第5期 董洁，等：多智能体网络系统的能控性代数条件 .749. 令x=[x1名2…x],x,=[x1x2… x], 则有 系统(1)可以写成如下形式： [LgL]=[A听0]=Av Lx 所以vL=Av「。这说明向量v是L的左特征向量， 并且对应于所有领航者的最后！项全为零元素。因 式中：x和x,分别代表跟随者和领航者状态的迭加 此定理1成立。 向量，Lr∈R和Lu∈R分别对应于系统跟随者和 2.1.2高阶同质多智能体网络系统的能控性 领航者的编号，L表示从跟随者到领航者的通信连 采用文献[21,32]的多智能体网络系统模型： 接关系，L,表示从领航者到跟随者的通信连接关 x=F∑0，x-x)+Bu,i=1,2,…,n(4) 系。只要系统中的领航者能驱动跟随者到达期望的 状态，那么系统就是可控的。本文研究的能控性问 式中：x:eR,F∈R,0g∈R,BeRm,:∈R；x 题是领航者对跟随者的控制能力，即系统(3)的能 表示智能体i的状态；心，表示图G的边权重，代表了 控性问题。 节点i和j之间的连接强度；B是控制输入矩阵。如 果输入“：=0，那么智能体i就是跟随者，反之就是 x1=-LuXI-LnxI (3) 如果存在输人信号u(t),能使系统在规定的时 领航者。定义x=[xx…x]T∈R",u= 间内从任意的初始状态x,(0)被驱使到理想状态 [u;…u]T∈Rm,则系统(4)就可以写成 x(T),则系统(3)是能控的。 x=(-L☒F)x+(A☒B)u (5) 定义1【0】如果将矩阵L划分成式(2)的形 假设前g个智能体是领航者，那么 式，最后l个智能体为领航者，当且仅当（亿，L)可 A=diag(1,…,1,0,…,0) 控，则系统就是能控的。 a-q 引理13训给定系统=-Lg-L,可以得 注释2文献[21,32]的状态方程为X=-FXL+ 出以下的说法是等同的： BU。为了使分析一致，将X=-FXLT+BU进行拉直 1)系统是能控的： 处理转化成式(5)进行分析。 2)能控性矩阵 引理2实矩阵A、B、CD的维数兼容，那么有 [-Ln LoLn -LiLa …（-1)"LgLa] 以下结论)： 是行满秩的： 1)(A+B)⑧☒C=A⑧C+B☒C 3)对于系统所有的特征值入∈R,矩阵对 2)(A⑧B)(C⑧D)=(AC)⑧(BD) [入I-LgL]都是行满秩的，也就是说如果L= 3)(A⑧B)T=A'⑧B 入v则vLa≠0，其中v是矩阵Lr的特征值入所对 4)A为m×m的矩阵，它的特征值A1,入2，…，入m 应的非零的左特征向量。 所对应的左特征向量分别是1，，…，am,B为n× 注释1学术界已经广泛研究了一阶动力学多 n的矩阵，它的特征值142，…，4n所对应的左特 智能体网络系统的模型，例如文献[13-18]。而系统 征向量分别是B,B2,…,B.。则A☒B的特征值是 (1)是一般的加权系统模型。 入4(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n),对应的左特征向 命题1系统(3)是能控的，也就是[LgLa] 量是x,⑧p,0 是可控的，那么当且仅当矩阵L和矩阵L没有相同 定理22]要使系统(5)能控，那么以下2个 的特征值。 条件必须同时成立。 定理1系统(3)是可控的，即矩阵对[LL] 1)[FB]是一个能控矩阵对： 是可控的，那么矩阵L不存在与领航者节点所对应 2)矩阵L不存在前q项全是零元素的左特征 向量元素全为0的左特征向量。 向量。 证明根据引理1，如果矩阵L,中存在与特征 证明根据PBH判据，如果系统(5)是不可控 值入所对应的左特征向量y,∈C,使得vLa=0成 的，那么矩阵L⑧F中存在与特征值入相对应的左 立，那么矩阵对[LgL]是不可控的。构造一个向 特征值向量，使得(A②B)=0成立。假设矩阵 量veCm,令v=[0],那么下式成立： L和F对应的左特征向量分别是：∈C和B∈C, 由引理2可知，v=a⑧B和(a'⑧B)(A☒B)=0同 Ly Lu 时成立，所以得到令 ｘｆ ＝ ｘ１ ｘ２ … ｘｎ [ ] Ｔ ，ｘｌ ＝ ｘｎ＋１ ｘｎ＋２ … ｘｎ＋ｌ [ ] Ｔ ， 系统（１）可以写成如下形式： ｘ · ＝ ｘ · ｆ ｘ · ｌ é ë ê ê ê ù û ú ú ú ＝ － Ｌｘ ＝ － Ｌｆｆ Ｌｆｌ Ｌｌｆ Ｌｌｌ é ë ê ê ù û ú ú ｘｆ ｘｌ é ë ê ê ù û ú ú （２） 式中：ｘｆ 和 ｘｌ 分别代表跟随者和领航者状态的迭加 向量，Ｌｆｆ∈Ｒ ｎ×ｎ和 Ｌｌｌ∈Ｒ ｌ×ｌ分别对应于系统跟随者和 领航者的编号，Ｌｌｆ表示从跟随者到领航者的通信连 接关系，Ｌｆｌ 表示从领航者到跟随者的通信连接关 系。 只要系统中的领航者能驱动跟随者到达期望的 状态，那么系统就是可控的。 本文研究的能控性问 题是领航者对跟随者的控制能力，即系统（３） 的能 控性问题。 ｘ · ｆ ＝ － Ｌｆｆｘｆ － Ｌｆｌｘｌ （３） 如果存在输入信号 ｕ（ｔ），能使系统在规定的时 间内从任意的初始状态 ｘｆ（ ０） 被驱使到理想状态 ｘｆ（Ｔ），则系统（３）是能控的。 定义 １ ［３０］ 如果将矩阵 Ｌ 划分成式（２） 的形 式，最后 ｌ 个智能体为领航者，当且仅当 Ｌｆｆ，Ｌｆｌ ( ) 可 控，则系统就是能控的。 引理 １ ［３１］ 给定系统 ｘ · ｆ ＝ －Ｌｆｆ ｘｆ －Ｌｆｌ ｘｌ，可以得 出以下的说法是等同的： １）系统是能控的； ２）能控性矩阵 ［－Ｌｆｌ ＬｆｆＬｆｌ －Ｌ ２ ｆｆＬｆｌ … （－１） ｎＬ ｎ－１ ｆｆ Ｌｆｌ］ 是行满秩的； ３） 对 于 系 统 所 有 的 特 征 值 λ ∈ Ｒ， 矩 阵 对 ［λＩ－Ｌｆｆ Ｌｆｌ］都是行满秩的，也就是说如果 ｖ ＴＬｆｆ ＝ λｖ Ｔ 则 ｖ ＴＬｆｌ≠０，其中 ｖ 是矩阵 Ｌｆｆ的特征值 λ 所对 应的非零的左特征向量。 注释 １ 学术界已经广泛研究了一阶动力学多 智能体网络系统的模型，例如文献［１３⁃１８］。 而系统 （１）是一般的加权系统模型。 命题 １ 系统（３）是能控的，也就是［Ｌｆｆ Ｌｆｌ］ 是可控的，那么当且仅当矩阵 Ｌ 和矩阵 Ｌｆｆ没有相同 的特征值。 定理 １ 系统（３）是可控的，即矩阵对［Ｌｆｆ Ｌｆｌ］ 是可控的，那么矩阵 Ｌ 不存在与领航者节点所对应 向量元素全为 ０ 的左特征向量。 证明 根据引理 １，如果矩阵 Ｌｆｆ中存在与特征 值 λ 所对应的左特征向量 ｖｆ∈Ｃ ｎ ，使得 ｖ Ｔ ｆ Ｌｆｌ ＝ ０ 成 立，那么矩阵对［Ｌｆｆ Ｌｆｌ］是不可控的。 构造一个向 量 ｖ∈Ｃ ｎ＋ｌ ，令 ｖ Ｔ ＝ ｖ Ｔ [ ｆ ０] ，那么下式成立： ｖ ＴＬ ＝ ｖ Ｔ [ ｆ ０] Ｌｆｆ Ｌｆｌ Ｌｌｆ Ｌｌｌ é ë ê ê ù û ú ú ＝ ｖ Ｔ ｆ Ｌｆｆ ｖ Ｔ ｆ Ｌｆｌ [ ] 则有 ｖ Ｔ ｆ Ｌｆｆ ｖ Ｔ ｆ Ｌｆｌ [ ] ＝ λｖ Ｔ [ ｆ ０] ＝ λｖ Ｔ 所以 ｖ Ｔ Ｌ ＝λｖ Ｔ 。 这说明向量 ｖ 是 Ｌ 的左特征向量， 并且对应于所有领航者的最后 ｌ 项全为零元素。 因 此定理 １ 成立。 ２．１．２ 高阶同质多智能体网络系统的能控性 采用文献［２１，３２］的多智能体网络系统模型： ｘ · ｉ ＝ Ｆ∑ ｊ∈Ｎｉ ｗｉｊ（ｘｊ － ｘｉ） ＋ Ｂｕｉ，ｉ ＝ １，２，…，ｎ （４） 式中：ｘｉ∈Ｒ ｄ ，Ｆ∈Ｒ ｄ×ｄ ，ｗｉｊ∈Ｒ，Ｂ∈Ｒ ｄ×ｍ ，ｕｉ∈Ｒ ｍ ； ｘｉ 表示智能体 ｉ 的状态；ｗｉｊ表示图 Ｇ 的边权重，代表了 节点 ｉ 和 ｊ 之间的连接强度；Ｂ 是控制输入矩阵。 如 果输入 ｕｉ ＝ ０，那么智能体 ｉ 就是跟随者，反之就是 领航者。 定义 ｘ ＝ ［ｘ Ｔ １ ｘ Ｔ ２ … ｘ Ｔ ｎ ］ Ｔ ∈ Ｒ ｄ×ｎ ， ｕ ＝ ［ｕ Ｔ １ ｕ Ｔ ２ … ｕ Ｔ ｎ ］ Ｔ∈Ｒ ｍ×ｎ ，则系统（４）就可以写成 ｘ · ＝ （ － Ｌ 􀱋 Ｆ）ｘ ＋ （Λ 􀱋 Ｂ）ｕ （５） 假设前 ｑ 个智能体是领航者，那么 Λ ＝ ｄｉａｇ（１，}…，１， ｑ ０}，…，０ ｎ－ｑ ） 注释 ２ 文献［２１，３２］的状态方程为 Ｘ · ＝ －ＦＸＬ Ｔ ＋ ＢＵ。 为了使分析一致，将 Ｘ · ＝ －ＦＸＬ Ｔ ＋ＢＵ 进行拉直 处理转化成式（５）进行分析。 引理 ２ 实矩阵 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ 的维数兼容，那么有 以下结论［３３］ ： １）（Ａ＋Ｂ）􀱋Ｃ＝Ａ􀱋Ｃ＋Ｂ􀱋Ｃ ２）（Ａ􀱋Ｂ）（Ｃ􀱋Ｄ）＝ （ＡＣ）􀱋（ＢＤ） ３）（Ａ􀱋Ｂ） Ｔ ＝Ａ Ｔ􀱋Ｂ Ｔ ４）Ａ 为 ｍ×ｍ 的矩阵，它的特征值 λ１ ，λ２ ，…，λｍ 所对应的左特征向量分别是 α１ ，α２ ，…，αｍ ，Ｂ 为 ｎ× ｎ 的矩阵，它的特征值 μ１ ，μ２ ，…，μｎ 所对应的左特 征向量分别是 β１ ，β２ ，…，βｎ 。 则 Ａ􀱋Ｂ 的特征值是 λｉμｊ（ｉ ＝ １，２，…，ｍ；ｊ ＝ １，２，…，ｎ），对应的左特征向 量是 αｉ􀱋βｊ。 定理 ２ ［２１］ 要使系统（５） 能控，那么以下 ２ 个 条件必须同时成立。 １）［Ｆ Ｂ］是一个能控矩阵对； ２）矩阵 Ｌ 不存在前 ｑ 项全是零元素的左特征 向量。 证明 根据 ＰＢＨ 判据，如果系统（５）是不可控 的，那么矩阵 Ｌ􀱋Ｆ 中存在与特征值 λ 相对应的左 特征值向量 ｖ，使得 ｖ Ｔ （Λ􀱋Ｂ） ＝ ０ 成立。 假设矩阵 Ｌ 和 Ｆ 对应的左特征向量分别是 α∈Ｃ ｎ 和 β∈Ｃ ｄ ， 由引理 ２ 可知，ｖ ＝α􀱋β 和（α Ｔ􀱋β Ｔ ） （Λ􀱋Ｂ）＝ ０ 同 时成立，所以得到 第 ５ 期 董洁，等：多智能体网络系统的能控性代数条件 ·７４９·