第五章一阶电路 上海突通大学本科学位课程 2003年9月
第五章 一阶电路 上海交通大学本科学位课程 2003年9月
线性定常一阶电路的零状态响应 零状态响应是电路在零初始 状态下,仅由电路的输入引Ac 起的响应。 在t=0时,v(O)=0,仅由直流 电流源引起的响应就是°8c 零状态响应。 若电路处零状态,ilu(t)为阶跃函数,所求的响 应就是阶跃响应。若i=ut为单位阶跃函数,所 求的响应就是单位阶跃响应s()
线性定常一阶电路的零状态响应 S i K R C Cv 零状态响应是电路在零初始 状态下，仅由电路的输入引 起的响应。 在t=0时, vC(0)=0，仅由直流 电流源i s=I所引起的响应就是 零状态响应 。 若电路处零状态，i s=Iu(t)为阶跃函数，所求的响 应就是阶跃响应。若 i s=u(t)为单位阶跃函数，所 求的响应就是单位阶跃响应s(t)。 S i R C Cv
电路方程 Cis(0=I t0 v(0)=0 电路方程是一个非齐次线性微分方程。它的解为齐次解 与特解之和。 c=Vh +V Wh=ke rc Rl ceke + RI 由初始条件12(0)=k+R=0得k=-R vc(t)=ri(l-e u(t) v(O)稳态分量,强制分量 RI 同样可得 0.632RI i2(D) (1-e)l(t) R 0.368RI ic (t)=lu()-iR(t)=le Cu(t) B若态分量,自由分量
S i R C Cv 0 ( ) Cv tRI 0.632RI −0.368RI −RI Cp v Cv Ch v t 稳态分量，强制分量 暂态分量，自由分量 电路方程 1 ( ) 0 (0) 0 C C S C dv C v i t I t dt R v + = = = … 电路方程是一个非齐次线性微分方程。它的解为齐次解 与特解之和。 C h p v v v = + t RC h v ke − = p v RI = t RC C v ke RI − = + 由初始条件 (0 ) 0 C v k RI + = + = 得 k RI = − ( ) (1 ) ( ) t RC C v t RI e u t − = − 同样可得 ( ) ( ) (1 ) ( ) t C RC R v t i t I e u t R − = = − ( ) ( ) ( ) ( ) t RC C R i t Iu t i t Ie u t − = − = ( ) S i tI0 t
●由n(t)=RI-RleR v(O)稳态分量,强制分量 R 可看成为两种波形的叠加。 0.632RI 就特解而言,是电路趋稳态后的3602 响应,称稳态分量;或认为是激 暂态分量,自由分量 励源强迫其电压达到规定值,故 R 称强制分量。 ●就齐次解而言,当t4τ~5τ,可认为衰减结束,所以称暂 态分量。暂态分量逐渐衰减的过程,就是电路逐渐趋于 稳定的过程;齐次解在随时间变化的规律上讲,只取决 于时间常数,而时间常数仅仅由网络的拓扑结构和元件 参数决定,与输入无关,因此也称自由分量
由 可看成为两种波形的叠加。 就特解而言，是电路趋稳态后的 响应，称稳态分量；或认为是激 励源强迫其电压达到规定值，故 称强制分量。 ( ) t RC C v t RI RIe − = − 就齐次解而言，当t=4~5，可认为衰减结束，所以称暂 态分量。暂态分量逐渐衰减的过程，就是电路逐渐趋于 稳定的过程；齐次解在随时间变化的规律上讲，只取决 于时间常数，而时间常数仅仅由网络的拓扑结构和元件 参数决定，与输入无关，因此也称自由分量。 0 ( ) Cv tRI 0.632RI −0.368RI −RI Cp v Cv Ch v t 稳态分量，强制分量 暂态分量，自由分量
4线性定常一阶电路的零状态响应是输入的 线性函数。 对于任一确定时刻t=T,R(1-e)=常数A,所以,V=As ●零状态响应算子z(,) s:输入 b:电路在时t处零状态;输入在t时加入 z:零状态响应 Z(ais+ Bus=aZ,(is)+ BZ(vs)
线性定常一阶电路的零状态响应是输入的 线性函数。 对于任一确定时刻t =T， 零状态响应算子 (1 ) T RC R e − − = 常数A ，所以，vC=Ais 0 ( ) Z i t s is：输入 t0：电路在时t0处零状态；输入在t0时加入 Z ：零状态响应 0 0 0 ( ) ( ) ( ) Z i v Z i Z v t s s t s t s + = +
定常电路的延时特性 电源在t=0时加入,=h(t)则v()=R/(l-ekm() v(n) s(t) 电源延迟到tt0时接入,i,=M(t-10) (t)=R/(1 (t-t0) () C=v t0
定常电路的延时特性 I0 t ( ) S i t 电源在t=0时加入， ( ) s i Iu t = ( ) (1 ) ( ) t RC v t RI e u t − 则 = − 电源延迟到t= t0时接入， 0 ( ) s i Iu t t = − 则 0 0 ( ) (1 ) ( ) t t RC v t RI e u t t − − = − − S i R C Cv S i R C Cv 0 t st( ) vt( ) 0 0 t t I ( ) S i t 0 0 t t st( ) RI vt( )
线性定常一阶电路的正弦响应 is(t)=A cos(at+ou)u(t) t≥0的电路方程为 dv(t) v(t) A, cos(at+ou) R 齐次解()=kek 特解为一个强制分量,与输入同频率的正弦量 (t)=A, cos(ot+,) 特解应满足原方程 A cos(at+9) dt R 可求得A p2 =p,- tan ORC oC)2+(1/R
线性定常一阶电路的正弦响应 t≥0+的电路方程为 1 1 ( ) cos( ) ( ) s i t A t u t = + 1 1 ( ) ( ) cos( ) dv t v t C A t dt R + = + 齐次解 ( ) t RC h v t ke − = 特解 为一个强制分量，与输入同频率的正弦量 2 2 ( ) cos( ) p v t A t = + 特解应满足原方程 1 1 ( ) ( ) cos( ) p p dv t v t C A t dt R + = + 可求得 1 2 2 2 ( ) (1/ ) A A C R = + 1 2 1 tan R C − = − S i R C Cv
所以v()=ke+A2cos(om+a2) 在零状态下V0)=k+4cosm2=0即k=-4cs02 因此v(1)=[-A2cos2ek+A2cos(or+2)() 暂态分量 稳态分量 在零状态下,电压的暂态分量初值v(0)=-42cosa2 与稳态分量初值v0)=A2cos2大小相等,方向相反 当92=90时,也即卯=90+ tano rc 暂态分量与稳态分量的值都为零,说明电压响应中没有 暂态分量,也就没有过渡过程,电路从换路一开始,就 直接进入稳态。这是一种特殊情况
所以 2 2 ( ) cos( ) t RC v t ke A t − = + + 在零状态下 2 2 v k A (0 ) cos 0 + = + = 即 2 2 k A = − cos 因此 2 2 2 2 ( ) [ cos cos( )] ( ) t RC v t A e A t u t − = − + + 暂态分量 稳态分量 在零状态下，电压的暂态分量初值 2 2 (0 ) cos t v A + = − 与稳态分量初值 2 2 (0 ) cos s v A + = 大小相等，方向相反 当 2 = 9 0 时，也即 1 1 90 tan R C − = + 暂态分量与稳态分量的值都为零，说明电压响应中没有 暂态分量，也就没有过渡过程，电路从换路一开始，就 直接进入稳态。这是一种特殊情况
若换路时q2=0,则v(1)=-A2eK+A2 Cost 若电路的时间常数RC远大于输入电源的周期,则从 换路起,经过半个周期左右的时间,电压的暂态分量 衰减极为有限,暂态分量于稳态分量的叠加结果为 A2+A2cos180=-242 这说明如果当电压的稳态分量经过极大值时换路,而电 路的时间常数又大,则换路后电压的最大瞬时绝对值接 近于稳态电压振幅的2倍。 在工程中要注意电容器的耐压
若换路时 2 = 0 ，则 若电路的时间常数 RC 远大于输入电源的周期，则从 换路起，经过半个周期左右的时间，电压的暂态分量 衰减极为有限，暂态分量于稳态分量的叠加结果为 2 2 2 cos180 2 2 T v A A A − + = − 这说明如果当电压的稳态分量经过极大值时换路，而电 路的时间常数又大，则换路后电压的最大瞬时绝对值接 近于稳态电压振幅的2倍。 在工程中要注意电容器的耐压。 2 2 ( ) t RC v t A e A Cos t − = − +
线性定常一阶电路的冲激响应 当电路的输入 δ(1)时的零状态 is=8(0) 响应称单位冲激4分↑ac 响应。 电路方程c4+1,=o6( dt R 由于t=0时接入单位冲激电流,为无限大电流,电容 电压将发生有限跳变。电容电压跳变是在0~0瞬间 内完成的,所以可通过对电路方程两边从0~0积分 求得电压的跳变值
线性定常一阶电路的冲激响应 当电路的输入is (t) = (t)时的零状态 响应,称单位冲激 响应。 S i R C Cv 电路方程 1 ( ) dv C v t dt R + = 由于t=0时接入单位冲激电流，为无限大电流，电容 电压将发生有限跳变。电容电压跳变是在0-0+瞬间 内完成的，所以可通过对电路方程两边从0-0+积分 求得电压的跳变值。 1 0 t ( ) S i t =