·750· 智能系统学报 第10卷 (A)☒(B'B)=0 (6) 1)[FB]是一个能控矩阵对： 要使式(6)成立，则有以下2种情况： 2)矩阵(C-L)⑧F的所有特征值各不相同。 1)如果a'A=0,也就是说矩阵L存在这样的左 2.2.2复杂异质多智能体网络系统的能控性 特征向量，其前q项都是零元素；或者 文献[21]的复杂异质多智能体网络系统写成 2)BB=0,即[FB]是不可控的。 分析以上2种情况，可知定理2成立。 =∑0，F(x-x)+B,4,i=1,2,…,n(11) 2.2异质多智能体网络系统的能控性 式中：xeR,0geR,FeR,W,∈R,B,∈R。 按照从简单异质多智能体网络系统到复杂异质 将标量w,与F合并为一项，那么方程(11)可以变 多智能体网络系统的顺序对能控性的线性代数条件 形为 进行总结。 N 2.2.1简单异质多智能体网络系统的能控性 =∑M,(x-x)+B,,i=1,2,…,n(12) 1)领航-跟随者框架下简单异质多智能体网络 将方程(12)与方程(1)相比较，如果把方阵 系统的模型与文献[19]相似： M∈R看作是拓扑图G的边权重，那么系统的邻 接矩阵为 t,=cFx,+F∑0，(x-x)+Bu,i=1,2,,n 0 M Min (7) Ma 0 4 M2n W= (13) 式中：x:eR,c,∈R,F∈Rd,0g∈R,B∈Rm,u,∈ R。c:Fx:表示节点i之间的内部动态关系。如果 M M2 0 输入：=0，那么智能体i就是跟随者，否则就是领 系统对应的拉普拉斯矩阵为 航者。定义X=[xx…x]T∈R,U= ∑My -Mn … -Mi [u…]TeRm,则系统(7)可以写成： -M21 ∑M -M2 x=[(C-L)☒F]x+(A☒B)u(8) L= (14) 如果系统的前q个智能体是领航者，那么C= diag(c1,c2,…,cn),M=diag(1,…,1.0,…,0)。 -M -M2 ∑M 定理3]要使系统(8)能控，那么以下2个 注释3文献[19]中，c:∈R表示节点i之间的 条件必须同时成立。 异质动态关系，文献[21]中F∈R表示节点i之 1)[FB]是一个能控矩阵对； 间的异质动态关系。文献[21]的异质多智能体网络 2)(C-L)不存在前g项都为零的左特征向量。 系统的能控性是非常复杂的，所以对于这样一个异质 证明定理3的证明过程与定理2相似。 网络系统，只得到了系统不能控的2个充分条件。 2)广播信号下简单异质多智能体网络系统的 命题321】如果方程(11)表示的加权矩阵图 模型与文献[20]中相似，系统模型为 是双向的，即M4=M(i,k=1,2,…,n),并且矩 阵对的集合{[MkB]i,k=1,2,…,n}是不能控 =cFx +Fw(x)+Bu,i=1,2..n j=1 的，那么多智能体系统(10)就是不能控的。 (9) 命题42如果文献[21]中异质多智能体系 式中：x,∈R,C:∈R,F∈R,wg∈R,B∈Rm,u∈R。 统的拓扑图G是结构不能控的，那么整个系统都是 cFx:表示节点i之间的内部动态关系。由于系统(9) 不能控的。 中所有的智能体都接收相同的控制信号，所以称为 2.3一般多智能体网络系统的能控性 广播控制信号。定义X=[xx…x]T∈R 采用文献[25]的一般动力学多智能体网络系 U=[u…u]TeRm,则系统(9)可以写成如 统模型： 下形式： x:=Ax+Cu+6Bu,i=1,2,…,n(15) X=[(C-L)⑧F]X+(I.☒B)U(10) 式中：x:∈R”代表智能体i的状态，u:∈R是智能体 命题29)如果系统(10)是能控的，那么当且 i的耦合变量，w,∈R?是智能体i的外部输入。A= 仅当以下2个条件同时满足： R9,B∈RP9,C∈R。（α ＴΛ） 􀱋 （β ＴＢ） ＝ ０ （６） 要使式（６）成立，则有以下 ２ 种情况： １）如果 α ＴΛ＝ ０，也就是说矩阵 Ｌ 存在这样的左 特征向量，其前 ｑ 项都是零元素；或者 ２）β ＴＢ＝ ０，即［Ｆ Ｂ］是不可控的。 分析以上 ２ 种情况，可知定理 ２ 成立。 ２．２ 异质多智能体网络系统的能控性 按照从简单异质多智能体网络系统到复杂异质 多智能体网络系统的顺序对能控性的线性代数条件 进行总结。 ２．２．１ 简单异质多智能体网络系统的能控性 １）领航－跟随者框架下简单异质多智能体网络 系统的模型与文献［１９］相似： ｘ · ｉ ＝ ｃｉＦｘｉ ＋ Ｆ∑ Ｎ ｊ ＝ １ ｗｉｊ（ｘｊ － ｘｉ） ＋ Ｂｕｉ，ｉ ＝ １，２，…，ｎ （７） 式中：ｘｉ∈Ｒ ｄ ，ｃｉ∈Ｒ，Ｆ∈Ｒ ｄ×ｄ ，ｗｉｊ∈Ｒ，Ｂ∈Ｒ ｄ×ｍ ，ｕｉ∈ Ｒ ｍ 。 ｃｉＦｘｉ 表示节点 ｉ 之间的内部动态关系。 如果 输入 ｕｉ ＝ ０，那么智能体 ｉ 就是跟随者，否则就是领 航者。 定 义 Ｘ ＝ ［ｘ Ｔ １ ｘ Ｔ ２ … ｘ Ｔ ｎ ］ Ｔ ∈ Ｒ ｄｎ ， Ｕ ＝ ［ｕ Ｔ １ ｕ Ｔ ２ … ｕ Ｔ ｎ ］ Ｔ∈Ｒ ｍｎ ，则系统（７）可以写成： ｘ · ＝ ［（Ｃ － Ｌ） 􀱋 Ｆ］ｘ ＋ （Λ 􀱋 Ｂ）ｕ （８） 如果系统的前 ｑ 个智能体是领航者，那么 Ｃ ＝ ｄｉａｇ（ｃ１ ，ｃ２ ，…，ｃｎ ），Λ＝ ｄｉａｇ（１，}…，１， ｑ ０}，…，０ ｎ－ｑ ）。 定理 ３ ［１９］ 要使系统（８） 能控，那么以下 ２ 个 条件必须同时成立。 １）［Ｆ Ｂ］是一个能控矩阵对； ２）（Ｃ－Ｌ）不存在前 ｑ 项都为零的左特征向量。 证明 定理 ３ 的证明过程与定理 ２ 相似。 ２）广播信号下简单异质多智能体网络系统的 模型与文献［２０］中相似，系统模型为 ｘ · ｉ ＝ ｃｉＦｘｉ ＋ Ｆ∑ Ｎ ｊ ＝ １ ｗｉｊ（ｘｊ － ｘｉ） ＋ Ｂｕ，ｉ ＝ １，２，…，ｎ （９） 式中：ｘｉ∈Ｒ ｄ ，ｃｉ∈Ｒ，Ｆ∈Ｒ ｄ×ｄ ，ｗｉｊ∈Ｒ，Ｂ∈Ｒ ｄ×ｍ ，ｕ∈Ｒ ｍ 。 ｃｉＦｘｉ 表示节点 ｉ 之间的内部动态关系。 由于系统（９） 中所有的智能体都接收相同的控制信号，所以称 ｕ 为 广播控制信号。 定义 Ｘ ＝ ［ｘ Ｔ １ ｘ Ｔ ２ … ｘ Ｔ ｎ ］ Ｔ ∈Ｒ ｄｎ ， Ｕ＝［ｕ Ｔ １ ｕ Ｔ ２ … ｕ Ｔ ｎ ］ Ｔ∈Ｒ ｍｎ ，则系统（９）可以写成如 下形式： Ｘ · ＝ ［（Ｃ － Ｌ） 􀱋 Ｆ］Ｘ ＋ （Ｉｎ 􀱋 Ｂ）Ｕ （１０） 命题 ２ ［１９］ 如果系统（１０）是能控的，那么当且 仅当以下 ２ 个条件同时满足： １）［Ｆ Ｂ］是一个能控矩阵对； ２）矩阵（Ｃ－Ｌ）􀱋Ｆ 的所有特征值各不相同。 ２．２．２ 复杂异质多智能体网络系统的能控性 文献［２１］的复杂异质多智能体网络系统写成 ｘ · ｉ ＝ ∑ Ｎ ｊ ＝ １ ｗｉｊＦｉｊ（ｘｊ － ｘｉ） ＋ Ｂｉｕｉ，ｉ ＝ １，２，…，ｎ （１１） 式中：ｘｉ∈Ｒ ｄ ，ｗｉｊ∈Ｒ，Ｆｉｊ∈Ｒ ｄ×ｄ ，ｕｉ ∈Ｒ ｍ ，Ｂｉ ∈Ｒ ｄ×ｍ 。 将标量 ｗｉｊ与 Ｆｉｊ合并为一项，那么方程（１１）可以变 形为 ｘ · ｉ ＝ ∑ Ｎ ｊ ＝ １ Ｍｉｊ（ｘｊ － ｘｉ） ＋ Ｂｉｕｉ，ｉ ＝ １，２，…，ｎ （１２） 将方程（１２） 与方程（ １） 相比较，如果把方阵 Ｍｉｊ∈Ｒ ｄ×ｄ看作是拓扑图 Ｇ 的边权重，那么系统的邻 接矩阵为 Ｗ ＝ ０ Ｍ１２ … Ｍ１ｎ Ｍ２１ ０ … Ｍ２ｎ ︙ ︙ ︙ ︙ Ｍｎ１ Ｍｎ２ … ０ é ë ê ê ê ê êê ù û ú ú ú ú úú （１３） 系统对应的拉普拉斯矩阵为 Ｌ ＝ ∑ ｎ ｊ ＝ １ Ｍ１ｊ － Ｍ１２ … － Ｍ１ｎ － Ｍ２１ ∑ ｎ ｊ ＝ １ Ｍ２ｊ … － Ｍ２ｎ ︙ ︙ ︙ ︙ － Ｍｎ１ － Ｍｎ２ … ∑ ｎ ｊ ＝ １ Ｍｎｊ é ë ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú （１４） 注释 ３ 文献［１９］中，ｃｉ∈Ｒ 表示节点 ｉ 之间的 异质动态关系，文献［２１］中 Ｆｉｊ∈Ｒ ｄ×ｄ表示节点 ｉ 之 间的异质动态关系。 文献［２１］的异质多智能体网络 系统的能控性是非常复杂的，所以对于这样一个异质 网络系统，只得到了系统不能控的 ２ 个充分条件。 命题 ３ ［２１］ 如果方程（１１） 表示的加权矩阵图 是双向的，即 Ｍｉｋ ＝ Ｍｋｉ（∀ｉ，ｋ ＝ １，２，…，ｎ），并且矩 阵对的集合{ [Ｍｉｋ Ｂｉ] ｉ，ｋ ＝ １，２，…，ｎ} 是不能控 的，那么多智能体系统（１０）就是不能控的。 命题 ４ ［２１］ 如果文献［２１］ 中异质多智能体系 统的拓扑图 Ｇ 是结构不能控的，那么整个系统都是 不能控的。 ２．３ 一般多智能体网络系统的能控性 采用文献［２５］ 的一般动力学多智能体网络系 统模型： ｘ · ｉ ＝ Ａｘｉ ＋ Ｃｕｉ ＋ δｉＢｕｌ， ｉ ＝ １，２，…，ｎ （１５） 式中：ｘｉ∈Ｒ ｐ 代表智能体 ｉ 的状态，ｕｉ∈Ｒ ｓ 是智能体 ｉ 的耦合变量，ｕｌ∈Ｒ ｑ 是智能体 ｉ 的外部输入。 Ａ ＝ Ｒ ｐ×ｐ ，Ｂ∈Ｒ ｐ×ｑ ，Ｃ∈Ｒ ｐ×ｓ 。 ·７５０· 智 能 系 统 学 报 第 １０ 卷