《自动控制系统及应用》第八章 自动控制系统的校正

自动控制系统及应用 第八章自动控制系统的校正 前已论及,控制系统是为完成特定任务而设置的一系列元件的组合。为完成既定任务, 需对控制系统提出要求,通常以性能指标来表示,这些指标常常与精度、相对稳定性和响应 速度等有关。当系统通过调整参数(如增益)也不能全面满足性能指标要求时,就需对系统 进行校正。 本章将首先介绍系统校正的有关概念,接着介绍串联校正中的相位超前校正、相位滞后 校正、相位滞后一超前校正和PID校正,以及反馈校正和顺馈补偿。应掌握各种校正的特点 对系统性能的影响及其实现的方法 8.1系统的校正 8.1.1校正的含义 个系统的性能指标总是根据它所要完成的具体任务规定的。一般情况下,几个性能指 标的要求往往是矛盾的,例如,增大开环增益能减小稳态误差,但又会影响系统的瞬态响应 甚至破坏系统的稳定性。也就是说,仅仅依靠调整参数,并不一定能使系统全面地满足性能 指标的要求。此时,可在原有系统中,有目的地增添一些装置或元件,使系统全面地满足性 能指标的要求。我们把这种在系统中增加新的环节,以改善系统性能的方法称为对系统进行 校正。新增的环节(或装置)称为校正环节(或校正装置)。 8.12校正的实质 在原系统中,增加校正环节,必定会使系统的传递函数发生改变,导致系统零点和极点 的重新分布。适当地增加零点和(或)极点,可使系统满足期望的要求,以实现对系统进行 校正的目的。校正的实质就在于改变系统的零、极点分布,改变系统频率特性或根轨迹的形 状 图8.1示出了系统校正改善性能的一个例子。 曲线①为开环右极点p=0的系统的开环奈氏图, 由于奈氏轨迹包围了(-1,j0)点,故相应的系统不 稳定。为了使系统稳定,可能的方法之一是减小 系统的开环增益K,即由K变为K′,使 G(o)H(o)减小。因模减小,相位不变,曲圈8.1系缭校正改善性能示意图 线①变为曲线②,而不包围(-1,j0)点,这样系统 就稳定了。但是,减小K会使系统的稳态误差增大,这是不希望的,甚至是不允许的。另 一种方法是在原系统中增加新的环节,使奈氏轨迹在某频率范围(如O1至O2内)发生变化, 例如从曲线①变为曲线③,使原来不稳定的系统变为稳定系统,而且并不改变K值,即不

自动控制系统及应用 206 第八章 自动控制系统的校正 前已论及，控制系统是为完成特定任务而设置的一系列元件的组合。为完成既定任务， 需对控制系统提出要求，通常以性能指标来表示，这些指标常常与精度、相对稳定性和响应 速度等有关。当系统通过调整参数（如增益）也不能全面满足性能指标要求时，就需对系统 进行校正。 本章将首先介绍系统校正的有关概念，接着介绍串联校正中的相位超前校正、相位滞后 校正、相位滞后—超前校正和 PID 校正，以及反馈校正和顺馈补偿。应掌握各种校正的特点， 对系统性能的影响及其实现的方法。 8.1 系统的校正 8.1.1 校正的含义 一个系统的性能指标总是根据它所要完成的具体任务规定的。一般情况下，几个性能指 标的要求往往是矛盾的，例如，增大开环增益能减小稳态误差，但又会影响系统的瞬态响应， 甚至破坏系统的稳定性。也就是说，仅仅依靠调整参数，并不一定能使系统全面地满足性能 指标的要求。此时，可在原有系统中，有目的地增添一些装置或元件，使系统全面地满足性 能指标的要求。我们把这种在系统中增加新的环节，以改善系统性能的方法称为对系统进行 校正。新增的环节（或装置）称为校正环节（或校正装置）。 8.1.2 校正的实质 在原系统中，增加校正环节，必定会使系统的传递函数发生改变，导致系统零点和极点 的重新分布。适当地增加零点和（或）极点，可使系统满足期望的要求，以实现对系统进行 校正的目的。校正的实质就在于改变系统的零、极点分布，改变系统频率特性或根轨迹的形 状。 图 8.1 示出了系统校正改善性能的一个例子。 曲线①为开环右极点 p = 0 的系统的开环奈氏图， 由于奈氏轨迹包围了 ( 1, 0) − j 点，故相应的系统不 稳定。为了使系统稳定，可能的方法之一是减小 系统的开环增益 K ，即由 K 变 为 K ， 使 G j H j ( ) ( )   减小。因模减小，相位不变，曲 线①变为曲线②，而不包围 ( 1, 0) − j 点，这样系统 就稳定了。但是，减小 K 会使系统的稳态误差增大， 这是不希望的，甚至是不允许的。另 一种方法是在原系统中增加新的环节，使奈氏轨迹在某频率范围（如 1 至 2 内）发生变化， 例如从曲线①变为曲线③，使原来不稳定的系统变为稳定系统，而且并不改变 K 值，即不 图 8.1 系统校正改善性能示意图 ② 图10.1 系统校正改善性能示意图 1 ③ ① [GH] -1 2 0 =∞ Im Re =0

自动控制系统及应用 增大系统的稳态误差 图8.2给出了系统校正兼顾幅值与相位裕 量的另一个例子。曲线①为开环右极点p=0的 IGH] 系统的开环奈氏图,系统是稳定的。但是,相位 裕量太小,使系统的瞬态响应有很大的超调量 调整时间太长。对这样的系统,即使减小K 因相位裕量没有变化,系统的性能仍得不到全面 改善。只有加入新的环节,例如使奈氏轨迹变为 曲线②,即,使原来的特性在O1至O2频率区间 图8.2系统校正兼顾幅值与相位 产生正的相移,才能使系统的相位裕量得到明显 的提高,系统的性能得到改善 由此可见,从频率法的观点看,增加新的环节,主要是改变系统的频率特性的形状。 8.1.3校正方式 按照校正环节G(s)在系统中的联结方式不同,校正可分为串联校正、反馈校正和顺馈 校正等。 (1)串联校正校正环节G(S)串联在系统的前向通道中称为串联校正。如图8.3 所示。校正前系统的闭环传递函数为 1+G(s)H(S) G(s) 校正后,闭环传递函数为 G (SG(s) 图8.3串联校正 1+G(SG(S)H(s) 显然,零、极点都发生了变化。为了减小功率消耗,串联校正装置一般都放 在前向通道的前端,即低功率部分 (2)反馈校正校正环节G(S)联结在系统的局部反馈通道中,或者说,通过 G(s)增加一反馈回路。如图8.4所示。为保证局部回路的稳定,校正环节G。(S)所包围的 环节不宜太多(2个或是3个)。 Gid(s) 图8.4反馈校正 图8.5顺馈校正

自动控制系统及应用 207 增大系统的稳态误差。 图 8.2 给出了系统校正兼顾幅值与相位裕 量的另一个例子。曲线①为开环右极点 p = 0 的 系统的开环奈氏图，系统是稳定的。但是，相位 裕量太小，使系统的瞬态响应有很大的超调量， 调整时间太长。对这样的系统，即使减小 K ， 因相位裕量没有变化，系统的性能仍得不到全面 改善。只有加入新的环节，例如使奈氏轨迹变为 曲线②，即，使原来的特性在 1 至 2 频率区间 产生正的相移，才能使系统的相位裕量得到明显 的提高，系统的性能得到改善。 由此可见，从频率法的观点看，增加新的环节，主要是改变系统的频率特性的形状。 8.1.3 校正方式 按照校正环节 ( ) c G s 在系统中的联结方式不同，校正可分为串联校正、反馈校正和顺馈 校正等。 （1）串联校正 校正环节 ( ) c G s 串联在系统的前向通道中称为串联校正。如图 8.3 所示。校正前系统的闭环传递函数为 1 ( ) ( ) ( ) ( ) G s H s G s s +  = 校正后，闭环传递函数为 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c G s G s H s G s G s s +  = 显然，零、极点都发生了变化。为了减小功率消耗，串联校正装置一般都放 在前向通道的前端，即低功率部分。 （2）反馈校正 校正环节 ( ) c G s 联结在系统的局部反馈通道中，或者说，通过 ( ) c G s 增加一反馈回路。如图 8.4 所示。为保证局部回路的稳定，校正环节 ( ) c G s 所包围的 环节不宜太多（2 个或是 3 个）。 图 图10.2 系统校正兼顾幅值与相位 8.2 系统校正兼顾幅值与相位 =∞ ② 1 ① 0 2 Im 1 Re [GH] 图 8.3 串联校正 图10.3 串联校正 + - c 图 8.5 顺馈校正 - 图10.5 顺馈校正 + c + + 图 图 8.4 反馈校正 10.4 反馈校正 - + + - 1 2 1 2 c 2

自动控制系统及应用 (3)顺馈校正 通过校正环节G(s)增加一条前向通道。如图8.5所示。顺馈校正亦称顺馈补偿。根据 补偿采样信号源的不同,又分为输入顺馈补偿和扰动顺馈补偿。图8.5为输入顺馈补偿方式。 顺馈校正既可作为反馈控制系统的附加校正而组成复合控制系统,也可单独用于开环控制。 8.2串联校正 串联校正指校正环节G(s)串联在原系统的前向通道中,如图8.3所示 串联校正按校正环节的性质可分为增益调整、相位超前校正、相位滞后校正及相位滞后 超前校正 在这几种串联校正中,增益调整的实现比较简单。例如,在液压随动系统中,提高供油 压力,即可实现调整増益。但是,仅仅调整増益,难以同时满足静态和动态性能指标,其校 正作用有限,还需采用其他校正方法。本节主要介绍由电阻、电容构成的无源的三种(即超 前、滞后、滞后一超前)校正线路、数学模型及其在系统中起的作用,并举例说明用波德图 分析计算串联校正装置的方法。 8.2.1相位超前校正 图8.6所示的RC超前网络,其传递函数为 G(s) U。(s)TS+1 k ui (t) 式中T=Rc,a=、 R1 图8.6RC超前网络 其频率特性为 G。(j j7+1 0) U O)=a ia to+l (8.2) U Go) 相频特性为 ZG(o= (o)=arctan To-arctan aTo 可见相位超前。它的幅频特性为 1+(7o) 将G(jo)分为虚部v和实部a,可求得 1+a

自动控制系统及应用 208 （3）顺馈校正 通过校正环节 ( ) c G s 增加一条前向通道。如图 8.5 所示。顺馈校正亦称顺馈补偿。根据 补偿采样信号源的不同，又分为输入顺馈补偿和扰动顺馈补偿。图 8.5 为输入顺馈补偿方式。 顺馈校正既可作为反馈控制系统的附加校正而组成复合控制系统，也可单独用于开环控制。 8.2 串联校正 串联校正指校正环节 ( ) c G s 串联在原系统的前向通道中，如图 8.3 所示。 串联校正按校正环节的性质可分为增益调整、相位超前校正、相位滞后校正及相位滞后 一超前校正。 在这几种串联校正中，增益调整的实现比较简单。例如，在液压随动系统中，提高供油 压力，即可实现调整增益。但是，仅仅调整增益，难以同时满足静态和动态性能指标，其校 正作用有限，还需采用其他校正方法。本节主要介绍由电阻、电容构成的无源的三种（即超 前、滞后、滞后一超前）校正线路、数学模型及其在系统中起的作用，并举例说明用波德图 分析计算串联校正装置的方法。 8.2.1 相位超前校正 图 8.6 所示的 RC 超前网络，其传递函数为 α 1 1 α ( ) ( ) ( ) i o c + + = = Ts Ts U s U s G s (8.1) 式中 T R c = 1 ， 2 1 2 1 R R R  =  + 其频率特性为 1 1 ( ) ( ) ( ) i o c + + = = jα Tω jTω α U jω U jω G jω (8.2) 相频特性为 Gc ( j) = () = arctanT − arctanT 可见相位超前。它的幅频特性为 2 2 c 1 ( ) 1 ( ) ( ) α Tω Tω G jω α + + = 将 ( ) Gc jω 分为虚部 v 和实部 u ，可求得 1 1 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 u v + −   − + = 图 8.6 RC 超前网络 图10.6 超前网络 1 i 2 o

自动控制系统及应用 可见,G(/)是经过点(1,j0),半径为一,圆心为 2,/0)的一个半 于∠G(jo)是正的,故为上半圆,如图8.7所示。 网络所提供的最大超前相角Q,则由 a 1+a (1+a) 图8.7超前校正环节奈氏图 可知,当a减小,φn增大 超前网络的波德图如图8.8所示。由图可见,超 前网络具有以下两个特点:一是始终提供超前相角;二是随O的减小,幅频也减小,即低 频衰减特性,所以,超前网络相当于一个高通滤波器。 对应于n的频率为n,n可如下求出: ap(o) =0,得 20lga (8.4) 显然gon=1h1 +gr),即φn发生在 图8.8超前网络波德图 两个转角频率_和的几何中点。 采用了上述相位超前校正后,由于在对数幅频特性上有20dB/dec段存在,故加大了系 统的穿越频率,谐振频率@与截止频率b,其结果是加大了系统的带宽,加快了系统的 响应速度;又由于产生了一定量的相位超前角,以补偿原系统中某些元件造成的过大的相角 滞后,这就有可能加大系统的相位裕量,结果是增大了系统的相对稳定性。 下面举例说明用波德图确定超前校正环节的方法及超前校正的作用 例8.1设有一控制系统如图8.9所示,若要使系统在 单位速度输入下的稳态误差es=0.05,相位裕量γ≥ 50°,幅值裕量20gK,≥10dB,试求系统的校正装 图8.9例8.1系统相图 置

自动控制系统及应用 209 可见， ( ) Gc jω 是经过点 (1, 0) j ，半径为 1 2 − ，圆心为 0) 2 1 α ( , j + 的一个半圆。又由 于 G ( jω)  c 是正的，故为上半圆，如图 8.7 所示。 网络所提供的最大超前相角  m ，则由 1 1 2 sin 1 1 2 m      − − = = + + （8.3) 可知，当  减小，  m 增大。 超前网络的波德图如图 8.8 所示。由图可见，超 前网络具有以下两个特点：一是始终提供超前相角；二是随  的减小，幅频也减小，即低 频衰减特性，所以，超前网络相当于一个高通滤波器。 对应于  m 的频率为 ωm ，ωm 可如下求出： 令 ( ) 0 ( )     =  ，得 αT ω 1 m = （8.4） 显然 ) 1 lg 1 (lg 2 1 lg m T T = +   ，即  m 发生在 两个转角频率 1 T 和 1 T 的几何中点。 采用了上述相位超前校正后，由于在对数幅频特性上有 20dB dec 段存在，故加大了系 统的穿越频率 ωc ，谐振频率 ωr 与截止频率 ωb ，其结果是加大了系统的带宽，加快了系统的 响应速度；又由于产生了一定量的相位超前角，以补偿原系统中某些元件造成的过大的相角 滞后，这就有可能加大系统的相位裕量，结果是增大了系统的相对稳定性。 下面举例说明用波德图确定超前校正环节的方法及超前校正的作用。 例 8.1 设有一控制系统如图 8.9 所示，若要使系统在 单位速度输入下的稳态误差 ess = 0.05 ，相位裕量  ≥ o 50 ，幅值裕量 Kg 20 lg ≥ 10 dB ，试求系统的校正装 置。 图 8.7 超前校正环节奈氏图 Im 1 1 0 Re 图10.7 超前校正环节奈氏图 (1+ ) 2 =0 m 1 2 (1- ) m =∞ 图 图 8.8 超前网络波德图 10.8 超前网络波德图 90° 0° m m 20lg 0 +20 1 1 图 8.9 例 8.1 系统框图 图10.9 例10.1系统框图 - + ( +2) 4

自动控制系统及应用 210 解:首先根据稳态误差的要求确定K值。由于系统开环传递函数 4K 2K s(s+2)s(0.5s+1) 显然这是个I型系统,有 0.05 2K 所以 =10 G(s) G(o) s(0.5s+1) jo(1+j0.50) 然后绘制系统的开环波德图,如图8.10 中的曲线①。由图可见,校正前系统的相位裕 量y=17°,幅值裕量大于10分贝,故系统是 稳定的,但γ<50°,相对稳定性不合要求 为了在不减小增益裕量的前提下,将相位裕量 从17提高到50°,需要采用超前校正环节进 行校正。接着确定所需要增加的相位超前角 d qn。为使y从17°提高到50°,二者相差的 33°当然应由超前校正环节提供。还应考虑超 图8.10超前校正前后的开环波德图 前校正环节会使系统的穿越频率ω右移,又会造成附加滞后相角,因此在考虑相位补偿量 时应再增加5°,因此取 50°-17°+5°=38° 根据n=38°,由公式(8.3)可确定衰减系数a, 1_sngm=0.24 sin p 下面确定超前校正环节的两个转角频率lT和laT。确定的思路是根据最大相位超前

自动控制系统及应用 210 解：首先根据稳态误差的要求确定 K 值。由于系统开环传递函数 (0 5 1) 2 ( 2) 4 ( ) + = + = s . s K s s K G s 显然这是个Ⅰ型系统，有 0.05 2 1 ss = = K e 所以 K =10 (0 5 1) 20 ( ) + = s . s G s ， (1 0 5 ) 20 ( ) jω j . ω G jω + = 然后绘制系统的开环波德图，如图 8.10 中的曲线①。由图可见，校正前系统的相位裕 量 ο  = 17 ，幅值裕量大于 10 分贝，故系统是 稳定的，但 ο   50 ，相对稳定性不合要求。 为了在不减小增益裕量的前提下，将相位裕量 从 ο 17 提高到 ο 50 ，需要采用超前校正环节进 行校正。接着确定所需要增加的相位超前角  m 。为使  从 ο 17 提高到 ο 50 ，二者相差的 ο 33 当然应由超前校正环节提供。还应考虑超 前校正环节会使系统的穿越频率 ωc 右移，又会造成附加滞后相角，因此在考虑相位补偿量 时应再增加 ο 5 ，因此取 o o o o  m = 50 − 17 + 5 = 38 根据 o  m = 38 ，由公式（8.3）可确定衰减系数  ， 0.24 1 sin 1 sin m m = + − =    下面确定超前校正环节的两个转角频率 1 T 和 1 T 。确定的思路是根据最大相位超前 图10.10 超前校正前后的开环波德图 ③ ③ 50° 2 -180°1 6 8 ① 4 s -1 40 17° 10 20 c 60 80 100 ② 0° -90° -40 90° c ① dB 20 -6dB -20 0 c v ② c 40 图 8.10 超前校正前后的开环波德图 例 8.1 系统框图

自动控制系统及应用 角发生在两个转角频率的几何中点,即O,= 这里需注意一个问题,那就是超前校正环节具有低频衰减的特性。如果直接串联G。(s) 后,将使校正后的对数幅频特性在低频段的高度下降,又不能满足稳态误差的要求了。为此, 需附加一个放大器,其增益为K,使Ka=1,即K 4.17 0.24 带有附加放大器的超前校正环节的传递函数为 G(s)=kG(少)1+Ts 那么,它对应的对数幅频特性在On处的分贝数为 2011+/ro =20g-==62dB +jat 于是,可从图8.10的G(o)=-62B处找到对应的频率=9s2,这个频率就是校正后 系统的穿越频率O。,2=n= 因此求得 T=0227saT=0.054 由此得相位超前校正环节的传递函数为 0.227s+1 G(s) 0.24 0.054s+1 带有附加放大器后的传递函数为 Ts+10.227s+1 对应的对数幅频、相频曲线如图8.10中曲线②。校正后系统的开环传递函数为 G(sG(s) 0.227s+140 校正后的对数幅频、相频曲线见图8.10中实线③。 比较曲线①和③可看出,校正后系统的带宽增加,相位裕量从17°增加为50°,幅值裕量 也足够。 综上所述,串联超前校正环节增大了相位裕量,加大了带宽。这意味着提高了系统的相 对稳定性,加快了系统的响应速度,使过渡过程得到显著改善。但由于系统的增益和型次都

自动控制系统及应用 211 角发生在两个转角频率的几何中点，即 T  1 m = 。 这里需注意一个问题，那就是超前校正环节具有低频衰减的特性 。如果直接串联 ( ) c G s 后，将使校正后的对数幅频特性在低频段的高度下降，又不能满足稳态误差的要求了。为此， 需附加一个放大器，其增益为 K ，使 K α = 1 ，即 4 17 0 24 1 1 . α . K = = = 。 带有附加放大器的超前校正环节的传递函数为 Ts Ts G s K G s +  +  =  = 1 1 c c ( ) ( ) 那么，它对应的对数幅频特性在  m 处的分贝数为 6.2dB 1 20lg 1 1 20lg 1 = = + +   =     T j T jT 于是，可从图 8.10 的 G( j) = −6.2dB 处找到对应的频率 -1  = 9s ，这个频率就是校正后 系统的穿越频率 c ， -1 c m 9s 1 = = = T   。 因此求得 T = 0.227s T = 0.054s 由此得相位超前校正环节的传递函数为 0.054s 1 0.227s 1 0.24 1 1 ( ) c + + = + + = Ts Ts G s   带有附加放大器后的传递函数为 0.054s 1 0.227s 1 1 1 ( ) c + + = + +  = Ts Ts G s  对应的对数幅频、相频曲线如图 8.10 中曲线②。校正后系统的开环传递函数为 ( 2) 40 0.054s 1 0.227s 1 ( )G(s) c +  + +  = s s G s 校正后的对数幅频、相频曲线见图 8.10 中实线③。 比较曲线①和③可看出，校正后系统的带宽增加，相位裕量从 170 增加为 500，幅值裕量 也足够。 综上所述，串联超前校正环节增大了相位裕量，加大了带宽。这意味着提高了系统的相 对稳定性，加快了系统的响应速度，使过渡过程得到显著改善。但由于系统的增益和型次都

自动控制系统及应用 212 未变,所以基本保持了校正前的稳态精度 8.2.2相位滞后校正 图8.11所示的RC滞后校正网络,其传递函数为 G(s)= (8.5) U(s) B1 圈81C滑后校正网络式中7=RCB=+>1 其频率特性为 1+jTo (B>1) 相频特性为 LG (o)=p(o)=arctan To-arctan BT<0 可见相位滞后。它的幅频特性为 (o)= √+(o)2 (Bo)2 相位滞后网络的波德图如图8.12所示。由 L(o) 图可见,滞后校正环节具有两个特点:一是始终 提供滞后相角;二是具有高频衰减特性,即它相 当于一个低通滤波器 可求得滞后网络的最大滞后相角φm及其对 图8.912相位滞后网络波德 应的频率On为 B-1 sin B Br 滞后校正的作用主要是利用它的高频衰减特性(即负斜率特性),其校正机理并不是相 位滞后。相位滞后的负面影响还应设法降至最小限度,具体方法是使滞后校正的转角频率

自动控制系统及应用 212 未变，所以基本保持了校正前的稳态精度。 8.2.2 相位滞后校正 图 8.11 所示的 RC 滞后校正网络，其传递函数为 1 1 ( ) ( ) ( ) i o c + + = = Ts Ts U s U s G s  (8.5) 式中 T = R2C 1 2 1 2  + = R R R  其频率特性为     j T jT G j + + = 1 1 ( ) c ( 1)   (8.6) 相频特性为 Gc ( j) = () = arctanT − arctan T  0 可见相位滞后。它的幅频特性为 2 2 c 1 ( ) 1 ( ) ( )     T T G j + + = 相位滞后网络的波德图如图 8.12 所示。由 图可见，滞后校正环节具有两个特点：一是始终 提供滞后相角；二是具有高频衰减特性，即它相 当于一个低通滤波器。 可求得滞后网络的最大滞后相角  m 及其对 应的频率  m 为 1 1 sin m + − =    (8.7) T  1 m = (8.8) 滞后校正的作用主要是利用它的高频衰减特性（即负斜率特性），其校正机理并不是相 位滞后。相位滞后的负面影响还应设法降至最小限度，具体方法是使滞后校正的转角频率 图 8.11 RC 滞后校正网络 1 图10.11 滞后网络 i 2 o m m 图10.12 滞后网络波德图 0° -90° 0 -20 1 1 图 8.912 相位滞后网络波德图

自动控制系统及应用 l/和1/T均远离原系统的穿越频率O。,靠近低频段,即β和T要选得尽可能大些,但 考虑实现的可能性,也不能选得过分大。一般取其时间常数T比原系统的最大时间常数还要 大些。 关于利用它的高频衰减特性,通常有两种用法。一种是如果把高于1/T频率范围的增益 提高到原系统的增益值,当然低频段的增益就提高了。而由于1T比校正前系统的a。小很 多,即使加入滞后环节,O附近的相位几乎没有什么变化,响应速度等也几乎不会受影响。 这时因低频段増益的增大可改善系统的稳态性能。另一种用法是,当稳态性能满足要求,不 需再提高增益,这时由于滞后校正的高频衰减特性,会使系统的穿越频率ω左移,从而使 相位裕量增大,改善系统的相对稳态性,当然此时系统的带宽减小,响应速度要慢些。 下面举例说明用波德图进行相位滞后校正 例8.2设有单位反馈控制系统,其开环传递函数为 G(s)= s(S+1)0.5s+1) 要求系统在单位速度输入时的稳态误差es=0.2s;相位裕量y≥40°;幅值裕量 20gkg≥10dB 解:首先,根据稳态误差e=0.2S确定开环增益k。对于Ⅰ型系统 K e。02=58) 由已确定的开环增益K=5,绘出系统校正 ②7O TIdB N 前的开环波德图,如图8.13中曲线①所示。 由图8.13可知,原系统的相位裕量为 20°,幅值裕量为20lgk8=-8dB,系统0 90° 是不稳定的 如果在此例中,采用相位超前校正是不 怎么有效的。此例在o附近很窄的频率范0 图8.13滞后校正前后开环波德图 围内对数幅频和相频特性衰减很快。若采用

自动控制系统及应用 213 1 T 和 1 T 均远离原系统的穿越频率 c ，靠近低频段，即  和 T 要选得尽可能大些，但 考虑实现的可能性，也不能选得过分大。一般取其时间常数 T 比原系统的最大时间常数还要 大些。 关于利用它的高频衰减特性，通常有两种用法。一种是如果把高于 1 T 频率范围的增益 提高到原系统的增益值，当然低频段的增益就提高了。而由于 1 T 比校正前系统的 c 小很 多，即使加入滞后环节， c 附近的相位几乎没有什么变化，响应速度等也几乎不会受影响。 这时因低频段增益的增大可改善系统的稳态性能。另一种用法是，当稳态性能满足要求，不 需再提高增益，这时由于滞后校正的高频衰减特性，会使系统的穿越频率 c 左移，从而使 相位裕量增大，改善系统的相对稳态性，当然此时系统的带宽减小，响应速度要慢些。 下面举例说明用波德图进行相位滞后校正。 例 8.2 设有单位反馈控制系统，其开环传递函数为 ( 1)(0.5 1) ( ) + + = s s s K G s 要求系统在单位速度输入时的稳态误差 ss e = 0.2s ；相位裕量  ≥ o 40 ；幅值裕量 Kg 20 lg ≥ 10 dB。 解：首先，根据稳态误差 ss e = 0.2s 确定开环增益 k 。对于Ⅰ型系统 -1 ss 1 1 5(s ) 0.2 K e = = = 由已确定的开环增益 K = 5 ，绘出系统校正 前的开环波德图，如图 8.13 中曲线①所示。 由图 8.13 可知，原系统的相位裕量为 0 −20 ，幅值裕量为 g 20lg 8dB K = − ，系统 是不稳定的。 如果在此例中，采用相位超前校正是不 怎么有效的。此例在 c 附近很窄的频率范 围内对数幅频和相频特性衰减很快。若采用 -8dB 图10.13 滞后校正前后开环波德图 0.01 -270° 0.1 1 2 4 -180° -90° 0° ③ c c ② -20 -40 dB 0 c ② c ① 40° -20° 11dB ③ ① 20 40 图 8.13 滞后校正前后开环波德图 例 8.1 系统框图

自动控制系统及应用 214 相位超前校正,虽然校正环节可提供超前相角,但又会使ω右移,又将使系统的相位产生 较大的滞后量,而使系统的相位裕量不会有明显的改善。如果采用相位滞后校正,反而能有 效地改善系统的稳定性。但由于在系统中串联相位滞后环节后,对数相频特性曲线在穿越频 率O处的相位将有所滞后,所以,对给定的相位裕量要增加50~120作为补充。现在取相位 裕量的设计值为400+120=520。 然后在图8.3所示的原系统的相频特性曲线上找到对应于180-52=128°时的频率 为0.55,并以此作为校正后系统的穿越频率O。 相位滞后校正的环节的高端转角频率lT应远低于已校正系统的穿越频率O。,今选 oc/ 因此 1=2_05 =0.l(s-) 1 0.1 从图83可知,要使O=0.55成为校正后的系统的穿越频率,就需要在该点将G(jo) 的对数幅频特性移动-20dB,故在=0.5s-处,相位滞后校正的环节的对数幅频特性对 应的分贝值应为 20l 当Br>T≥1时,有 201gB -201g B=-20dB B=10

自动控制系统及应用 214 相位超前校正，虽然校正环节可提供超前相角，但又会使 c 右移，又将使系统的相位产生 较大的滞后量，而使系统的相位裕量不会有明显的改善。如果采用相位滞后校正，反而能有 效地改善系统的稳定性。但由于在系统中串联相位滞后环节后，对数相频特性曲线在穿越频 率 c 处的相位将有所滞后，所以，对给定的相位裕量要增加 5 0～120 作为补充。现在取相位 裕量的设计值为 400+120=520。 然后在图 8.13 所示的原系统的相频特性曲线上找到对应于 0 0 0 180 52 128 − = 时的频率 为 1 0.5s− ，并以此作为校正后系统的穿越频率 c 。 相位滞后校正的环节的高端转角频率 1 T 应远低于已校正系统的穿越频率 c ，今选 c T   = 5 ，因此 c 1 T 0.5 0.1(s ) 5 5   − = = = T 1 1 10(s) 0.1 T  === 从图 8.13 可知，要使 1  0.5s− = 成为校正后的系统的穿越频率，就需要在该点将 G j ( )  的对数幅频特性移动 −20dB ，故在 1  0.5s− = 处，相位滞后校正的环节的对数幅频特性对 应的分贝值应为 0.5 1 20lg 20 1 jT j T     = + = − + 当 T  T ≥1 时，有 0.5 1 20lg 20lg 1 jT j T      = +  − + 即 − = − 20lg 20dB  故  =10

自动控制系统及应用 1 0.0ls BT 相位滞后校正环节的频率特性为 G o) I+To 1+j10o 1+JBTO 1+j100@ 校正后系统的开环传递函数为 G2(s)G(s)= 5(10s+1) s(100s+1)(S+1)(0.5s+1) 图8.13中的曲线②为滞后校正环节的对数频率特性,曲线③为校正后系统的开环波德 图 由图813可见,校正后系统的相位裕量约等于40°,幅值裕量约等于11dB,稳态速度 误差等于0.2s,都满足了预先提出的性能指标要求。但由于校正后开环系统的穿越频率从约 s-降到05s-,闭环系统的带宽随之下降,所以,这种校正会使系统的响应速度降低。 823相位滞后一超前校正 超前校正的作用在于提高系统的相对稳定性和响应 快速性,但对稳态性能改善不利。滞后校正的主要作用 在于,在基本上不影响原有动态性能的前提下,提高系 C 统的开环增益,从而改善系统的稳态性能。而采用滞后 一超前校正环节,则可同时改善系统的动态性能和稳态图8.14滞后一超前网络 性能。 图8.14所示为RC滞后一超前网络,其传递函数为 G(s) (RC1s+1)(RC2S+1) U(S)(RCS+D(RC2S+1)+RC2S (8.9) 设RC1=T1,R2C2=T2,RC1R2C2=T72(取T2>T) 并使RC1+R2C2+RC2=+m2(B>1) 则式(8.9)可写成

自动控制系统及应用 215 1 1 0.01s T − = 相位滞后校正环节的频率特性为 c 1 1 10 ( ) 1 1 100 jT j G j j T j       + + = = + + 校正后系统的开环传递函数为 c 5(10 1) ( ) ( ) (100 1)( 1)(0.5 1) s G s G s s s s s + = + + + 图 8.13 中的曲线②为滞后校正环节的对数频率特性，曲线③为校正后系统的开环波德 图。 由图 8.13 可见，校正后系统的相位裕量约等于 0 40 ，幅值裕量约等于 11dB ，稳态速度 误差等于 0.2s，都满足了预先提出的性能指标要求。但由于校正后开环系统的穿越频率从约 1 2s− 降到 1 0.5s− ，闭环系统的带宽随之下降，所以，这种校正会使系统的响应速度降低。 8.2.3 相位滞后—超前校正 超前校正的作用在于提高系统的相对稳定性和响应 快速性，但对稳态性能改善不利。滞后校正的主要作用 在于，在基本上不影响原有动态性能的前提下，提高系 统的开环增益，从而改善系统的稳态性能。而采用滞后 —超前校正环节，则可同时改善系统的动态性能和稳态 性能。 图 8.14 所示为 RC 滞后—超前网络，其传递函数为 o 1 1 2 2 c i 1 1 2 2 1 2 ( ) ( 1)( 1) ( ) ( ) ( 1)( 1) U s R C s R C s G s U s R C s R C s R C s + + = = + + + (8.9) 设 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 R C T R C T R C R C T T = = = , , (取 T T 2 1  ) 并使 2 1 1 1 2 2 1 2 T T R C R C R C   + + = + (  1 ) 则式（8.9）可写成 图 8.14 滞后—超前网络 图10.14 滞后—超前网络 i 2 1 o 1 2