《自动控制系统及应用》第七章 瞬态响应分析

自动控制系统及应用 第七章瞬态响应分析 本章是在研究自动控制系统的稳定性和稳态精度的基础上,研究自动控制系统的动态过 程,即研究控制系统在输入信号作用下,系统输出量随时间的变化过程。对于这个动态过程 可以用几个特征量表达它的性能指标。这些动态性能指标在时域的特征量为:上升时间、最 大超调量和调整时间等;在频域的特征量为:相位裕量、増益裕量、谐振峰值和频宽等。本 章具体研究的内容是控制系统的时间响应和频率响应及它们之间的关系。 71时间响应的概念 711控制系统典型的输入信号 分析控制系统的第一步工作,是建立系统的数学模型(如传递函数和频率特性)。一旦 获得系统的数学模型,就可以采用各种不同的分析方法,去分析系统的性能 研究系统的动态特性,就是研究系统在输入信号作用下,输出量是怎样按输入量的作用 而变化的,亦即系统对输入如何产生响应 是否有必要把任何一种输入作用下的响应都加以研究呢?这样做太复杂,也没有必要。 实际上,系统的输入信号往往具有随机的性质,在某一瞬间具体的输入形式是什么,预先常 无法知道,并且输入量往往也不可能用解析的方法准确地表示出来。 在分析和设计系统时,我们需要有一个对各种系统性能进行比较的基础,这种基础就是 预先规定一些具有特殊形式的试验信号作为系统的输入,然后比较各种系统对这些输入信号 的响应。 经常采用的试验输入信号有阶跃函数、斜坡函数、加速度函数、脉冲函数和正弦函数 因为它们都是简单的时间函数,可以容易地对控制系统进行数学和实验的分析 分析系统响应特性究竟采用哪一种或哪几种典型输入信号,取决于系统在正常工作情况 下最常见的输入信号形式。如果控制系统的输入量是随时间逐渐变化的函数,则斜坡时间函 数是比较合适的试验信号:同样,如果系统的输入信号是突然的扰动量或突加的输入,则阶 跃函数是比较合适的试验信号:而当系统的输入是冲击输入量时,则采用脉冲函数最为合适: 如果系统的输入信号是随时间变化的往复运动,则采用正弦函数是最合适的 712瞬态响应和稳态响应 系统在输入信号的作用下,其输出随时间的变化过程,即系统的时间响应。 输入引起的时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。瞬态响应是指系统在某一输入 信号作用于系统时,系统的输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。稳态响应是指时间I 趋于无穷大时,系统的输出状态 因为实际的物理系统总是包含一些储能元件,如质量、弹簧、电感、电容等元件,所以 当输入信号作用于系统时,系统的输岀量不能立刻跟随输入量而变化,而是在系统达到稳态 之前,表现为瞬态响应过程。对于一般稳定的控制系统来说,瞬态响应(阶跃输入信号作用 时)有如图7.1所示的两大类形式。曲线①为减幅振荡过程,它对应系统具有负实部的共轭

自动控制系统及应用 180 第七章 瞬态响应分析 本章是在研究自动控制系统的稳定性和稳态精度的基础上，研究自动控制系统的动态过 程，即研究控制系统在输入信号作用下，系统输出量随时间的变化过程。对于这个动态过程， 可以用几个特征量表达它的性能指标。这些动态性能指标在时域的特征量为：上升时间、最 大超调量和调整时间等；在频域的特征量为：相位裕量、增益裕量、谐振峰值和频宽等。本 章具体研究的内容是控制系统的时间响应和频率响应及它们之间的关系。 7.1 时间响应的概念 7.1.1 控制系统典型的输入信号 分析控制系统的第一步工作，是建立系统的数学模型（如传递函数和频率特性）。一旦 获得系统的数学模型，就可以采用各种不同的分析方法，去分析系统的性能。 研究系统的动态特性，就是研究系统在输入信号作用下，输出量是怎样按输入量的作用 而变化的，亦即系统对输入如何产生响应。 是否有必要把任何一种输入作用下的响应都加以研究呢？这样做太复杂，也没有必要。 实际上，系统的输入信号往往具有随机的性质，在某一瞬间具体的输入形式是什么，预先常 无法知道，并且输入量往往也不可能用解析的方法准确地表示出来。 在分析和设计系统时，我们需要有一个对各种系统性能进行比较的基础，这种基础就是 预先规定一些具有特殊形式的试验信号作为系统的输入，然后比较各种系统对这些输入信号 的响应。 经常采用的试验输入信号有阶跃函数、斜坡函数、加速度函数、脉冲函数和正弦函数。 因为它们都是简单的时间函数，可以容易地对控制系统进行数学和实验的分析。 分析系统响应特性究竟采用哪一种或哪几种典型输入信号，取决于系统在正常工作情况 下最常见的输入信号形式。如果控制系统的输入量是随时间逐渐变化的函数，则斜坡时间函 数是比较合适的试验信号；同样，如果系统的输入信号是突然的扰动量或突加的输入，则阶 跃函数是比较合适的试验信号；而当系统的输入是冲击输入量时，则采用脉冲函数最为合适； 如果系统的输入信号是随时间变化的往复运动，则采用正弦函数是最合适的。 7.1.2 瞬态响应和稳态响应 系统在输入信号的作用下，其输出随时间的变化过程，即系统的时间响应。 输入引起的时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。瞬态响应是指系统在某一输入 信号作用于系统时，系统的输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。稳态响应是指时间 t 趋于无穷大时，系统的输出状态。 因为实际的物理系统总是包含一些储能元件，如质量、弹簧、电感、电容等元件，所以 当输入信号作用于系统时，系统的输出量不能立刻跟随输入量而变化，而是在系统达到稳态 之前，表现为瞬态响应过程。对于一般稳定的控制系统来说，瞬态响应（阶跃输入信号作用 时）有如图 7.1 所示的两大类形式。曲线①为减幅振荡过程，它对应系统具有负实部的共轭

自动控制系统及应用 复数极点。曲线②为单调过程,它对应系统具有负实数的极点 会= 图71系统阶跃响应的形式 72一阶系统的时间响应 721一阶系统的数学模型 由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。图7.2表 C(s) 一个典型的一阶系统,其传递函数为 C(S) Ts 图72典型一阶系统 式中,T称为一阶系统的时间常数,它表达了一阶系 统本身的与外界无关的固有特性,是一阶系统的特征参数 722一阶系统的单位阶跃响应 当系统的输入信号r()是单位阶跃函数1(1)时,系统的输出c()称为单位阶跃响应 当r(t)=1(1),即R(S)=-时,则一阶系统的单位阶跃响应的拉氏式为 C(S)= Ts+1 s 取C(S)的拉氏反变换,可得单位阶跃响应为 c(0=L-IC(S]=L s(Ts +D) ss+1/7 =1

自动控制系统及应用 181 复数极点。曲线②为单调过程，它对应系统具有负实数的极点。 7.2 一阶系统的时间响应 7.2.1 一阶系统的数学模型 由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。图 7.2 表 示一个典型的一阶系统，其传递函数为 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) + = +  = = Ts Ts Ts R s C s s (7.1 ) 式中， T 称为一阶系统的时间常数，它表达了一阶系 统本身的与外界无关的固有特性，是一阶系统的特征参数。 7.2.2 一阶系统的单位阶跃响应 当系统的输入信号 rt() 是单位阶跃函数 1( )t 时，系统的输出 ct() 称为单位阶跃响应。 当 r t t ( ) 1( ) = ，即 1 R s( ) s = 时，则一阶系统的单位阶跃响应的拉氏式为 Ts s C s 1 1 1 ( )  + = 取 C(s) 的拉氏反变换，可得单位阶跃响应为 t T s s T s Ts c t C s - e L L L = − + = − + = = − − − 1 ] 1 1 1 [ ] ( 1) 1 ( ) [ ( )] [ 1 1 1 （t ≥0） （7.2） 0 ① ② 2△ 图9.1 系统阶跃响应的形式 图 7.1 系统阶跃响应的形式 图 7.2 典型一阶系统 图9.2 典型一阶系统 + - 1

自动控制系统及应用 式(72)右边第一项是单位阶跃响应的稳态分量,即c(∞)=1。第二项是瞬态分量, 当【→>∞时,瞬态分量趋于零。c()随时间t变化的曲线如图7.3所示,是一条按指数规律 单调上升的曲线,稳态值为c(∞)。由图可知,曲线有两个重要的特征点。一个是A点 其对应的时间t=T时,系统的响应c()达到了稳态值的632%;另一个是t=0时,系统 响应c()的切线斜率等于1T。因为 dt so T 这两个特征点都十分直接地同系统的时间常数T 相联系,都包含了与一阶系统固有特性有关的信息 c(r) 斜率 由式(72)可见,时间常数T越小,c()上升速 度越快,达到稳态值所用的时间越短,也就是系统惯 c(t=l-e tT 性越小:反之,T越大,系统对信号的响应越缓慢, 惯性越大。所以T的大小反映了一阶系统惯性的大小。 从响应开始到进入稳态所经过的时间通常叫做调图73一阶系统单位阶跃响应 整时间(或过渡过程时间)1。理论上讲,一阶系统 结束瞬态过程进入稳态,要求1→∞。而工程上往往是这样来定义的,如果系统允许有2% (或5%)的误差,那么当输出值达到稳态值的98%(或95%)时,就认为系统瞬态过程 结束,由式(72)可求得c(lx=0982c()=x=095。因此一阶系统的调整时间1的 值为 t、=47(误差范围2%时) ,=37(误差范围5%时) 显然,t的大小可作为评价系统响应快慢的指标。应当指出,调整时间只反映系统的固 有特性,而与输入输出无关 由以上分析还可知,若要求用实验方法求出一阶系统的传递函数,就可以先对系统输入 个单位阶跃信号,并测出它的响应曲线,当然包括其稳态值c(∞),然后从响应曲线上找 出0.632c(∞)(即特征点A)处所对应的时间t,这个t就是系统的时间常数T:或者找出 t=0时c(1)的切线斜率,这个斜率的倒数也是时间常数T。再依式(71)即可求得Φ(s)

自动控制系统及应用 182 式（7.2）右边第一项是单位阶跃响应的稳态分量，即 c( ) 1  = 。第二项是瞬态分量， 当 t → 时，瞬态分量趋于零。 ct() 随时间 t 变化的曲线如图 7.3 所示，是一条按指数规律 单调上升的曲线，稳态值为 c( )  。由图可知，曲线有两个重要的特征点。 一个是 A 点， 其对应的时间 t T= 时，系统的响应 ct() 达到了稳态值的 63.2% ；另一个是 t = 0 时，系统 响应 ct() 的切线斜率等于 1 T 。因为 t T T c t t T t t 1 e 1 d d ( ) 0 0 = = = − = 这两个特征点都十分直接地同系统的时间常数 T 相联系，都包含了与一阶系统固有特性有关的信息。 由式（7.2）可见，时间常数 T 越小， ct() 上升速 度越快，达到稳态值所用的时间越短，也就是系统惯 性越小；反之， T 越大，系统对信号的响应越缓慢， 惯性越大。所以 T 的大小反映了一阶系统惯性的大小。 从响应开始到进入稳态所经过的时间通常叫做调 整时间（或过渡过程时间） s t 。理论上讲，一阶系统 结束瞬态过程进入稳态，要求 t → 。而工程上往往是这样来定义的，如果系统允许有 2% （或 5% ）的误差，那么当输出值达到稳态值的 98% （或 95% ）时，就认为系统瞬态过程 结束，由式（7.2）可求得 4 3 ( ) 0.982, ( ) 0.95 t T t T c t c t = = = = 。因此一阶系统的调整时间 s t 的 值为 t s = 4T （误差范围 2% 时） （7.3） t s = 3T （误差范围 5%时） 显然， s t 的大小可作为评价系统响应快慢的指标。应当指出，调整时间只反映系统的固 有特性，而与输入输出无关。 由以上分析还可知，若要求用实验方法求出一阶系统的传递函数，就可以先对系统输入 一个单位阶跃信号，并测出它的响应曲线，当然包括其稳态值 c( )  ，然后从响应曲线上找 出 0.632 ( ) c  （即特征点 A ）处所对应的时间 t ，这个 t 就是系统的时间常数 T ；或者找出 t = 0 时 ct() 的切线斜率，这个斜率的倒数也是时间常数 T 。再依式（7.1）即可求得 (s) 。 图 7.3 一阶系统单位阶跃响应 0 0.632 1 斜率 1 c =1-e 图9.3 一阶系统单位阶跃响应 c

自动控制系统及应用 723一阶系统的单位脉冲响应 单位脉冲输入时,输入量的拉氏变换R(s)=L[o(m)=1,其响应的拉氏变换 将上式两边取拉氏反变换,得到一阶系统的单位脉冲响应为 c()=-e t≥0) 由式(74)可知,一阶系统的单位脉冲响应只 有瞬态项,其稳态项为零。单位脉冲响应曲线如图 74所示。它为一单调下降的指数曲线。如果将上述 指数曲线衰减到初值的2%之前的过程定义为过渡 斜率 过程,则可算得相应的时间为4T。称此时间(4T) 0.368 -UT 为过渡过程时间或调整时间,记为t。由此可见 系统的时间常数T愈小,其过渡过程的持续时间愈 图74一阶系统单位脉冲响应 短,这表明系统的惯性愈小,系统对输入信号反应 的快速性能愈好 由上述两种响应的结果可以看出,瞬态响应的特性反映系统本身的特性,时间常数大的 系统,其响应速度慢于时间常数小的系统,不管用哪种信号输入,都有这种规律。输入试验 信号是为了识别系统的特性,而系统的特性只取决于组成系统的参数,不取决于外作用的形 724响应之间的关系 我们还可求出一阶系统的单位斜坡响应和单位抛物线响应,将几种典型输入时间响应列 入表7.1,可以看出输入信号之间有依次微分(或积分)的关系 [O=2t1m)=[=t2 (7.5) 表7.1几种典型输入的时间响应 c() 6(t) 1(0) t-t+Te (2-Tt+r2-T

自动控制系统及应用 183 7.2.3 一阶系统的单位脉冲响应 单位脉冲输入时，输入量的拉氏变换 R(s) = L[ (t)] = 1 ，其响应的拉氏变换 1 1 1 1 1 ( ) +  = + = Ts Ts C s 将上式两边取拉氏反变换，得到一阶系统的单位脉冲响应为 T t T c t - e 1 ( ) = ( t  0 ) (7.4) 由式（7.4）可知，一阶系统的单位脉冲响应只 有瞬态项，其稳态项为零。单位脉冲响应曲线如图 7.4 所示。它为一单调下降的指数曲线。如果将上述 指数曲线衰减到初值的 2%之前的过程定义为过渡 过程，则可算得相应的时间为 4T 。称此时间（ 4T ） 为过渡过程时间或调整时间，记为 s t 。由此可见， 系统的时间常数 T 愈小，其过渡过程的持续时间愈 短，这表明系统的惯性愈小，系统对输入信号反应 的快速性能愈好。 由上述两种响应的结果可以看出，瞬态响应的特性反映系统本身的特性，时间常数大的 系统，其响应速度慢于时间常数小的系统，不管用哪种信号输入，都有这种规律。输入试验 信号是为了识别系统的特性，而系统的特性只取决于组成系统的参数，不取决于外作用的形 式。 7.2.4 响应之间的关系 我们还可求出一阶系统的单位斜坡响应和单位抛物线响应，将几种典型输入时间响应列 入表 7.1，可以看出输入信号之间有依次微分（或积分）的关系： ] 2 1 [ d d [ 1( )] d d [1( )] d d ( ) 2 3 3 2 2 t t t t t t t  t = =  = （7.5） 表 7.1 几种典型输入的时间响应 r(t) c(t)  (t) T t T − e 1 1(t) T − t 1− e t T t t T T − − + e 2 2 1 t T t t Tt T T − − + − e 2 1 2 2 2 1 图9.4 一阶系统单位脉冲响应 斜率 0 0.368 1 1 -t/T 2 -1 图 7.4 一阶系统单位脉冲响应

自动控制系统及应用 它们所对应的时间响应,也依次有相应的微分(或积分)关系。这种对应的关系表明, 系统对某输入信号的导数(或积分)的响应,就等于系统对该信号的响应的导数(或积分, 积分常数由零阶输出初始条件确定)。这个特性不仅适用于一阶线性定常系统,而且适用于 任意阶线性定常系统。利用这一特点,在测试系统时,可以用一种信号输入推断出几种相应 信号的响应结果,带来很大方便。而线性时变系统和非线性系统都不具备这种特性 73二阶系统的时间响应 由二阶微分方程描述的系统,称为二阶系统。二阶系统的实例很多,如前述的R-L C电网络,质量一弹簧一阻尼机械系统等等。对于一般控制系统来说,虽然系高阶系统,但 在一定条件下常常近似地作为二阶系统来研究,因此,详细讨论和分析二阶系统的特性,具 有较大实际意义 731典型二阶系统的数学模型 典型二阶系统如图7.5所示。其开环传递函数 K G(s)= s(7s+1)s(s+2an)(7.6) 图75典型二阶系统 式中,On-无阻尼固有频率;5一系统的阻 尼比:T一时间常数:K一开环增益 它们之间的关系: VT KT (77) K 典型二阶系统的传递函数具有如下形式 R(s)1+G(s)s2+25os+o2 工程中的二阶系统都可以化成上边的形式,不同系统的5和On值,取决于各系统的元 件参数 令式(7.8)传递函数的分母等于零,即得二阶系统的特征方程 SO,S+O=0 (7.9) 方程的特征根就是系统的极点 7.10) 当0<5<1时,两特征根为共轭复数,即

自动控制系统及应用 184 它们所对应的时间响应，也依次有相应的微分（或积分）关系。这种对应的关系表明， 系统对某输入信号的导数（或积分）的响应，就等于系统对该信号的响应的导数（或积分， 积分常数由零阶输出初始条件确定）。这个特性不仅适用于一阶线性定常系统，而且适用于 任意阶线性定常系统。利用这一特点，在测试系统时，可以用一种信号输入推断出几种相应 信号的响应结果，带来很大方便。而线性时变系统和非线性系统都不具备这种特性。 7.3 二阶系统的时间响应 由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。二阶系统的实例很多，如前述的 R—L— C 电网络，质量一弹簧一阻尼机械系统等等。对于一般控制系统来说，虽然系高阶系统，但 在一定条件下常常近似地作为二阶系统来研究，因此，详细讨论和分析二阶系统的特性，具 有较大实际意义。 7.3.1 典型二阶系统的数学模型 典型二阶系统如图 7.5 所示。其开环传递函数 ( 1) ( 2 ) ( ) n 2 n   + = + = s Ts s s K G s (7.6) 式中， n —无阻尼固有频率；  —系统的阻 尼比； T —时间常数； K —开环增益。 它们之间的关系： n n 2 1   = = T T K    2 2 1 n = = K KT (7.7) 典型二阶系统的传递函数具有如下形式 2 n 2 2 n n ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2 C s G s R s G s s s    = = + + + (7.8) 工程中的二阶系统都可以化成上边的形式，不同系统的  和 n 值，取决于各系统的元 件参数。 令式（7.8）传递函数的分母等于零，即得二阶系统的特征方程 2 2 n n s s + + = 2 0   (7.9) 方程的特征根就是系统的极点 2 1,2 n n s = −  −    1 (7.10) 当 0 1    时，两特征根为共轭复数，即 n ( +2 ) 图9.5 典型二阶系统 + - n 2 图 7.5 典型二阶系统

自动控制系统及应用 s2=-{n±(1y1-2 此时,二阶系统的传递函数的极点是一对位于复数[s]平面的左半面内的共轭复数极点 如图7.6(a)所示。这时,系统称为欠阻尼系统。 s on -E2 (c)2=1 (d)2>1 图7.6二阶系统的特征根分布 当ξ=0时,两特征根为共轭纯虚根,即S12=±jon,如图76(b)所示。这时,系统 称为无阻尼系统。 当5=1时,特征方程有两个相等的负实根,即S2=-On,如图76(c)所示。这时,系 统称为临界阻尼系统。 当5>1时,特征方程有两个不等的负实根,即s12=-50n±On 如图76(d) 所示。这时,系统称为过阻尼系统 932二阶系统的单位阶跃响应 若系统的输入信号为单位阶跃函数r()=1(0),即R(s)=-,则二阶系统的单位阶跃响 应的拉氏变换为 C(s)=x+250s+0ns S S"+250,s+@ 不同阻尼比时的单位阶跃响应可讨论如下。 (1)当0<5<1,系统为欠阻尼系统时,将式(7.11)改写成 @n)+Oa (s+5on)2+ 式中O4=On√h-52,称为二阶系统的有阻尼振荡频率 对式(7.12)取拉氏反变换,得欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应 c(o=1-e-son'(cos@,/+s sine2)(t≥0) (7.13)

自动控制系统及应用 185 2 1,2 n n s j = −  −    1 此时，二阶系统的传递函数的极点是一对位于复数[s]平面的左半面内的共轭复数极点， 如图 7.6（a）所示。这时，系统称为欠阻尼系统。 当  = 0 时，两特征根为共轭纯虚根，即 1,2 n s j =   ，如图 7.6（b）所示。这时，系统 称为无阻尼系统。 当  = 1 时，特征方程有两个相等的负实根，即 1,2 n s = − ，如图 7.6(c)所示。这时，系 统称为临界阻尼系统。 当   1 时，特征方程有两个不等的负实根，即 2 1,2 n n s = −  −    1 ，如图 7.6(d) 所示。这时，系统称为过阻尼系统。 9.3.2 二阶系统的单位阶跃响应 若系统的输入信号为单位阶跃函数 r t t ( ) 1( ) = ，即 1 R s( ) s = ，则二阶系统的单位阶跃响 应的拉氏变换为 2 n 2 2 n n 2 2 n 1 ( ) 2 1 2 2 n n C s s s s s s s s       =  + + + = − + + (7.11) 不同阻尼比时的单位阶跃响应可讨论如下。 （1） 当 0 1    ，系统为欠阻尼系统时，将式（7.11）改写成 n d 2 2 2 2 2 n d n d 1 ( ) ( ) ( ) 1 s C s s s s         + = − −  + + + + − (7.12) 式中 2 d n    = −1 ，称为二阶系统的有阻尼振荡频率。 对式（7.12）取拉氏反变换，得欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应 n d d 2 ( ) 1 e (cos sin ) 1 t c t t t      − = − + − （ t ≥0） （7.13） 图 7.6 二阶系统的特征根分布 0 (b) =0 图9.6 二阶系统的特征根分布 (a)01 0 2 ( ) n 1 2 1 [s] 1 2 [s] 0 [s]

自动控制系统及应用 或写成 -sogr c(t)=1 式中 B=ar 式(7.14)表明系统的响应由稳态分量和瞬态分量两部分组成,稳态分量值等于1, 瞬态分量是一个随时间增长而衰减的振荡过程,其衰减的快慢取决于指数50n,所以5on 又称为衰减系数,或将15n称为衰减时间常数。振荡的角频率为oa (2)当5=0,系统为无阻尼系统时,由式(7.11)有 取拉氏反变换得 ()=1- cOSO t(t≥0) 系统响应呈等幅振荡,振荡的角频率为,。 (3)当5=1,系统为临界阻尼系统时,由式(7.11)有 1s+2c S (S+O) SS+O, (S+O) 取拉氏反变换得 (1)=1 (1+On21)(t≥0) 系统响应为单调上升,不再具有振荡 (4)当ξ>1,系统为过阻尼系统时,系统有两个不等的负实根, =-(5+√52-1)on;s2=(5-√=2-1)on,将式(71)展开有 C(s) s-+250s+o-S

自动控制系统及应用 186 或写成 d 2 ( ) 1 in( ) 1 n t e c t s t     − = − + − （ t ≥0） (7.14) 式中 2 1 arctan    − = 式（7.14）表明系统的响应由稳态分量和瞬态分量两部分组成，稳态分量值等于 1， 瞬态分量是一个随时间增长而衰减的振荡过程，其衰减的快慢取决于指数 n  ，所以 n  又称为衰减系数，或将 n 1  称为衰减时间常数。振荡的角频率为 d 。 （2） 当  = 0 ，系统为无阻尼系统时，由式（7.11）有 2 2 n 1 ( ) s C s s s  = − + 取拉氏反变换得 n c t t ( ) 1 cos = −  （ t ≥0） (7.15) 系统响应呈等幅振荡，振荡的角频率为 n 。 （3） 当  = 1 ，系统为临界阻尼系统时，由式（7.11）有 n 2 n 1 2 ( ) ( ) s C s s s   + = − + n 2 n n 1 1 s s ( ) s    = − − + + 取拉氏反变换得 n n ( ) 1 (1 ) t c t e t   − = − + （ t ≥0） (7.16) 系统响应为单调上升，不再具有振荡。 （4） 当   1 ，系统为过阻尼系统时，系统有两个不等的负实根， 2 1 n s = − + − ( 1)    ； 2 2 n s = − − − ( 1)    。将式(7.11)展开有 2 n 2 2 n n 1 ( ) 2 C s s s s    =  + + 1 2 3 2 2 n n n n ( 1) ( 1) A A A s       s = + + − + − − − − −

自动控制系统及应用 可求得待定系数 A1=1,A2= 22-5-2-1)2V-l(5+V2-i) 取拉氏反变换得 01y--2 (1≥0)(717) 或写成 c()=1+-nee" (t≥0) (7.18) 过阻尼时系统的阶跃响应也为单调上升,其上升的速度较临界阻尼更慢。 计算表明,当5>1.5时,在式(718)的两个衰减的指数项中,e的衰减比e2的衰减要 快得多,因此过渡过程的变化以e-项起主要作用。从S平面看,愈靠近虚轴的根,过渡过 程的时间愈长,对过渡过程的影响愈大,更起主导作用 式(7.14)~(717所描述的典型二阶系统单位阶跃响应曲线如图77所示。 4 0.8 06 2.0 图77典型二阶系统的单位阶跃响应曲线 由图可知,二阶系统在不同的阻尼比时,它们的单位阶跃响应差异很大。ξ<1时,响 应是衰减振荡特性,并且随着阻尼比的减小,其振荡特性表现得愈加强烈,当ξ=0时达到

自动控制系统及应用 187 可求得待定系数 1 2 3 2 2 2 2 1 1 1, , 2 1( 1) 2 1( 1) A A A       − = = = − − − − + − 取拉氏反变换得 2 n 2 n ( 1) 2 2 ( 1) 2 2 1 ( ) 1 e 2 1( 1) 1 e 2 1( 1) t t c t             − − − − + − = − − − − + − + − （ t ≥0） (7.17) 或写成 2 1 n 2 2 1 e e ( ) 1 ( ) 2 1 s t s t c t s s   = + − − （ t ≥0） (7.18) 过阻尼时系统的阶跃响应也为单调上升，其上升的速度较临界阻尼更慢。 计算表明，当  1.5 时，在式(7.18)的两个衰减的指数项中， 1 e st 的衰减比 2 e st 的衰减要 快得多，因此过渡过程的变化以 2 e st 项起主要作用。从 S 平面看，愈靠近虚轴的根，过渡过 程的时间愈长，对过渡过程的影响愈大，更起主导作用。 式(7.14)～(7.17)所描述的典型二阶系统单位阶跃响应曲线如图 7.7 所示。 由图可知，二阶系统在不同的阻尼比时，它们的单位阶跃响应差异很大。   1 时，响 应是衰减振荡特性，并且随着阻尼比的减小，其振荡特性表现得愈加强烈，当  = 0 时达到 图 7.7 典型二阶系统的单位阶跃响应曲线

自动控制系统及应用 等幅振荡。在ξ=1和ξ>1时,响应具有单调上升的特性。从过渡过程的持续时间来看,在 无振荡单调上升的曲线中,以5=1时的过渡时间1最短。在欠阻尼系统中,当5=04~0.8 时,不仅其过渡过程时间比ξ=1时的更短,而且振荡不太严重。因此,一般希望二阶系统 工作在5=04~0.8的欠阻尼状态,因为这个工作状态有一个振荡特性适度而持续时间又 较短的过渡过程。每一个实际的系统允许工作在什么状态,是根据具体工作任务要求所决定 的。为系统选择一个最佳的工作状态,使其动态性能良好,实际上是选择合适的特征参数5 和O,值 74瞬态响应的性能指标 在许多情况下,系统所需的性能指标一般以时域量值的形式给出。 通常,系统的性能指标,是以二阶系统对单位阶跃输入的响应的特征量来定义的。这是 由于二阶系统的阶跃响应比较典型,数学分析也比较容易,许多高阶系统的动态过程,常可 用二阶系统来近似处理。 还应指出,除了那些不允许产生振荡的控制系统外,通常都允许系统有适度的振荡,以 获得较短的过渡过程时间,这便是常常使系统工作在欠阻尼状态的原因。因此,下面有关性 能指标的定义及计算公式的推导除特别说明者外,都是针对欠阻尼二阶系统而言 74.1性能指标及其计算 为了说明欠阻尼二阶系统的单位 阶跃响应的过渡过程特性,通常采用 )(包络线 下列性能指标(见图78):上升时间 t,峰值时间1,最大超调量G,调 整时间L,振荡次数N 下面来定义上述性能指标,推导 它们的计算公式,分析它们与系统特 征参数和On之间的关系。 图78二阶系统阶跃响应曲线及动态指标 (1)上升时间t 响应曲线从原工作状态出发,第一次达到输出稳态值所需的时间定义为上升时间(对过 阻尼系统,一般将响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间称为上升时间)。 根据定义,当t=1时,c(1)=1。由式(7.14)求得

自动控制系统及应用 188 等幅振荡。在  = 1 和   1 时，响应具有单调上升的特性。从过渡过程的持续时间来看，在 无振荡单调上升的曲线中，以  = 1 时的过渡时间 s t 最短。在欠阻尼系统中，当  = 0.4 ~ 0.8 时，不仅其过渡过程时间比  = 1 时的更短，而且振荡不太严重。因此，一般希望二阶系统 工作在  = 0.4 ~ 0.8 的欠阻尼状态，因为这个工作状态有一个振荡特性适度而持续时间又 较短的过渡过程。每一个实际的系统允许工作在什么状态，是根据具体工作任务要求所决定 的。为系统选择一个最佳的工作状态，使其动态性能良好，实际上是选择合适的特征参数  和 n 值。 7.4 瞬态响应的性能指标 在许多情况下，系统所需的性能指标一般以时域量值的形式给出。 通常，系统的性能指标，是以二阶系统对单位阶跃输入的响应的特征量来定义的。这是 由于二阶系统的阶跃响应比较典型，数学分析也比较容易，许多高阶系统的动态过程，常可 用二阶系统来近似处理。 还应指出，除了那些不允许产生振荡的控制系统外，通常都允许系统有适度的振荡，以 获得较短的过渡过程时间，这便是常常使系统工作在欠阻尼状态的原因。因此，下面有关性 能指标的定义及计算公式的推导除特别说明者外，都是针对欠阻尼二阶系统而言。 7.4.1 性能指标及其计算 为了说明欠阻尼二阶系统的单位 阶跃响应的过渡过程特性，通常采用 下列性能指标（见图 7.8）：上升时间 r t ，峰值时间 p t ，最大超调量  ，调 整时间 s t ，振荡次数 N 。 下面来定义上述性能指标，推导 它们的计算公式，分析它们与系统特 征参数  和 n 之间的关系。 （1）上升时间 r t 响应曲线从原工作状态出发，第一次达到输出稳态值所需的时间定义为上升时间（对过 阻尼系统，一般将响应曲线从稳态值的 10%上升到 90%所需的时间称为上升时间）。 根据定义，当 r t t = 时， r c t( ) 1 = 。由式（7.14）求得 图 7.8 二阶系统阶跃响应曲线及动态指标  ()  c 

自动控制系统及应用 c(t1)=1= 2 SIn(@,4+B) 若使上式成立,只有sin(o41+B)=0,所以 41=A-B(k=1,2…) 因为上升时间t是c()第一次到达输出稳态值的时间,故取O21=π-B,即 4=x-B B 由式(7.19)可知,当ξ一定时,ωn增大,L就减小;当ωn一定时,ξ增大,L1就增大 (2)峰值时间1 响应曲线达到第一个峰值所需的时间定义为峰值时间 将式(7.14)对时间t求导数,并令其为零,便可求得峰值时间t,即由 dc(t) 整理得 tan(@ t, +B)= /5 0,π,2π 因为O≠0,且峰值时间对应于振荡第一个周期内的极大值,所以取O=,故 Oa onvi-52 可见峰值时间是有阻尼振荡周期7=2O的一半。由式(720)还可知,当5一定 时,mn增大,就减小:当O一定时,5增大,就增大。此情况与t的相同。 (3)最大超调量σ 将输出量c(ω)超出稳态值α(∞)的最大偏差Δcα与稳态值c(∞)之比定义为最大超调 量。由于最大偏差恰好发生在t=t,时刻,所以最大超调量可表示为 x×100%= c(ln)-c(∞) 100% c(∞) c(∞) 将t=1np=z/o4代入式(714)求得c(t2),再与c()=1一并代入式(721)

自动控制系统及应用 189 n r r d r 2 e ( ) 1 1 sin( ) 1 t c t t     − = = − + − 若使上式成立，只有 d r sin( ) 0   t + = ，所以 d r   t k = − π ( 1,2, ) k = 因为上升时间 r t 是 ct() 第一次到达输出稳态值的时间，故取 d r   t = − π ，即 r 2 d n π π 1 t      − − = = − (7.19) 由式(7.19)可知，当  一定时， n 增大， r t 就减小；当 n 一定时，  增大， r t 就增大。 （2）峰值时间 p t 响应曲线达到第一个峰值所需的时间定义为峰值时间。 将式(7.14)对时间 t 求导数，并令其为零，便可求得峰值时间 p t ，即由 p d ( ) 0 d t t c t t = = 整理得 2 d p d p tan( ) 1 / 0, π, 2π , t t      + = − = 因为 d p  t  0 ，且峰值时间对应于振荡第一个周期内的极大值，所以取 d p  t = π ,故 p 2 d n π π 1 t    = = − (7.20) 可见峰值时间是有阻尼振荡周期 d d T = 2π  的一半。由式（7.20）还可知，当  一定 时， n 增大， p t 就减小；当 n 一定时，  增大， p t 就增大。此情况与 r t 的相同。 ⑶ 最大超调量  将输出量 ct() 超出稳态值 c( )  的最大偏差 max c 与稳态值 c( )  之比定义为最大超调 量。由于最大偏差恰好发生在 p t = t 时刻，所以最大超调量可表示为 max ( ) ( ) 100% 100% ( ) ( ) p c c t c c c   −  =  =    (7.21) 将 p d t = t =   代入式（7.14）求得 ( ) p ct ，再与 c( ) 1  = 一并代入式（7.21）