《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 §9定积分的计算（续） 利用牛顿一莱布尼兹计算定积分的关键是求被积函数的不定积分，而换元积分法和分部积 分分法是求不定积分的基本方法，下面我们把这两种方法进一步推广到定积分上去。 一、定积分的换元积分法 应用换元积分法计算定积分时，变换过程和求不定积分的换元积分法是一样的。在不定 积分时，积分后要换回原来的积分变量。但在定积分利用换元积分法时，相应的改变积分的上 下限。不必再换回到原来的积分变量，可以简化定积分的计算。 例9.5.1计算1-Vx 解：作变量代换F=%即，这时=2。当x从4连续增加到9，“从2连续增加到3， 即当x=4时，4=2：当x=9时，u=3。因此 j-j片2油-20+0+品 [-0+2-2n-3=-7-2n2 一般定积分的换元积分法叙述如下： 定理5.1设函数f()eC,若函数=o(回在区间a,川连续可微，且当a≤1≤P时 a≤p)≤b,p(a)=ap(B)=br则 Jf(x)d=J[o(]o()d (9.5.1) 正：由假设f(∈C[,),f四必有原函数，不妨设F()是四的一个原函数，即 F()=∫()，x[a月。根据牛顿一菜布尼兹公式，有 ∫fx)=F(b)-F(a (9.5.2) 另一方面，由复合函数求导法则及复合函数的连续性，有 《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 10 §9 定积分的计算（续） 利用牛顿－莱布尼兹计算定积分的关键是求被积函数的不定积分，而换元积分法和分部积 分分法是求不定积分的基本方法，下面我们把这两种方法进一步推广到定积分上去。 一 、定积分的换元积分法 应用换元积分法计算定积分时，变换过程和求不定积分的换元积分法是一样的 。在不定 积分时，积分后要换回原来的积分变量。但在定积分利用换元积分法时，相应的改变积分的上、 下限。不必再换回到原来的积分变量，可以简化定积分的计算。 例 9.5.1 计算 9 4 1 x dx − x  解：作变量代换 2 x u u dx udu = = , 2 即 ，这时 。当 x 从 4 连续增加到 9，u 从 2 连续增加到 3， 即当 x u x u = = = = 4 2 9 , 3 时， ; 当 时 。因此 9 3 3 4 2 2 2 2 2(1 ) 1 1 1 x t dx tdt t dt x t t   = = − + + =   − − −      ( ) 2 3 1 2ln 1 7 2ln 2 2 t t   − + − − = − −   一般定积分的换元积分法叙述如下： 定理 5.1 设函数 f x C a b ( )  ,  ，若函数 x t = ( ) 在区间  ,  连续可微，且当    t 时， a t b a b   = =      ( ) , , ( ) ( ) ， 则 ( ) ( ) ( ) b a f x dx f t t dt   =         (9.5.1) 证：由假设 f x C a b ( )  ,  ， f x( ) 必有原函数，不妨设 F x f x ( )是 ( ) 的一个原函数，即 F x f x x a b ( ) =  ( ), ,   。根据牛顿－莱布尼兹公式，有 ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a = −  （9.5.2） 另一方面，由复合函数求导法则及复合函数的连续性，有