第5期 董洁，等：多智能体网络系统的能控性代数条件 ·751. 每个智能体i的耦合变量4，∈R是由邻居间的 M=(U☒L)M=(U☒L)M⑧B)=(UM☒B 耦合扩散变量决定的。也就是说，系统的相对协议为 由于(L,M)是不能控的，并且U⑧L,是非奇 w=K∑(x-x) (16) jeN 异的，因此矩阵对(i,M)也是不能控的。考虑到 令x=col(x1,x2,…,xn),u=col(u1,42,…,m）, 的块对角结构，那么就一定会存在一个数s,1≤s≤ 则系统(15)可以写成矩阵形式： n,使与它相对应的矩阵对(A-入，CK,(UM),⑧B) x =Lx Mu (17) 是不能控的。用(M),表示矩阵M的第s行。因此， 式中：L=I⑧A-L⑧(CK),M=M☒B,M∈Rm。m 1)(UM),=0,也就是说(L,M)是不能控的： 是领航者的数目。 2)假如(U'M).≠0，那么(A-入CK,B)是不能 1,i= 控的。 Mi= (0,其他 因此矛盾，故结论成立，定理证明完毕。 定理4](i,M)是能控的，当且仅当以下2 注释4定理4的证明比较复杂，是一个新的 个条件同时成立： 证明方法，并且有一定的参考价值。 1)(L,M)是能控的： 3绝对协议下多智能体网络系统的能 2)对于矩阵L的每一个特征值入，矩阵对(A- ACK,B)都是可控的。 控性 证明（必要性）只证明矩阵(L,M)能控的必 在绝对协议4，=∑x,下，总结动力学多智能体 要条件，(A-λCK,B)能控的必要条件可以用相似的 jeN 方法来证明。假设(L,M)是不能控的，则存在非零 网络系统能控性的代数条件，并且提出了一些新的 向量x∈R"使得xL=入xP和x'M=0成立。令(0， 代数条件。 y)∈C×C是矩阵(A-入CK,B)的左特征向量，那么 31一阶同质多智能体网络系统的能控性 L☒(A-ACK)=L☒A-AL☒CK(18) 采用文献[26]的多智能体网络系统模型，它由 由xL=Ax,可得x'L/A=x,即L/入=In。所以式 广播信号控制： (18)可转化成1/A{L☒(A-ACK)}=1/入{L☒A- x=∑x+u,i=1,2,…,n (20) AL⑧CK}=I⑧A-L⑧CK=i。由引理2，(0，x⑧y) 式中：x:表示智能体i的状态，N:={ju,~;j≠}是 是的一个左特征向量，则有 节点：的邻居集，是控制输入。多智能体系统 (x☒y)"M=(xM)☒(y"B)=0(19) (20)的所有智能体都接受相同的控制信号，即，称 通过PBH判据可知，(L,M)是不可控的。 这个信号为广播信号。 (充分性)假设(L,M)是不能控的。由于L是 系统(20)可以写成如矩阵形式如下： 对称矩阵，总能找到一个正交矩阵U使L=UDU x =Ax bu (21) 成立]，即 式中：A∈R为多智能体系统的邻接矩阵，b= U'LU=diag(入1，入2，…，入n) [11…1]∈R。 式中：入：是矩阵L的特征值。引入2个矩阵L和 命题5]当且仅当以下2个条件同时成立， M: 系统(21)是能控的。 1)矩阵A的特征值各不相同： i=(U☒1)L(U☒I)= 2)A的特征向量都不与b正交。 (U☒I)(I,⑧A-L⑧CK)(U⑧I)= 注释5命题5证明过程见文献[13]。但是命 (U⑧I)Ln☒A)-(U☒I)(L☒CK)(U☒L)= 题5只要满足条件2)系统就是能控的，即条件2)是 ((U☒A)-(U'L☒CK)(U☒L,)= 系统能控的充要条件，条件1)是系统能控的必要 (U☒A)(U☒I)-(U'L⑧CK)(U⑧I,)= 条件。 (I.☒U'A)-(U'LU☒CK)= 定理5当且仅当矩阵A的所有特征向量都不 (In☒A)-(diag(A1,A2,…,入n)☒CK)= 正交于b,则系统(21)是能控的，并且如果系统 blockdiag(A-A,CK,…,A-入.CK) (21)是能控的，那么矩阵A的特征值各不相同。 和 证明假设向量”是矩阵A的特征向量，在每个智能体 ｉ 的耦合变量 ｕｉ∈Ｒ ｓ 是由邻居间的 耦合扩散变量决定的。 也就是说，系统的相对协议为 ｕｉ ＝ Ｋ∑ ｊ∈Ｎｉ （ｘｊ － ｘｉ） （１６） 令 ｘ ＝ ｃｏｌ（ｘ１ ，ｘ２ ，…，ｘｎ ），ｕ ＝ ｃｏｌ（ｕ１ ，ｕ２ ，…，ｕｍ ）， 则系统（１５）可以写成矩阵形式： ｘ · ＝ Ｌ ＾ ｘ ＋ Ｍ ＾ ｕ （１７） 式中：Ｌ ＾ ＝ Ｉｎ􀱋Ａ－Ｌ􀱋（ＣＫ），Ｍ ＾ ＝ Ｍ􀱋Ｂ，Ｍ∈Ｒ ｎ×ｍ 。 ｍ 是领航者的数目。 Ｍｉｌ ＝ １， ｉ ＝ ｖｌ ０， 其他 { 定理 ４ ［２５］ （Ｌ ＾ ，Ｍ ＾ ）是能控的，当且仅当以下 ２ 个条件同时成立： １）（Ｌ，Ｍ）是能控的； ２）对于矩阵 Ｌ 的每一个特征值 λ，矩阵对（Ａ－ λＣＫ，Ｂ）都是可控的。 证明 （必要性）只证明矩阵（Ｌ，Ｍ）能控的必 要条件，（Ａ－λＣＫ，Ｂ）能控的必要条件可以用相似的 方法来证明。 假设（Ｌ，Ｍ）是不能控的，则存在非零 向量 ｘ∈Ｒ ｎ 使得 ｘ ＴＬ ＝ λｘ Ｔ 和 ｘ ＴＭ ＝ ０ 成立。 令（θ， ｙ）∈Ｃ×Ｃ ｐ 是矩阵（Ａ－λＣＫ，Ｂ）的左特征向量，那么 Ｌ 􀱋 （Ａ － λＣＫ） ＝ Ｌ 􀱋 Ａ － λＬ 􀱋 ＣＫ （１８） 由 ｘ ＴＬ ＝ λｘ Ｔ ，可得 ｘ ＴＬ ／ λ ＝ ｘ Ｔ ，即 Ｌ ／ λ ＝ Ｉｎ 。 所以式 （１８）可转化成 １ ／ λ｛Ｌ􀱋（Ａ－λＣＫ）｝ ＝ １ ／ λ｛Ｌ􀱋Ａ－ λＬ􀱋ＣＫ｝ ＝ Ｉｎ􀱋Ａ－Ｌ􀱋ＣＫ＝Ｌ ＾ 。 由引理 ２，（θ，ｘ􀱋ｙ） 是 Ｌ ＾ 的一个左特征向量，则有 （ｘ 􀱋 ｙ） ＨＭ ＾ ＝ （ｘ ＴＭ） 􀱋 （ｙ Ｈ Ｂ） ＝ ０ （１９） 通过 ＰＢＨ 判据可知，（Ｌ ＾ ，Ｍ ＾ ）是不可控的。 （充分性）假设（Ｌ ＾ ，Ｍ ＾ ）是不能控的。 由于 Ｌ 是 对称矩阵，总能找到一个正交矩阵 Ｕ 使 Ｌ ＝ ＵＤＵ Ｔ 成立［３３］ ，即 Ｕ ＴＬＵ ＝ ｄｉａｇ（λ１ ，λ２ ，…，λｎ ） 式中：λｉ 是矩阵 Ｌ 的特征值。 引入 ２ 个矩阵 Ｌ ＾ 和 Ｍ ～ ： Ｌ ～ ＝ （Ｕ Ｔ 􀱋 Ｉｐ）Ｌ ＾ （Ｕ 􀱋 Ｉｐ） ＝ （Ｕ Ｔ 􀱋 Ｉｐ）（Ｉｐ 􀱋 Ａ － Ｌ 􀱋 ＣＫ）（Ｕ 􀱋 Ｉｐ） ＝ （（Ｕ Ｔ 􀱋Ｉｐ）（Ｉｎ 􀱋Ａ） － （Ｕ Ｔ 􀱋Ｉｐ）（Ｌ 􀱋ＣＫ））（Ｕ 􀱋Ｉｐ）＝ （（Ｕ Ｔ 􀱋 Ａ） － （Ｕ ＴＬ 􀱋 ＣＫ））（Ｕ 􀱋 Ｉｐ） ＝ （Ｕ Ｔ 􀱋 Ａ）（Ｕ 􀱋 Ｉｐ） － （Ｕ ＴＬ 􀱋 ＣＫ）（Ｕ 􀱋 Ｉｐ） ＝ （Ｉｎ 􀱋 Ｕ ＴＡ） － （Ｕ ＴＬＵ 􀱋 ＣＫ） ＝ （Ｉｎ 􀱋 Ａ） － （ｄｉａｇ（λ１ ，λ２ ，…，λｎ ） 􀱋 ＣＫ） ＝ ｂｌｏｃｋｄｉａｇ（Ａ － λ１ＣＫ，…，Ａ － λｎＣＫ） 和 Ｍ ～ ＝ （Ｕ Ｔ 􀱋Ｉｐ）Ｍ ＾ ＝ （Ｕ Ｔ 􀱋Ｉｐ）（Ｍ􀱋Ｂ）＝ （Ｕ ＴＭ） 􀱋Ｂ 由于（Ｌ ＾ ，Ｍ ＾ ） 是不能控的，并且 Ｕ Ｔ􀱋Ｉｐ 是非奇 异的，因此矩阵对（Ｌ ～ ，Ｍ ～ ）也是不能控的。 考虑到 Ｌ ～ 的块对角结构，那么就一定会存在一个数 ｓ，１≤ｓ≤ ｎ，使与它相对应的矩阵对（Ａ－λｓＣＫ，（Ｕ ＴＭ）ｓ􀱋Ｂ） 是不能控的。 用（Ｍ）ｓ 表示矩阵 Ｍ 的第 ｓ 行。 因此， １）（Ｕ ＴＭ）ｓ ＝ ０，也就是说（Ｌ，Ｍ）是不能控的； ２）假如（Ｕ ＴＭ）ｓ≠０，那么（Ａ－λｓＣＫ，Ｂ）是不能 控的。 因此矛盾，故结论成立，定理证明完毕。 注释 ４ 定理 ４ 的证明比较复杂，是一个新的 证明方法，并且有一定的参考价值。 ３ 绝对协议下多智能体网络系统的能 控性 在绝对协议 ｕｉ ＝∑ ｊ∈Ｎｉ ｘｊ 下，总结动力学多智能体 网络系统能控性的代数条件，并且提出了一些新的 代数条件。 ３．１ 一阶同质多智能体网络系统的能控性 采用文献［２６］的多智能体网络系统模型，它由 广播信号控制： ｘ · ｉ ＝ ∑ ｊ∈Ｎｉ ｘｊ ＋ ｕ，ｉ ＝ １，２，…，ｎ （２０） 式中：ｘｉ 表示智能体 ｉ 的状态，Ｎｉ ＝ ｛ｊ ｜ ｖｉ ～ ｖｊ；ｊ≠ｉ｝是 节点 ｖｉ 的邻居集，ｕ 是控制输入。 多智能体系统 （２０）的所有智能体都接受相同的控制信号，即 ｕ，称 这个信号为广播信号。 系统（２０）可以写成如矩阵形式如下： ｘ · ＝ Ａｘ ＋ ｂｕ （２１） 式中： Ａ∈Ｒ ｎ×ｎ 为 多 智 能 体 系 统 的 邻 接 矩 阵， ｂ ＝ ［１ １ … １］ Ｔ∈Ｒ ｎ 。 命题 ５ ［１３］ 当且仅当以下 ２ 个条件同时成立， 系统（２１）是能控的。 １）矩阵 Ａ 的特征值各不相同； ２）Ａ 的特征向量都不与 ｂ 正交。 注释 ５ 命题 ５ 证明过程见文献［１３］。 但是命 题 ５ 只要满足条件 ２）系统就是能控的，即条件 ２）是 系统能控的充要条件，条件 １） 是系统能控的必要 条件。 定理 ５ 当且仅当矩阵 Ａ 的所有特征向量都不 正交于 ｂ，则系统 （ ２１） 是能控的，并且如果系统 （２１）是能控的，那么矩阵 Ａ 的特征值各不相同。 证明 假设向量 ｖ 是矩阵 Ａ 的特征向量，在 第 ５ 期 董洁，等：多智能体网络系统的能控性代数条件 ·７５１·