只有扰动信号D(s),由图62得

自动控制系统及应用 172 当单位反馈时，取  =1 。如果 H s( ) 中含有 s = 0 的因子，其 ssr e 应当用式（6.12）计算。 第四，当输入信号是上述典型信号的线性组合时，可根据线性系统的叠加原理，总的跟随稳 态误差应是它们分别作用时的跟随稳态误差之和。第五，上述结论只适用于输入信号作用下 系统的稳态误差，即跟随稳态误差，不适用于扰动作用下的稳态误差。有关扰动稳态误差的 分析请见下一节。 6.2.4 由系统开环对数频率特性分析系统的稳态性能 由上述可知，系统的稳态精度取决于系统的型别  和开环增益 k ，而系统开环幅频（渐 近线）特性的低频段可很直观地反映系统的型别和增益。 L() 低频段的斜率确定了系统的型别  。当 L() 低频段斜率为 0dB dec （水平直线） 时，则  = 0 ，如图 6.4(a)所示；当 L() 低频段斜率为−20dB dec 时，则  = 1 ，如图 6.4(b) 所示；当 L() 低频段斜率为 −40dB dec 时，则  = 2 ，如图 6.4(c)所示。 L() 在  =1 的 高度为 20lg k ，即 L( ) 20lg k 1 = =  ，如图 6.4 所示。 综上所述，系统开环对数幅频特性 L() 低频段曲线愈陡， L() 在  =1 处的高度愈大， 则系统的稳态误差将愈小，系统稳态性能愈好。 6.3 扰动作用下的稳态误差 系统除承受输入信号作用外，还经常会受到各种扰动的作用，如负载的突变、温度的 变化、电源的波动等，系统在扰动作用下的稳态误差，称扰动稳态误差，它反映了系统抗干 扰的能力，显然，我们希望扰动引起的稳态误差愈小愈好，理想情况误差最好为零。 6.3.1 扰动稳态误差 ssd e 的求取 此时不考虑给定输入作用，即 R s( ) 0 = ，只有扰动信号 D s( ) ，由图 6.2 得 (a) (b) -40 (c) 图8.4 L( ) ω 低频特性 0 20lgk 0 1 -20 rad/s dB rad/s 20lgk 1 c= -20 20lgk 0 1 c -40 dB dB rad/s -20 图 6.4 L(ω)低频特性

=G2(s)H(s) D(s) (6.21) G,SG,(S)H(s 将式621)代入式(64),并考虑此时E(s)=E4(s),于是有 E(s) G,(SD(s) 1+G1(s)G2(s)H(s) 再由终值定理得扰动引起的扰动稳态误差e为 e=lim sE,(S)=lim s - -G2 S)D(S) (6.22) 01+G1(s)G2(s)lH(s) 由式(622)可见,扰动信号所产生的稳态误差e亦与系统的结构参数有关,还与扰动 信号的大小、变化规律以及作用点有关。扰动稳态误差e和跟随稳态误差e二者在与系 统结构参数的关系方面所涉及的内涵是不一样的,弄清这个问题对于稳态误差的正确分析显 得十分重要 6.32扰动稳态误差与系统结构参数间的关系 类似给定输入作用下跟随稳态误差的分析,不妨假设:在扰动作用点之前回路传递函 数G(s)含有y1个积分环节,其增益为k;在扰动作用点之后回路传递函数G2(S)中含有y2 个积分环节,其增益为k2;H(s)中不含积分环节,其增益为α。于是有 lim G,(s)=lim (6.23) k, lim G2(s)=lim lim H(s=a 将式(623)~式(6,25代入式(622)得 lim- (SD(S) 1+G1(s)G2(s)H(s) k g k,a (n+D.k、D lim 当y=y2=0时,即前向通道不含积分环节时

自动控制系统及应用 173 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) G s H s s D s G s G s H s  − = + (6.21) 将式(6.21)代入式(6.4)，并考虑此时 d E s E s ( ) ( ) = ，于是有 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) d G s D s E s G s G s H s − = + 再由终值定理得扰动引起的扰动稳态误差 ssd e 为 2 ssd 0 0 1 2 ( ) ( ) lim ( ) lim 1 ( ) ( ) ( ) d s s G s D s e s E s s → → G s G s H s − =  =  + （6.22） 由式(6.22)可见，扰动信号所产生的稳态误差 ssd e 亦与系统的结构参数有关，还与扰动 信号的大小、变化规律以及作用点有关。扰动稳态误差 ssd e 和跟随稳态误差 ssr e 二者在与系 统结构参数的关系方面所涉及的内涵是不一样的，弄清这个问题对于稳态误差的正确分析显 得十分重要。 6.3.2 扰动稳态误差与系统结构参数间的关系 类似给定输入作用下跟随稳态误差的分析，不妨假设：在扰动作用点之前回路传递函 数 1 G s( ) 含有 1  个积分环节，其增益为 1 k ；在扰动作用点之后回路传递函数 2 G s( ) 中含有 2  个积分环节，其增益为 2 k ； H s( ) 中不含积分环节，其增益为  。于是有 1 1 1 0 0 lim ( ) lim s s k G s s → →  = (6.23) 2 2 2 0 0 lim ( ) lim s s k G s s → →  = (6.24) 0 lim ( ) s H s  → = (6.25) 将式(6.23)～式(6.25)代入式(6.22) 得 2 1 2 1 1 2 2 ssd 0 1 2 2 0 1 2 ( ) ( 1) 2 ( ) 0 1 2 ( ) ( ) lim 1 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 1 ( ) lim s s s sG s D s e G s G s H s k s D s s k k s s k D s s k k         → → + + → + − = + −   = + −   = + （6.26） 当 1 2   = = 0 时，即前向通道不含积分环节时

自动控制系统及应用 e lim=8.k2. D(S) ssds (6.27) 当y1、y2不同时为零时 sn+)·D(s) (6.28) ak, 当k=kk2a>1时,式(6.27)可近似表示成式(628)。 由式(628)可知:扰动稳态误差es与扰动作用点之前的积分环节个数y1和增益k有 关,y1值愈高,k值愈大,则扰动稳态误差e愈小,系统抗扰动的稳态精度愈高。当然es 还与扰动量D(s)及其作用点有关 根据上述分析,可依据系统的型别y(或%1)、增益k(或k1)以及作用量R(s)[或D(s)] 来求取系统的e(或es) 下面再让我们讨论一下扰动信号确定时,e的情况。不失一般性,考虑单位反馈系 统H(s)=1,并考虑单位阶跃扰动的形式,即D(s)=-。 (1)当G(s)及G2(s)都不含积分环节时,即y1=y2=0,由式(627)有: e,=lim-=sk2.I=--k2=--I (629) k1+1/k 可见,增加增益k1、k对e的影响是相反的,增加k,则es诚小,而增加k,则 es更大。但是当k比较大时,k2对e的影响不大显著,这时可以写成下列近似式: (2)当G(s)中有一积分环节,而G2(S)中无积分环节时,即y1=1,y2=0,由式(628) 有 e,= lim 0 (6.30) k (3)当G(s)中无积分环节,而G2(s)中有一个积分环节,即y1=0,y2=1时依式(628)

自动控制系统及应用 174 2 ssd 0 1 2 ( ) lim s 1 s k D s e → k k  −   = + （6.27） 当 1  、 2  不同时为零时 1 ( 1) ssd 1 s D s( ) e k   + −  = （6.28） 当 1 2 k k k =   1 时，式(6.27)可近似表示成式(6.28)。 由式(6.28)可知：扰动稳态误差 ssd e 与扰动作用点之前的积分环节个数 1  和增益 1 k 有 关， 1  值愈高， 1 k 值愈大，则扰动稳态误差 ssd e 愈小，系统抗扰动的稳态精度愈高。当然 ssd e 还与扰动量 D s( ) 及其作用点有关。 根据上述分析，可依据系统的型别  （或 1  ）、增益 k （或 1 k ）以及作用量 R s( ) [或 D s( ) ] 来求取系统的 ssr e （或 ssd e ）。 下面再让我们讨论一下扰动信号确定时， ssd e 的情况。不失一般性，考虑单位反馈系 统 H s( ) 1 = ，并考虑单位阶跃扰动的形式，即 1 D s( ) s = 。 ⑴当 1 G s( ) 及 2 G s( ) 都不含积分环节时，即 1 2   = = 0 ，由式（6.27）有： 2 2 ssd 0 1 2 1 2 1 2 1 1 lim s 1 1 1 s k k e → k k s k k k k −  − − =  = = + + + （6.29） 可见，增加增益 1 k 、 2 k 对 ssd e 的影响是相反的，增加 1 k ，则 ssd e 减小，而增加 2 k ，则 ssd e 更大。但是当 1 k 比较大时， 2 k 对 ssd e 的影响不大显著，这时可以写成下列近似式： ssd 1 1 e k  − ⑵当 1 G s( ) 中有一积分环节，而 2 G s( ) 中无积分环节时，即 1 2   = = 1, 0 ，由式（6.28） 有： 2 ssd 0 1 1 lim 0 s s e → k s − =  = （6.30） ⑶当 1 G s( ) 中无积分环节，而 2 G s( ) 中有一个积分环节，即 1 2   = = 0, 1 时依式（6.28）