扩充成V的一组基6,61，B,.,阝%，再令B=B,-f(B,61)E+f(B,6)E1,i=3,4,.,n则 f(f,6)=f(p,61)=0i=3,4,.,n 显然6,61，B,B4,.,Bn仍是V的基.于是V=L(G,E1)田L(B,.,Bn),并且f(,)看作 L(B,.,B)上的双线性函数仍是反对称的，因此应用归纳法有L(B,.,B)的基 82,62,.,6,6,几1，.，7，满足(2).由于f(6,月)=f(81,阝)=0i=3,4,.,n,因此，对 C∈L(B,.,Pn)都有f(G,)=f(81,)=0.故6,61，.，6，8r,几，.，几，也满足(2) 从定理5可知，V上的对称双线性函数f(α，B)如果是非退化的，则有的一组基6，·，n满足 f(6,)≠0i=1,2,.,m; f(8,6)=0j=i 此基称为V的对于f(a,B)使的正交基 从定理6可知，V上的反对称双线性函数f(α，B)如果是非退化的，则有V的一组基 61,E1,.,6,8,使 f(e,6)=1.i=1,2,.,r f(e,6j)=0,i+j≠0. (由非退化的条件，定理6中的门，.，门，不会出现，故此时V的维数为偶数). 定义8设V是数域上的线性空间，在V上定义了一个非退化的双线性函数，则称V为一个双线 性度量空间.特别地，当V为n维线性空间，f(,B)为V上非退化对称双线性函数时，V称为一个 伪欧氏空间 作业：P419,习题15。 预习：本章的基本概念与主要定理扩充成 V 的一组基 1 1 3 , , , , , n     −   再令 1 1 1 1 ( , ) ( , ) , 3,4, , , i i i i         f f i n − −  = − + =   则 1 ( , ) ( , ) 0 3,4, , . i i i f f i n     = = = − 显 然 1 1 3 4 , , , , , n      − 仍 是 V 的 基 . 于 是 1 1 3 ( , ) ( , , ), V L L n =      − 并 且 f ( , )   看 作 3 ( , , ) L  n 上 的 双 线 性 函 数 仍 是 反 对 称 的 ， 因 此 应 用 归 纳 法 有 3 ( , , ) L  n 的 基 2 2 1 , , , , , , , r r s       − − 满足（ 2 ） . 由 于 1 1 ( , ) ( , ) 0 3,4, , , i i f f i n     = = = − 因此，对 3 ( , , )     L n 都有 1 1 f f ( , ) ( , ) 0     = = − .故 1 1 1 , , , , , , , r r s       − − 也满足（2） 从定理 5 可知， V 上的对称双线性函数 f ( , )   如果是非退化的，则有的一组基 1 , , n   满足 ( , ) 0 1,2, , ; ( , ) 0 . i i i j f i n f j i       =   = =  此基称为 V 的对于 f ( , )   使的正交基. 从定理 6 可知， V 上的反对称双线性函数 f ( , )   如果是非退化的，则有 V 的一组基 1 1 , , , , r r     − − 使 ( , ) 1. 1, 2, , ; ( , ) 0, 0. i i i j f i r f i j      − = =   = +   （由非退化的条件，定理 6 中的 1 , ,  s 不会出现，故此时 V 的维数为偶数）. 定义 8 设 V 是数域上的线性空间，在 V 上定义了一个非退化的双线性函数，则称 V 为一个双线 性度量空间.特别地，当 V 为 n 维线性空间， f ( , )   为 V 上非退化对称双线性函数时， V 称为一个 伪欧氏空间. 作业: P419，习题 15。 预习: 本章的基本概念与主要定理