根据对称矩阵在全同变换下的标准形理论，我们有 定理5设∫（α，B)是n维线性空间V上对称双线性函数，同则存在V的一组基6，.，6，使 f(4,B)在这组基下的度量矩阵为对角矩阵. 推论1设f(a,B)是复n维线性空间V上的对称双线性函数.则存在V的基，5，对 a=∑x5,B=∑y5,有fa,B)=xy++xy,0≤r≤m. 推论2设f(α，B)是实n维线性空间V上对称双线性函数，则存在V的基6，en,对 a=B=g,有fa,)=++,。-m-,0≤psr≤n 定义7设f(a,B)为V上双线性函数，则f(a,a)称为与f(aB)对应的二次齐次函数 给定V的一级基，.，6n设f(a,B)的度量矩阵为A=(a,)mn对a=∑x6,eV有 f(a.a)->>axyr (1) 上式中xx,的系数为a,+an故若f(a,B)与g(a,B)的度量矩阵A=(a,)m与B=(,)n满足 ay+an=by+bu i.j=1.2.n 则f(a,a)=g(a,B).但若fa,B)为对称双线性函数，则它对应的二次齐次函数f(a,a)只能有- 个此时f(a,a)就是我们已学习过的二次型，此二次型的矩阵就是f(α，B)的度量矩阵 现在我们来讨论反对称双线性函数. 定理6设∫（αB)为n维线性空间V上的反对称双线性函数，则存在V的一组基 51.6,5,1,7,使 [f8,6)=1i=1,2,.,r f(6,6,)=0i+j≠0 2) f(a,n)=0aeV,K=l.,S. 证明若f(a,B)=0,则V的任一组基都可取为，.，八，而满足要求，若不然，则必有6，B使 f(6,B)≠0，因为f(6,B)=元f(6,),故可取适当的2，令61=邓，使f(6,6)=1.将6,6根据对称矩阵在全同变换下的标准形理论，我们有 定理 5 设 f ( , )   是 n 维线性空间 V 上对称双线性函数，同则存在 V 的一组基 1 , , n   ，使 f ( , )   在这组基下的度量矩阵为对角矩阵. 推论 1 设 f ( , )   是复 n 维线性空间 V 上的对称双线性函数.则存在 V 的基 1 , , n   ，对 1 1 , , n n i i i i i i     x y = =  = =   有 1 1 ( , ) , 0 . r r f x y x y r n   = + +   推论 2 设 f ( , )   是实 n 维线性空间 V 上对称双线性函数，则存在 V 的基 1 , , n   ，对 1 1 , , n n i i i i i i     x y = =  = =   有 1 1 1 1 ( , ) , 0 . p p p p r r f x y x y x y x y p r n   = + + − − −    + + 定义 7 设 f ( , )   为 V 上双线性函数，则 f ( , )   称为与 f ( , )   对应的二次齐次函数. 给定 V 的一级基 1 , , n   设 f ( , )   的度量矩阵为 ( ) A a = ij n n 对 1 n i i i   x V = =   有 1 1 ( , ) . n n ij i j i j f a x y   = = = （1） 上式中 i j xx 的系数为 ij ji a a + .故若 f ( , )   与 g( , )   的度量矩阵 ( ) A a = ij n n 与 ( ) B b = ij n n 满足 , 1,2, , , ij ji ij ji a a b b i j n + = + = 则 f g ( , ) ( , ).     = 但若 f ( , )   为对称双线性函数，则它对应的二次齐次函数 f ( , )   只能有一 个.此时 f ( , )   就是我们已学习过的二次型，此二次型的矩阵就是 f ( , )   的度量矩阵. 现在我们来讨论反对称双线性函数. 定理 6 设 f ( , )   为 n 维线性 空间 V 上的反 对称 双线 性函 数，则 存在 V 的一 组基 1 1 1 , , , , , , , r r s       − − 使 ( , ) 1 1,2, , ; ( , ) 0 0; ( , ) 0 , 1, , . i i i j k f i r f i j f V K S        −  = =   = +    =  = （2） 证明 若 f ( , ) 0,    则 V 的任一组基都可取为 1 , ,  s 而满足要求，若不然，则必有 1  , 使 1 f ( , ) 0,    因为 1 1 f f ( , ) ( , )      = ，故可取适当的  ，令 1  , − = 使 1 1 f ( , ) 1.   − = 将 1 1  , −