《自动控制系统及应用》第四章 频率特性

自动控制系统及应用 第四章频率特性 前面我们介绍了用微分方程和传递函数描述系统的数学模型,运用拉氏变换的方汯可以求得系 统的输出响应。但是对于复杂的系统,求解的计算工作量大。而且当所求得的解不能满足技术要求 时,不容易看出和决定应该如何调整系统来获得期望结果。经过工程实践的探索,人们找到了既不 必求解微分方程就可预示出系统性能又能方便地指出应该如何调整系统来达到性能指标的要求的方 法。这就是经典控制理论中广为运用的频率响应法和根轨迹法。本书只介绍频羍响应法去 本章将首先阐明频率特性的基本概念及其与传递函数的关系。接着,分析频率特性的图形表示, 深入了解和切实掌握Bokε图,是本章的重点。最后讨论频域指标等其他有关问题。 4.1频率特性的基本概念 4.1.1频率响应与频率特性 1.频率响应 线性定常系统对正弦输入(或谐吱输入)的稳态响应称为频率响应。 若对图41所示的线性定常系统输入一正弦信号r(t)= A sin ot 系统的响应也和其他典型信号的响应一样,包含瞬态响应和稳态响应, 其瞬态响应不是正弦信号,而稳态响应是和输入同频率的正弦信号,但 图4.1线性定系统 幅值和相位发生了变化。稳态响应的幅值正比于输入幅值A,且是输入 正弦信号频率O的函数A();稳态响应的相位输入幅值A1无关,它与输入信号的相位差是O 的函数o(ω)。即线性定常系统对正弦输入的稳态响应为 c(0=A()sin[ ot +o(o (4.1) 例41设对传递函数为(G()=一k,的系统,输入信号r()= A sin ot,则 R(s)= Ao 因而有 C(S)=G()R(s)=k 4, o 再取拉氏反变换并整理得 +T2o( ot-tg-To (42) 1+T2a 式(42)右边第一项是瞬态分量,第二项是稳态分量。-1/T为Gs)的极点(或特征根)S, 因s;为负值,所以系统是稳定的,故随着时间的推移,即t→∞时,瞬态分量迅速衰减至零,系

自动控制系统及应用 119 第四章 频率特性 前面我们介绍了用微分方程和传递函数描述系统的数学模型，运用拉氏变换的方法可以求得系 统的输出响应。但是对于复杂的系统，求解的计算工作量大。而且当所求得的解不能满足技术要求 时，不容易看出和决定应该如何调整系统来获得期望结果。经过工程实践的探索，人们找到了既不 必求解微分方程就可预示出系统性能又能方便地指出应该如何调整系统来达到性能指标的要求的方 法。这就是经典控制理论中广为运用的频率响应法和根轨迹法。本书只介绍频率响应法。 本章将首先阐明频率特性的基本概念及其与传递函数的关系。接着，分析频率特性的图形表示， 深入了解和切实掌握Bode 图，是本章的重点。最后讨论频域指标等其他有关问题。 4．1频率特性的基本概念 4．1．1 频率响应与频率特性 1．频率响应 线性定常系统对正弦输入（或谐波输入）的稳态响应称为频率响应。 若对图4.1所示的线性定常系统输入一正弦信号 r(t) A sint = r ， 系统的响应也和其他典型信号的响应一样，包含瞬态响应和稳态响应， 其瞬态响应不是正弦信号，而稳态响应是和输入同频率的正弦信号，但 幅值和相位发生了变化。稳态响应的幅值正比于输入幅值 Ar ，且是输入 正弦信号频率  的函数 ( ) Ac  ；稳态响应的相位与输入幅值 Ar 无关，它与输入信号的相位差是  的函数 () 。即线性定常系统对正弦输入的稳态响应为 ( ) ( )sin[ ( )] c t = Ac  t +  （4.1） 例 4.1 设对传递函数为 1 ( ) + = Ts k G s 的系统，输入信号 r(t) A sint = r ，则 2 2 r ( )   + = s A R s 因而有 2 2 r 1 ( ) ( ) ( )   +  + = = s A Ts k C s G s R s 再取拉氏反变换并整理得 sin( tg ) 1 1 ( ) 1 2 2 r 2 2 r      t T T A k e T A k T c t T t − − − + + + = （4.2） 式（4.2）右边第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。−1 T 为 G(s) 的极点（或特征根） i s ， 因 i s 为负值，所以系统是稳定的，故随着时间的推移，即 t →  时，瞬态分量迅速衰减至零，系 图 4.1 线性定常系统 (s) (s) 图6.1 (s)

自动控制系统及应用 统输出c(U)即为稳态响应,所以系统的稳态响应为 t) in( of-tg T (43) A(osin ot +o(ol 由此可知,它是与输入同频率的正弦信号,其幅值A(O)=k 相位差 +t-o ()=-tg-To都是频率的函数 2.频率特性 由上可知,线性定常系统在谐波输入作用下,其稳态输出与输入的幅值比是输入信号的频率ρ 的函数,称其为系统的幅频特性,记为M(ω)。它描述了在稳态情况下,当系统输入不同频率的谐 波信号时,其幅值的衰减或增大特性。显然 A(o) A 稳态输出信号与输入信号的相位差o(ω)也是o的函数,称其为系统相频特性。它描述了在稳 态情况下,当系统输入不同频率的谐波信号时,其相位产生超前φ(ω)>0减或滞后(ω)<O]的 特性。规定φ(ω)按逆时针方向旋转为正值,按顺时针方向旋转为负值。 幅频特性M(ω)和相频特性o(o)统称为系统的频率特性,记作G(o) G(O)=M(O)·∠o(o)或Gm)=M(O)k/。 412频率特性与传递函数的关系 (1)G0)与G(s)的关系 设系统的传递函数为 G(s)=C(s) B(s) (44) R(s)(s-S1)(s-S2)…(S-Sn) 当输入为谐波信号,即r(t)= A sn ot时,有 Ao R(s)= (45) 若系统无重极点,则有 C)=∑+( B B (46) iaI S-s S-Jo 5+Jo 式中,S1为系统特征根;A、B、B(B为B的共轭复数)为待定系数。对上式进行拉氏反变 换,可得系统的输出为

自动控制系统及应用 120 统输出 c(t) 即为稳态响应，所以系统的稳态响应为 ( )sin[ ( )] sin( tg ) 1 ( ) c 1 2 2 r        = + − + = − A t t T T A k c t （4.3） 由此可知，它是与输入同频率的正弦信号，其幅值 2 2 r c 1 ( )   T A k A + = ，相位差    ( ) tg T − = − 1 都是频率的函数。 2．频率特性 由上可知，线性定常系统在谐波输入作用下，其稳态输出与输入的幅值比是输入信号的频率  的函数，称其为系统的幅频特性，记为 M() 。它描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的谐 波信号时，其幅值的衰减或增大特性。显然， r c ( ) ( ) A A M   = 稳态输出信号与输入信号的相位差 () 也是  的函数，称其为系统相频特性。它描述了在稳 态情况下，当系统输入不同频率的谐波信号时，其相位产生超前[ ()  0 ]或滞后[ ()  0 ]的 特性。规定 () 按逆时针方向旋转为正值，按顺时针方向旋转为负值。 幅频特性 M() 和相频特性 () 统称为系统的频率特性，记作 G(j) 。 G( j) = M ()() 或 ( ) ( ) ( )     j G j = M e 。 4.1.2 频率特性与传递函数的关系 （1） G(j) 与 G(s) 的关系 设系统的传递函数为 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 n s s s s s s B s R s C s G s − − − = =  （4.4） 当输入为谐波信号，即 r(t) A sint = r 时，有 2 2 r ( )   + = s A R s （4.5） 若系统无重极点，则有 ( ) ( ) 1 i i  s j B s j B s s A C s n i + + − + − = = （4.6） 式中， i s 为系统特征根； Ai 、B 、B （ B 为 B 的共轭复数）为待定系数。对上式进行拉氏反变 换，可得系统的输出为

自动控制系统及应用 ()=∑Ae+(Be+Be) 对稳定系统而言,特征根s:均具有负实部,则上式中的瞬态分量,当t→∞时,将衰减为零 故系统的稳态响应为 c(o= Be/on Be y (48) 若系统含有重极点时,对于稳定的系统,其稳态响应也都如式(48)所示。式(48)中的B和 B待定系数可确定如下 4 A G(o) (s-jO(s+jo) 同理可得 A G(jo) 将B和B代入式(48),则系统稳态响应为 e+∠G(e)l ()=G(o)A 2 G() A sin[ot+∠G(o (49) A(osin[ot +o()l 系统的幅频特性和相频特性分别为 M(O A(o) =(() 0(O)=∠GGo) 故G(o)=((o)e就是系统的频率特性,它是将G(s)中的s用jO取代后的结果, 是O的复变函数 2.频率特性的几种数学表达式及转换关系 频率特性G(o)是一个复变函数,对给定的O,它是一个对应的复数,复数就可用向量表示, 如图42所示。将其分解为实部和虚部,即 式中,U()-G(o)的实部,称为实频特性;V(o)-G(o)的虚部,称为虚频持性。 图中的M(O)为向量的长度,称为G(jω)的模或绝对值,它等于稳态输出量与输入量的幅值 比,叫做幅频特性:φ(ω)为向量与实轴的夹角,称为G(ω)的幅角,它等于稳态输出量与输入量 的相位差,叫做相频特性。 它们之间有如下关系 M(o)=Go)=√(o)+(o)2 (412)

自动控制系统及应用 121 = − = + + n i s t j t j t c t A B B i 1 i ( ) e ( e e )   （4.7） 对稳定系统而言，特征根 i s 均具有负实部，则上式中的瞬态分量，当 t →  时，将衰减为零。 故系统的稳态响应为 ( ) e e j t j t c t B B   − = + （4.8） 若系统含有重极点时，对于稳定的系统，其稳态响应也都如式（4.8）所示。式（4.8）中的 B 和 B 待定系数可确定如下： r r ( ) ( ) ( ) ( ) e ( )( ) 2 j G j s j A A G j B G s s j s j s j j         = = − = − + 同理可得 r ( ) ( ) e 2 A G j j G j B j  −   = − 将 B 和 B 代入式（4.8），则系统稳态响应为 [ ( )] [ ( )] r r c e e ( ) ( ) 2 ( ) sin[ ( )] ( )sin[ ( )] j t G j j t G j c t G j A j G j A t G j A t             + − + − = = +  = + （4.9） 系统的幅频特性和相频特性分别为 ( ) ( ) ( ) r c    G j A A M = = () = G(j) 故 ( ) ( ) ( ) e    j G j G j G j  = 就是系统的频率特性，它是将 G(s) 中的 s用 j 取代后的结果， 是  的复变函数。 2．频率特性的几种数学表达式及转换关系 频率特性 G(j) 是一个复变函数，对给定的  ，它是一个对应的复数，复数就可用向量表示， 如图 4.2所示。将其分解为实部和虚部，即 G(j) = U() + jV() （4.11） 式中， U()—G(j) 的实部，称为实频特性； V() —G(j) 的虚部，称为虚频特性。 图中的 M() 为向量的长度，称为 G(j) 的模或绝对值，它等于稳态输出量与输入量的幅值 比，叫做幅频特性； () 为向量与实轴的夹角，称为 G(j) 的幅角，它等于稳态输出量与输入量 的相位差，叫做相频特性。 它们之间有如下关系 2 2 M() = G( j) = [U()] +[V()] （4.12）

自动控制系统及应用 o(o)=∠G(o)=tan-y(o) (413) U() G(o) U(o=M(o)cos(o) (414) (o)=M(o)sin纵() (415) 于是有 应用欧拉公式,得频率特性的表达式 G(o)=M(ole/we (416 U(o) 它们都是O的函数,可以用曲线表示它们随频率Q变化 图42弊性的向示的关系。用曲线图形表示系统频率特性,具有直观方便的优点, 在系统分析和研究中很有用处 4.1.3频率特性的求法 频率特性一般可通过如下三种方法得到。 根据系统的频率响应来求取 因为当给出系统输入r(1)= 4. sin ot时,R(s)= L[A sin a]=2。所以系统的输 出O)=G(s)x+a2l从(0的稳态项中可得到频率响应的幅值和相位,然后,技幅须特 性和相频特性的定义,就可分别求得幅频特性和相频特性。 如前所述,式(43)为例41所述系统的频率响应,故系统的频率特性为: M(O)= A() A 1+T (o=-tan To 2.将传递函数中的s用代替来求取 由频率特性和传递函数的关系分析中知道,系统的频率特性就是其传递函数G(s)中复变量 S=σ+jo在σ=0时的特殊情况。由此,得到一个极为重要的结论与方法,即将系统的传递函 数G(s)中的s用j@替代,就得到系统的频率特性。因此G(o)也称为谐波传递函数。同时,由 式(49)得知,还可利用频率特性G(ω)快速求出系统在谐波输入作用下的稳态响应 例42求例4.1所述系统的频率特性和频率响应(即稳态响应)。 由上可知,系统的频率特性为 (o)=G(s) 1+jo√1+72oi M(o)=G(joy 72 qp()=∠G(o)=-tan-To

自动控制系统及应用 122 ( ) ( ) ( ) ( ) tan 1      U V G j − =  = （4.13） U() = M () cos() （4.14） V() = M()sin () （4.15） 于是有 G( j) = M ()[cos () + j sin ()] 应用欧拉公式，得频率特性的表达式 ( ) ( ) ( )     j G j = M e （4.16） 它们都是  的函数，可以用曲线表示它们随频率  变化 的关系。用曲线图形表示系统频率特性，具有直观方便的优点， 在系统分析和研究中很有用处。 4．1．3 频率特性的求法 频率特性一般可通过如下三种方法得到。 1．根据系统的频率响应来求取 因为当给出系统输入 r(t) A sint = r 时， r r 2 2 ( ) [ sin ] L A R s A t s    = = + 。所以系统的输 出 1 r 2 2 ( ) [ ( ) ] L A c t G s s   − = + 。从 c(t) 的稳态项中可得到频率响应的幅值和相位。然后，按幅频特 性和相频特性的定义，就可分别求得幅频特性和相频特性。 如前所述，式（4.3）为例4.1所述系统的频率响应，故系统的频率特性为： 2 2 r c 1 ( ) ( )    T k A A M + = =   T 1 ( ) tan − = − 2．将传递函数中的s用 j 代替来求取 由频率特性和传递函数的关系分析中知道，系统的频率特性就是其传递函数 G(s) 中复变量 s =  + j 在  = 0 时的特殊情况。由此，得到一个极为重要的结论与方法，即将系统的传递函 数 G(s) 中的 s 用 j 替代，就得到系统的频率特性。因此 G(j) 也称为谐波传递函数。同时，由 式（4.9）得知，还可利用频率特性 G(j) 快速求出系统在谐波输入作用下的稳态响应。 例 4.2 求例 4.1所述系统的频率特性和频率响应（即稳态响应）。 由上可知，系统的频率特性为 -1 tan 2 2 ( ) ( ) e 1 1 j T s j k k G j G s jT T      − = = = = + + 即 2 2 1 ( ) ( )    T k M G j + = =   G j T 1 ( ) ( ) tan − =  = − 0 图6.2 e j Im 图 4.2 频率特性的向量表示

自动控制系统及应用 系统的频率响应 c()=AG(o)sin[ at+ 2G(jo) ak n(ot-tan To) 此结果与例4.1的结果相致 3.用试验方法求取 这是对实际系统求取频率特性的_种常用而又重要的方法。当不知道系统的传递函数或微分方 程时,就无法用上两种方法求频率特性,这时,就只能通过试验来求取。 改变输入谐波信号的颏率,并测出与此相对应的输出幅值A(ωo)与相移φ(ω)。然后,作出幅 值比对频率的函数特性曲线,目幅频特性曲线;并作出相移对频率的函数曲线,即相频颏特性曲线。 4.2频率特性的图示方法 由于频率特性G(jω)以及幅频特性和相频特性都是频率O的函数,因而可以用曲线表示它们 随频率变化的关系。常用的频率特持性的图示方法有极坐标图和对数坐标图。 4.2.1频率特性的极坐标图 频率特性的极坐标图又称№qui图,也称幅相频率特性图。 由于G(o)是O的复变函数,故可在复平面上用复矢量表 示。对于给定的O,G(@)可以用一矢量或其矢端坐标来表示, 矢量的长度为其幅值 与正实轴的夹角为其相角o(o), ∠G(Jo) 在实轴和虚轴上的投影分别为其实频和虚频。相角Q(@)的符号 规定为从正实轴开始,逆时针方向旋转为正,顺吋针方向旋转为 负。当O从0→>∞时,G(ω)的矢端的运动轨迹即为频率特 性的极坐标图,或称为奈氏图。如图43所示。在一张图上,它 不仅表示了幅频特性和相频特性,而且也表示了实频特性和虚频 图43频率特性的极坐标 特性。图中O的箭头方向为从小到大的方向 图44示出常见的二、三阶系统的幅相频率特性曲线。其中 图(a)为两个惯性环节串联的二阶系统,G(s)=(1+7)1+7) 图(b)为一个积分环节和一个惯性环节串联的一阶系统,G()=-1 s(1+1s) 图(c)为三个惯性环节串联的三阶系统,G(s)= (1+不s(+72s(+T3s) 图(d)为一个积分环节和二个惯性环节串联的三阶系统,G()1+7+Ts)

自动控制系统及应用 123 系统的频率响应 sin( tan ) 1 ( ) ( ) sin[ ( )] 1 2 2 r r       t T T A k c t A G j t G j − − + = = +  此结果与例4.1的结果相一致。 3．用试验方法求取 这是对实际系统求取频率特性的一种常用而又重要的方法。当不知道系统的传递函数或微分方 程时，就无法用上两种方法求频率特性，这时，就只能通过试验来求取。 改变输入谐波信号的频率，并测出与此相对应的输出幅值 ( ) Ac  与相移 () 。然后，作出幅 值比对频率的函数特性曲线，即幅频特性曲线；并作出相移对频率的函数曲线，即相频特性曲线。 4．2 频率特性的图示方法 由于频率特性 G(j) 以及幅频特性和相频特性都是频率  的函数，因而可以用曲线表示它们 随频率变化的关系。常用的频率特性的图示方法有极坐标图和对数坐标图。 4．2．1 频率特性的极坐标图 频率特性的极坐标图又称Nyquist图，也称幅相频率特性图。 由于 G(j) 是  的复变函数，故可在复平面上用复矢量表 示。对于给定的  ，G(j) 可以用一矢量或其矢端坐标来表示， 矢量的长度为其幅值 G(j) ，与正实轴的夹角为其相角 () ， 在实轴和虚轴上的投影分别为其实频和虚频。相角 () 的符号 规定为从正实轴开始，逆时针方向旋转为正，顺时针方向旋转为 负。当  从 0 → 时， G(j) 的矢端的运动轨迹即为频率特 性的极坐标图，或称为奈氏图。如图 4.3 所示。在一张图上，它 不仅表示了幅频特性和相频特性，而且也表示了实频特性和虚频 特性。图中  的箭头方向为从小到大的方向。 图 4.4示出常见的二、三阶系统的幅相频率特性曲线。其中： 图（a）为两个惯性环节串联的二阶系统， 1 1 2 1 ( ) (1 )(1 ) G s T s T s = + + 图（b）为一个积分环节和一个惯性环节串联的二阶系统， (1 ) 1 ( ) 2 s Ts G s + = 图（c）为三个惯性环节串联的三阶系统， (1 )(1 )(1 ) 1 ( ) 1 2 3 3 Ts T s T s G s + + + = 图（d）为一个积分环节和二个惯性环节串联的三阶系统， (1 )(1 ) 1 ( ) 1 2 1 s Ts T s G s + + = 。 图 4.3 频率特性的极坐标图 0 Im Re n 3 1 2 ∠ ( ) 1 ( ) 1 图6.3 频率特性的极坐标图

自动控制系统及应用 图44常见系相曲线 由于绘制极坐标图需逐点计算和描绘,而且图形又不规则,特别是在环节串联,频率特性相乘 时,计算工作量更大,当调整参数时,图形变更很不方便,因此,它的应用受到限制,本节也就不 再展开叙述。下面重点介绍工程上广泛采用的对数坐标图,即Bode图 4.2.2频率特性的对数坐标图 频率特性的对数坐标图又称Bodε图。它由对数幅频特性图和对数相频特性图组成。它们的横 坐标是按频率O的以10为底的对数分度,如图45所示。由图45可知,O的数值每变化10倍, 在对数坐标上变化一个单位。即频率O从任数值a增加(减小)到a=10mn(1=)时 的频带宽度在对数坐标上为一个单位,将该频带宽度称为十倍频程,通常以“d”表示。注意,为 了方便,其横坐标虽然是对数分度,但是习惯上其刻度值不标ω值,而是标真数ω值 十倍频程 0.10.20.40.81 图45Bode*标 对数幅频特性图的纵坐标采用均匀分度,坐标值取G()幅值的对数,坐标值为 L(o)=20gGo),其单位称作分贝,记作dB 对数相频特性图的纵坐标也是釆用均匀分度,坐标值取G()的相位角,记作(o), q(o)=∠G(o),单位为度。 用Bode图表示频率特性有如下优点: (1)可以将幅值枏乘转化为幅值相加,便于绘制多个环节串联组成的系统的对数频率特性图。 (2)可采用渐近线近似的作图方法绘制对数幅频图,这给绘图带来了很大方便。 3)由于横坐标采用对数分度,所以能把较宽频率范围的图形紧凑地表示出来。尤其是低频段 的扩展,对工程设计具有很重要意义 1.典型环节的Bode图

自动控制系统及应用 124 由于绘制极坐标图需逐点计算和描绘，而且图形又不规则，特别是在环节串联，频率特性相乘 时，计算工作量更大，当调整参数时，图形变更很不方便，因此，它的应用受到限制，本节也就不 再展开叙述。下面重点介绍工程上广泛采用的对数坐标图，即Bode图。 4．2．2 频率特性的对数坐标图 频率特性的对数坐标图又称 Bode 图。它由对数幅频特性图和对数相频特性图组成。它们的横 坐标是按频率  的以10为底的对数分度，如图4.5所示。由图4.5可知，  的数值每变化10倍， 在对数坐标上变化一个单位。即频率  从任一数值 0 增加（减小）到 1 =100 （ 10 0 1   = ）时 的频带宽度在对数坐标上为一个单位，将该频带宽度称为十倍频程，通常以“dec”表示。注意，为 了方便，其横坐标虽然是对数分度，但是习惯上其刻度值不标 lg  值，而是标真数  值。 对数幅频特性图的纵坐标采用均匀分度，坐标值取 G(j) 幅值的对数，坐标值为 L() = 20lgG(j) ，其单位称作分贝，记作dB。 对数相频特性图的纵坐标也是采用均匀分度，坐标值取 G(j) 的相位角，记作 () ， () = G(j) ，单位为度。 用 Bode图表示频率特性有如下优点： （1）可以将幅值相乘转化为幅值相加，便于绘制多个环节串联组成的系统的对数频率特性图。 （2）可采用渐近线近似的作图方法绘制对数幅频图，这给绘图带来了很大方便。 （3）由于横坐标采用对数分度，所以能把较宽频率范围的图形紧凑地表示出来。尤其是低频段 的扩展，对工程设计具有很重要意义。 1． 典型环节的Bode图 图6.4 常见系统的幅相频率特性曲线 0 Re Im Im Re 0 Im 0 Re 0 Im Re 图 4.4 常见系统的幅相频率特性曲线 图 4.5 Bode图横坐标 0.1 0.2 0.4 0.8 1 2 4 6 8 20 40 60 80 100 0 1 2 10 一个十倍频程 一个十倍频程 lg 图6.5 Bode图横坐标 -1

自动控制系统及应用 (1)比例环节 比例环节的频率特性为: 其对数幅频特性和对数相频特性分别为 20lgK LO=201g K q()=0 可见,比例环节的对数幅频特性是一条高度等于 20lgK的水平直线:其对数相频特性是与0重合的 条直线,如图46所示(图中K=10)当K值改变时, 只是对数幅频特性上下平移,而对数相频特性不变。 囝46比的Bode图 (2)积分环节 积分环节的频率特性为: 1 对数幅频特性为 L(0=201=20g1=-20g (4.19) 对数相频特性为 q(o)=∠G(jo)=tan-lo (420) 由式(419)可知,每当频率变化10倍频程时,对数幅频特性就下降20dB,故积分环节的对 数幅频特性曲线在整个频率范围内是一条斜率为-20dB/dec的直线。当O=1时,L(o)=0 即在此频率时,积分环节的对数幅频特性曲线与0dB线相交,如图47所示。积分环节的对数相频 特性曲线在整个频率范围内为条-900的水平线 . 20dB/dec L(o) 20dB/dec 图47积分环的Boe图 图48微分环的Bode图 (3)微分环节

自动控制系统及应用 125 （1）比例环节 比例环节的频率特性为： G j K ( )  = 其对数幅频特性和对数相频特性分别为： L K ( ) 20lg  = o  ( ) 0 = 可见，比例环节的对数幅频特性是一条高度等于 20lg K 的水平直线；其对数相频特性是与0 0重合的一 条直线，如图4.6所示（图中K=10）。当K值改变时， 只是对数幅频特性上下平移，而对数相频特性不变。 （2）积分环节 积分环节的频率特性为：   j G j 1 ( ) = 对数幅频特性为     20lg 1 20lg 1 ( ) = 20lg = = − j L （4.19） 对数相频特性为 1 0 1 ( ) ( ) tan 90 0 G j     − − =  = = − （4.20） 由式（4.19）可知，每当频率变化 10 倍频程时，对数幅频特性就下降 20dB，故积分环节的对 数幅频特性曲线在整个频率范围内是一条斜率为−20dB dec 的直线。当  =1 时， L() = 0 ， 即在此频率时，积分环节的对数幅频特性曲线与0dB线相交，如图4.7所示。积分环节的对数相频 特性曲线在整个频率范围内为一条 0 − 90 的水平线。 （3）微分环节 20 0 40 -6 -20 0.01 0.1 1 2 10 60 -20dB/dec 0.1 0°0.01 1 10 90° -90° -180° 图6.7 积分环节的Bode图 图 4.7 积分环节的 Bode图 40 20dB/dec 图6.8 微分环节的Bode图 1 0°0.1 90° 10 0 -20 20 100 1000 0.1 1 10 100 1000 图 4.8 微分环节的 Bode图 图 4.6 比例环节的Bode图 0 0° 20lg 10° 20 1 10 100 1 10 100 图6.6 比例环节的Bode图

自动控制系统及应用 微分环节的频率特性为: G(o=jo L(o)=20go=20g (421) q()=∠G(o) 上述公式与积分环节的对应式(419)(420)相比较,仅相差一个负号。故微分环节的对数幅 频特性为过点(1,0),斜率为20dB/dec的一条直线。对数相频特性恒等于90°。如图48所示。 4)惯性环节 惯性环节的频率特性为: 1+j7 其对数幅频特性和对数相频特性分别为: L()=20l Ig v1+T 当O从0→∞时,可计算出相应的L(o)和(O),并可绘出相应的特性曲线。在工程上常采 用近似作图法来画对数幅频曲线,即用渐近线近似表示 若令 当O<<ω-时,则 L()=201g01-20lg√a12+o2≈0dB (425) 所以,对数幅频特性的低频渐近线为一条OB直线,它止于点(an,0) 当O 时,则 L(o)≈20lga1-20gO (426) 若将O=n代入式(426),得 L(o) 所以,对数幅频特性的高频渐近线是一条始于点(On,0),斜率为-20dB/dec的斜直线。 显然,O1是低频渐近线与高频渐近线的交点处的频率,称为转角频率。 惯性环节的Bode图如图49所示。图中也绘出了精确曲线

自动控制系统及应用 126 微分环节的频率特性为： G(j) = j L() = 20lg j = 20lg （4.21） 1 o ( ) ( ) tan 90 0 G j     − =  = = （4.22） 上述公式与积分环节的对应式（4.19）、（4.20）相比较，仅相差一个负号。故微分环节的对数幅 频特性为过点（1，0），斜率为 20dB dec 的一条直线。对数相频特性恒等于 0 90 。如图4.8所示。 （4）惯性环节 惯性环节的频率特性为：   jT G j + = 1 1 ( ) 其对数幅频特性和对数相频特性分别为： 2 2 20lg 1 1 1 ( ) 20lg    T jT L = − + + = （4.23） 1 1 ( ) tan 1 T jT     − =  = − + （4.24） 当  从 0 → 时，可计算出相应的 L() 和 () ，并可绘出相应的特性曲线。在工程上常采 用近似作图法来画对数幅频曲线，即用渐近线近似表示。 若令 T T 1  = ，当  T 时，则 2 2 T T L( ) 20lg 20lg 0dB     = − +  （4.25） 所以，对数幅频特性的低频渐近线为一条0dB直线，它止于点（ T ，0）。 当    T 时，则 T L( ) 20lg 20lg     − （4.26） 若将  = T 代入式（4.26），得 T L( ) 0dB    = = 所以，对数幅频特性的高频渐近线是一条始于点（ T ，0），斜率为−20dB dec 的斜直线。 显然， T 是低频渐近线与高频渐近线的交点处的频率，称为转角频率。 惯性环节的Bode图如图4.9所示。图中也绘出了精确曲线

自动控制系统及应用 10 低频渐近线 IoT 精确曲线 高频渐近线 20d B/dec 10@T 田49恻环节的Bode图 渐近线与精确的对数幅频特性之间有误差e(ω),在低频段,误差是式(423)的右边减式(425 的右边所得,即 e(a)=201g @r oF+o (427) 在高频段,误差是式(423)的右边减式(426)的右边所得,即 e(m)=201go-20gya2+ (428 根据式(427)和式(428),作出不同 频率的误差修正曲线,如图410所示。由图E 可知,最大误差发生在n处,其误差为 dB。在2m1或On1/2的频率处,误差 为-0.91dB,即约为-ldB,而在10m1或 O1/10的频率处,e(ω)≈0dB。据此可 在0.ln~100范围内对渐近线进行修 正,便可得到精确曲线。 由式(424)(o)=-tan1o7=-tan22,得 当O=0时,O(O)

自动控制系统及应用 127 渐近线与精确的对数幅频特性之间有误差 e() ，在低频段，误差是式（4.23）的右边减式（4.25） 的右边所得，即 2 2 T T e( ) 20lg 20lg     = − + （4.27） 在高频段，误差是式（4.23）的右边减式（4.26）的右边所得，即 2 2 T e( ) 20lg 20lg     = − + （4.28） 根据式（4.27）和式（4.28），作出不同 频率的误差修正曲线，如图4.10所示。由图 可知，最大误差发生在 T 处，其误差为 −3dB 。在 T 2 或 T  /2 的频率处，误差 为−0.91dB ，即约为−1dB ，而在 T 10 或 T  /10 的频率处， e( ) 0dB   。据此可 在 T T 0.1 ~ 10   范围内对渐近线进行修 正，便可得到精确曲线。 由式（4.24） 1 1 T ( ) tan tan T      − − = − = − ，得 当  = 0 时， 0 () = 0 当  = T 时， 0 () = −45 -90° 10 -20dB/dec 图6.9 惯性环节的Bode图 0° -45° 0.1 0 -10 -20 T T 10 T 高频渐近线 低频渐近线 精确曲线 10 0.1 T T T 图 4.9 惯性环节的Bode图 0 -1 -2 -3 -4 0.1 T 0.2 T 0.5 T T 2 T 3 T 5 T 10 T dB 图6.10 误差修正曲线 图 4.10 误差修正曲线

自动控制系统及应用 当O=∞时,(o)=-90 在上述三个特殊点基础上,再适当补充几个点,就可绘出惯性环节的对数相频特性曲线,如图 49所示。由图可知,惯性环节的对数相频特性曲线斜对称于点(O145)。当O由0→∞时,其 (o)的变化范围为0→90° (5)一阶微分环节 阶微分环节的传递函数为G(s)=T+1,与惯性环节的传递函数互为倒数。其频率特性为: GGo)=l+jTo 其对数幅频特性和对数相频特性为: L(a)=20g√1+r2a2 p(o=tan" To (429 上述二式与惯性环节樞应式(423)、(424)比较,仅相差·个负号,故其对频特性与惯性环节 的对频特性是镜像对称于ω轴, 微分环节Boce图,如图4.1所示。 p(o) 精确曲线 高频渐近线45 低频渐近线T 图411-阶微分环节的Bode图 也就是说,阶微分环节的低频渐近线也是一条OdB线,高频近线始于点(O1,0),是余 率为20dB/dec的直线。榧频特性是以(an,45)点斜对称,变化范围为0-9y的曲线。其中, 为转角频率。 (6)振荡环节 振荡环节的传递函数为: (0≤:<1) s-+220s+o 故其频率特性为 G(0)=a2-02+125001-x2+252 式中,λ=一,于是对数幅频特性和对数相频特性分别为

自动控制系统及应用 128 当  =  时， 0 () = −90 在上述三个特殊点基础上，再适当补充几个点，就可绘出惯性环节的对数相频特性曲线，如图 4.9 所示。由图可知，惯性环节的对数相频特性曲线斜对称于点( T ,-450 )。当  由 0 → 时，其 () 的变化范围为0→-900。 （5）一阶微分环节 一阶微分环节的传递函数为 G(s) = Ts +1 ，与惯性环节的传递函数互为倒数。其频率特性为： G(j) = 1+ jT 其对数幅频特性和对数相频特性为： 2 2 L() = 20 lg 1 + T  (4.28) 1    ( ) tan T − = （4.29） 上述二式与惯性环节相应式（4.23）、（4.24）比较，仅相差一个负号，故其对频特性与惯性环节 的对频特性是镜像对称于  轴，一阶微分环节Bode图，如图4.11所示。 也就是说，一阶微分环节的低频渐近线也是一条 0dB 线，高频渐近线始于点（ T ，0），是斜 率为 20dB dec 的直线。相频特性是以（ T ，450）点斜对称，变化范围为0~900的曲线。其中， T 1 T  = 为转角频率。 （6）振荡环节 振荡环节的传递函数为： 2 n 2 2 n n ( ) 2 G s s s    = + + （0≤  ＜1） 故其频率特性为 2 n 2 2 2 n n 1 ( ) 2 1 2 G j j j         = = − + − + 式中， n    = ，于是对数幅频特性和对数相频特性分别为 图 4.11 一阶微分环节的Bode图 20dB/dec 图6.11 一阶微分环节的Bode图 45° T 90° 0°0.1 T 10 T 0 -10 10 0.1 精确曲线 T 低频渐近线 T 高频渐近线 10 T