第四章 Hankel范数模型逼近理论 于是 min llu()l2=llop(t)l2=aoP-xo 第三步。求|rel 由o的任意性可得 这就是所需的结果 自共轭算子IG,rG是C2(-∞,0)到C2(-∞,0)的一个映射。于是可以定义其特征值和特征向量 定义4.6若存在非零向量u;(t)∈C2(-∞,0)和实数λ;使 成立,则称λ是算子IG.IG的一个特征值,u;(t)是(属于λ的)特征向量 下面我们将求出rG.IG的所有非零特征值及其特征向量 给定常向量xo.定义u(t)=B"e-4"P-1ro,t<0,则定理4.3证明的第二步说明,u(t)∈C2(-∞,0) 且当G的输入为u(t)时,m(0)=x0.由于t>0时u(t)≡0 y(t)=TGu(t)=C (428) 为确定rG.rG的特征值和特征向量,令v(t)=Ce4mo为共轭算子TG.的输入。则 TG. y(t) dt. t<0 (4.29) 由(428)和(4.29)可得 TGTGu(t)=B'e4P-PQao (4.30) 令 )(t)= Au(t) vt <0 B"e-AtQzo=XB"e-Atp-lzo vt<0 台→Be-4P-1[(MI-PQ)a]=0t< 由于(A,B)完全可控,上式又等价于(M-PQ)a0=0,即mo是PQ的右特征向量。于是,u(t)是rGIG 的特征向量,当且仅当PQx0=a2x0.即x是矩阵PQ的右特征向量。于是IG.IG的个特征向量为 u(t)=B"e-P-1m,其中;是矩阵PQ的右特征向量。‖rc.T‖是ra.Ta的最大特征值。 8424平衡实现与平衡截断 若(A,C)不可观测,则存在v≠0,使得 λI-A 若取xo=U,则由(421)可得 IQo+aoQAo+Caol →(X+入)a3Qao 上述分析表明,如果ao属于(A,C)的不可观测子空间,则由mo决定的零输入响应y(t)=0,→ yt)‖=0.✐ ❥ ❦✢❧✄♠♦♥✳♣qrst❴✉❆✈✚✇▲①✚②✞③✕④✚⑤ ⑥✚⑦ ⑧⑩⑨❶❸❷ ❹❻❺ ❼ ❽ ❷ ❾ ❾❻❿ ❷ ❹➁➀ ➂ ➃ ❺ ❼ ❽ ❷ ❾ ❾❻❿✕➄❣➅➆ ➇➉➈✦➊ ➄ ➆❣➋ ❺ ➌ ➍ ➎ ➏ ❽ ➐✞➑✞➒▲➓✄➔ ❷ →✦➣✳❷ ➍ ↔ ➄ ➆➉↕✚➙✚➛✞➜✕➝✚➞ ❷ →✦➣❻❷ ❾ ❿✩➟➠➡ ➢ ➤ ➦❀➧ ➥ ➄ ➅ ➆ ➨ ➄ ➄ ➅ ➆ ➆ ➇ ➈✦➊ ➄ ➆ ❿✕➩➫➁➭➯ ❺ ➇ ➨ ❽ ➋ ➲✞➳⑦✞➵✕➸↕✶➺✕➻➓ ➼✫➽✞➾✞➚✞➪ →➹➶✖➘ →➹➶ ⑦✰➴ ❾ ❺ ➷✳➬✞➮ ➱ ❽❣✃ ➴ ❾ ❺ ➷✳➬✞➮ ➱ ❽ ↕✚❐✚❒▲❮✶❰➓ ⑥✞⑦➝✢Ï✶Ð✕Ñ✚Ò✕Ó✕Ô✞Õ✕Ö✞Ó▲Ô✢×❆Ø➓ Ù✚Ú☛Û✦Ü Ý✢Þ✚ß✕à▲á✚â▲ã✶ä ❹✳å ❺ ❼ ❽❴æ ➴ ❾ ❺ ➷✳➬✞➮ ➱ ❽✖ç✕è❆é ➩ å❻ê ❺ →➹➶❻➘ →➹➶✳❹➁å ❽❀❺ ❼ ❽ ❿✕➩ å ❹➁å ❺ ❼ ❽ ë✞ì✞í✚î✶ï ➩ å✳ð✕ñ✞ò✰→➹➶❻➘ →➹➶✮ó✚ô✶õ✕ö✞÷✕øí ❹✳å ❺ ❼ ❽❻ðúùû▲ü ➩ å✳ó❸ýþö✞÷ ã❆ä✞➓ ÿ✁￾✁✂☎✄✝✆➔✟✞ →➹➶þ➘ →➹➶ ↕➵✁✠☎✡☞☛Ó✕Ô✞Õ✁✌✕Ò✕Ó✕Ô✮×✄Ø➓ ✍ Ð✁✎✢×✄Ø ➄ ➆ ➍ Ð✞Ñ ❹❻❺ ❼ ❽ ❿☎✏ ➅ ✑ ➈✓✒ ➘ ✔ ➇ ➈✦➊ ➄ ➆ ➮ ❼ ✕ ➱ ✖ ✗Ð☞✘ ➌ ➍ ✙✛✚✢✜↕➐✁✣✞➒✁✤✜ í ❹þ❺ ❼ ❽❴æ ➴ ❾ ❺ ➷✳➬✞➮ ➱ ❽ ✖ ✥✧✦✩★ ↕✝✪✁✫☎✬ ❹✖❺ ❼ ❽ ✭í ➄ ❺ ➱ ❽ ❿✞➄ ➆ ➍ ↔ ⑥ ❼ ✮ ➱ ✭ ❹❻❺ ❼ ❽ ✯☎✰ ✖ ✱ ❺ ❼ ❽ ❿ ❺ →➹➶✳❹❴❽ ❺ ❼ ❽ ❿☎✲ ✑ ✒ ✔ ➄ ➆ ➮ ❼ ✮ ➱ ➋ ❺ ➌ ➍ ➎ ❥ ❽ ✬✁✳✞Ð →➹➶ ➘ →➹➶ ↕✶Ó✕Ô✚Õ✞Ö✞Ó✕Ô✮×✄Øí✵✴ ✱ ❺ ❼ ❽ ❿☎✲ ✑ ✒ ✔ ➄ ➆✶✬➽✞➾✞➚✞➪ →➹➶ ➘ ↕✝✪✁✫➓ ❺ →➹➶❻➘ ✗ ✱ ❽ ❺ ❼ ❽ ❿☎✷✝✸➆ ✏þ➅ ✑ ➈✓✒ ➘ ✹ ✔ ➈✻✺ ✼ ✲þ➅ ✲✑ ✒✽✺ ➄ ➆✻✾❀✿ ➮✾❼ ✕ ➱ ❿☎✏ ➅ ✑ ➈✓✒ ➘ ✔ ➨ ➄ ➆ ➮ ❼ ✕ ➱ ➋ ❺ ➌ ➍ ➎ ❁ ❽ ↔ ❺ ➌ ➍ ➎ ❥ ❽ Ö ❺ ➌ ➍ ➎ ❁ ❽ ➝✚➞ ❺ →➹➶❻➘ →➹➶✳❹❴❽ ❺ ❼ ❽ ❿☎✏ ➅ ✑ ➈✓✒ ➘ ✔ ➇ ➈✦➊ ➇ ➨ ➄ ➆➁➋ ❺ ➌ ➍ ✙ ➱ ❽ ✴ ❺ →➹➶➘ →➹➶❻❹❻❽ ❺ ❼ ❽ ❿✕➩❹✳❺ ❼ ❽❃❂❼ ✕ ➱ ❄❆❅ ✏þ➅ ✑ ➈✓✒ ➘ ✔ ➨ ➄ ➆ ❿✕➩✓✏þ➅ ✑ ➈✓✒ ➘ ✔ ➇➉➈✦➊ ➄ ➆ ❂❼ ✕ ➱ ❄❆❅ ✏þ➅ ✑ ➈✓✒ ➘ ✔ ➇➉➈✦➊✽❇ ❺ ➩ ❈ ➷ ➇ ➨ ❽ ➄ ➆ ❉ ❿ ✰ ❂❼ ✕ ➱ ➋ ↔ ⑥ ❺❊❆➮ ✏ ❽●❋☞❍➝☞■í●❏✁❑☎▲☞▼✁◆⑥ ❺ ➩ ❈ ➷ ➇ ➨ ❽ ➄ ➆ ❿ ✰ ✖ ❖ ➄ ➆ ⑦ ➇ ➨ ↕✝P✞Ó✕Ô✢×✄Ø➓ ⑥✚⑦í ❹✖❺ ❼ ❽ ⑦ →➹➶❴➘ →➹➶ ↕✶Ó✕Ô✢×✄Øí ✦✝✥☎◗✧✦ ➇ ➨ ➄ ➆ ❿✁❘å❾ ➄ ➆ ➍ ❖ ➄ ➆ ⑦✁❙✟❚ ➇ ➨ ↕✝P✞Ó✕Ô✢×✄Ø➓ ⑥✚⑦ →➹➶✖➘ →➹➶ ↕❱❯❸❒✞Ó✕Ô✢×✄Ø☎✬ ❹➁å ❺ ❼ ❽ ❿☎✏ ➅ ✑ ➈✓✒ ➘ ✔ ➇ ➈✦➊ ➄ å ✖ Ò✢❲ ➄ å ⑦✁❙✟❚ ➇ ➨ ↕✝P✞Ó✕Ô✢×✄Ø➓ ❷ →➹➶ ➘ →➹➶➉❷ ⑦ →➹➶➘ →➹➶ ↕✝❳✁❨✞Ó✕Ô✚Õ➓ ❩ Û✦Ü ❬➹Ü Û❪❭☞❫☎❴☞❵☎❛✁❭☞❫☎❜✁❝ ❞ ❺❊▲➮ ✲ ❽●❡➝☞❢✁❣í ✗✁❤✁✐✩❥✩❦❿ ✰ í✵❧➞ ♠ ➩♥❈ ➷✵❊ ✲♣♦ ❥ ❿ ✰ ➋ ❞✁q ➄ ➆ ❿ ❥r✖ ✗ ↔ ❺ ➌ ➍ ➎ s ❽ ➝✚➞ ➄ ➅ ➆ ❊ ➅ ➨ ➄ ➆❀t ➄ ➅ ➆ ➨ ❊ ➄ ➆❀t ❷ ✲þ➄ ➆ ❷ ❾ ❾ ❿ ➱ ❄❆❅ ❺ ➩ t ➩ ❽ ➄ ➅ ➆ ➨ ➄ ➆ ❿ ➱ ❄❆❅ ➄ ➅ ➆ ➨ ➄ ➆ ❿ ➱ ❏☎✉☎✈☎✇☎① ✜ í✵②➻ ➄ ➆❆③ ⑥ ❺❊✩➮ ✲ ❽ ↕❡ ➝✁❢☎❣➪✟④✧⑤ í ✗ ↔ ➄ ➆⑦⑥▲Ð▲↕☛✪☎✫✟⑧☞⑨ ✱ ❺ ❼ ❽ ❿ ✰ ❷ ✖ ❄❆❅ ✱ ❺ ❼ ❽ ❷ ❾ ❾❻❿ ➱ ➍