·752 智能系统学报 第10卷 PBH判据的条件下，如果系统(21)是能控的，那么 式中：x:∈R,c:∈R,F∈R,B∈Rm,和W∈R"。 rank(入，I-A,b)=n成立。将PBH判据和对称的状 c,Fx:表示异质多智能体系统中节点i之间的动态 态矩阵结合起来，如果系统是不能控的，那么矩阵A 关系。如果输入u:=0,那么智能体i就是跟随者， 存在一个特征向量使得（入I-A,b)=0成立，则有 反之是领航者。 (入，I-A)p=0 令x=[xx…x]T∈R以及W= byT=0 […u]T∈Rm,则系统(23)可以写成 简化成 如下形式： (Ay=入：y x=[(C+A)☒F]x+(A☒B)u(24) (bv=0 式中：C=diag(c1,c2,…,cn),A∈R“是系统的邻接 因此，要使系统实现全控，A的所有特征向量不 矩阵。如果前g个智能体是领航者，那么A= 能与b正交，也就是说，如果矩阵A存在特征向量 diag(1,…,1,0,…,0)。 与b垂直，则系统(21)是不能控的。所以矩阵A的 n-g 定理6假设F是对称的，如果系统(24)是能 所有特征向量都不正交于b是系统(21)能控的充 控的，那么必须同时满足以下2个条件： 要条件。另一方面，A是一个实对称矩阵，因此存在 1)[FB]是一个能控矩阵对； 矩阵U使得A=UDU成立[别，U是A的特征向 2)矩阵(C+A)不存在前q个元素都是零元素 量，那么 的左特征向量。 [AI-A,b]=[A I-UDU,b]= 证明假设系统(24)是不能控的，根据PBH U[A,U-DU,Ub]= 判据，(C+A)⑧F就存在左特征向量v使得'(A☒ U[(AI-D)U,Ub] B)=0成立。根据引理2，矩阵(C+A)和矩阵F分 向量y,是特征值入：所对应的特征向量，即v=(", 别存在特征向量y和2使得P=⑧2和(1⑧ ”2,…,”)。由于U是非奇异矩阵，所以它不影响 )(I⑧B)≠0成立，那么 [(,1-D)Ub]的秩，只需考虑[（入，1-D)UU'b] (A)☒(B)≠0 (25) 是否满秩。将[(A,I-D)UUb]展开： 当且仅当以下2个条件同时满足时，式(25) 入：-入1 0 0… 0 成立。 0 入：-入， 0 0 1)A≠0，也就是说(C+A)不存在前g项都是 零元素的左特征向量： 0 0 0 0 2)B≠0，也就是说[FB]是一个能控矩阵对。 显然，定理6成立。 0 0 0 4结束语 b (-A) b 本文探究了多智能体网络系统的能控性问题， b (入：-A2)2 v,b 分别在相对协议和绝对协议下总结了多智能体网络 系统的部分模型和能控性的线性代数条件。相对协 b 0 b 议下，主要在Leader-Follower模型下利用已有的能 控性代数条件对一阶系统和高阶系统的能控性代数 b :-入n)nvb 条件进行了总结和改进，并且还总结了一般多智能 (22) 体网络系统模型下能控性的充分必要条件。在绝对 从式(22)可以看出，要使系统(21)是能控的. 协议下，研究了广播信号下能控性的充分必要条件， 则矩阵A的所有特征值各不相同。 使能控性的充要条件得到了简化。此外，本文不仅 3.2高阶异质多智能体网络系统的能控性 讨论了同质多智能体网络系统的能控性，还讨论了 给定多智能体系统模型： 异质多智能体网络系统的能控性问题。由于自然现 x=c,Fx+F∑x+Bu,i=1,2,…,n(23) 象和实际应用中，不同生物群体之间动力学具有较 大的差别，异质多智能体网络系统的能控性问题是ＰＢＨ 判据的条件下，如果系统（２１）是能控的，那么 ｒａｎｋ（λｉ Ｉ－Ａ，ｂ）＝ ｎ 成立。 将 ＰＢＨ 判据和对称的状 态矩阵结合起来，如果系统是不能控的，那么矩阵 Ａ 存在一个特征向量使得（λｉ Ｉ－Ａ，ｂ）ｖ Ｔ ＝ ０ 成立，则有 （λｉ Ｉ － Ａ）ｖ Ｔ ＝ ０ ｂｖ Ｔ ＝ ０ { 简化成 Ａｖ ＝ λｉ ｖ ｂ Ｔ ｖ ＝ ０ { 因此，要使系统实现全控，Ａ 的所有特征向量不 能与 ｂ 正交，也就是说，如果矩阵 Ａ 存在特征向量 与 ｂ 垂直，则系统（２１）是不能控的。 所以矩阵 Ａ 的 所有特征向量都不正交于 ｂ 是系统（２１）能控的充 要条件。 另一方面，Ａ 是一个实对称矩阵，因此存在 矩阵 Ｕ 使得 Ａ ＝ ＵＤＵ Ｔ 成立［３３］ ，Ｕ 是 Ａ 的特征向 量，那么 λｉ [ Ｉ － Ａ，ｂ] ＝ λｉ Ｉ － ＵＤＵ Ｔ [ ，ｂ] ＝ Ｕ λｉＵ Ｔ － ＤＵ Ｔ ，Ｕ Ｔ [ ｂ] ＝ Ｕ λｉ ( Ｉ － Ｄ) Ｕ Ｔ ，Ｕ Ｔ [ ｂ] 向量ｖｉ 是特征值λｉ 所对应的特征向量，即ｖ ＝ （ｖ１， ｖ２，…，ｖｎ）。 由于 Ｕ 是非奇异矩阵， 所以它不影响 ［（λｉ Ｉ － Ｄ）Ｕ Ｔ Ｕ Ｔ ｂ］ 的秩，只需考虑［（λｉ Ｉ － Ｄ）Ｕ Ｔ Ｕ Ｔ ｂ］ 是否满秩。 将 λｉ ( Ｉ－Ｄ) Ｕ Ｔ Ｕ Ｔ [ ｂ] 展开： λｉ － λ１ ０ ０ … ０ ０ λｉ － λ２ ０ … ０ ︙ ︙ ︙ ︙ ０ ０ ０ … ０ ︙ ︙ ︙ ︙ ０ ０ ０ … λｉ － λｎ æ è ç ç ç ç ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ｖ Ｔ １ ｖ Ｔ ２ ︙ ｖ Ｔ ｉ ︙ ｖ Ｔ ｎ æ è ç ç ç ç ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê · ｖ Ｔ １ ｂ ｖ Ｔ ２ ｂ ︙ ｖ Ｔ ｉ ｂ ︙ ｖ Ｔ ｎ ｂ æ è ç ç ç ç ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ú ＝ （λｉ － λ１ ）１ （λｉ － λ２ ）２ ︙ ０ ︙ （λｉ － λｎ ） ｎ æ è ç ç ç ç ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ｖ Ｔ １ ｂ ｖ Ｔ ２ ｂ ︙ ｖ Ｔ ｉ ｂ ︙ ｖ Ｔ ｎ ｂ æ è ç ç ç ç ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ú é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê （２２） 从式（２２）可以看出，要使系统（２１）是能控的， 则矩阵 Ａ 的所有特征值各不相同。 ３．２ 高阶异质多智能体网络系统的能控性 给定多智能体系统模型： ｘ · ｉ ＝ ｃｉＦｘｉ ＋ Ｆ∑ ｊ∈Ｎｉ ｘｊ ＋ Ｂｕｉ，ｉ ＝ １，２，…，ｎ （２３） 式中：ｘｉ∈Ｒ ｄ ，ｃｉ∈Ｒ，Ｆ∈Ｒ ｄ×ｄ ，Ｂ∈Ｒ ｄ×ｍ ，和 ｕｉ∈Ｒ ｍ 。 ｃｉＦｘｉ 表示异质多智能体系统中节点 ｉ 之间的动态 关系。 如果输入 ｕｉ ＝ ０，那么智能体 ｉ 就是跟随者， 反之是领航者。 令 ｘ ＝ ［ｘ Ｔ １ ｘ Ｔ ２ … ｘ Ｔ ｎ ］ Ｔ ∈ Ｒ ｄ×ｎ 以 及 ｕ ＝ ［ｕ Ｔ １ ｕ Ｔ ２ … ｕ Ｔ ｎ ］ Ｔ∈Ｒ ｍ×ｎ ，则系统（ ２３） 可以写成 如下形式： ｘ · ＝ ［（Ｃ ＋ Ａ） 􀱋 Ｆ］ｘ ＋ （Λ 􀱋 Ｂ）ｕ （２４） 式中：Ｃ＝ ｄｉａｇ（ｃ１ ，ｃ２ ，…，ｃｎ ），Ａ∈Ｒ ｎ×ｎ是系统的邻接 矩阵。 如 果 前 ｑ 个 智 能 体 是 领 航 者， 那 么 Λ ＝ ｄｉａｇ（１，}…，１， ｑ ０}，…，０ ｎ－ｑ ）。 定理 ６ 假设 Ｆ 是对称的，如果系统（２４）是能 控的，那么必须同时满足以下 ２ 个条件： １）［Ｆ Ｂ］是一个能控矩阵对； ２）矩阵（Ｃ＋Ａ）不存在前 ｑ 个元素都是零元素 的左特征向量。 证明 假设系统（２４） 是不能控的，根据 ＰＢＨ 判据，（Ｃ＋Ａ）􀱋Ｆ 就存在左特征向量 ｖ 使得 ｖ Ｔ （Λ􀱋 Ｂ）＝ ０ 成立。 根据引理 ２，矩阵（Ｃ＋Ａ）和矩阵 Ｆ 分 别存在特征向量 ｖ１ 和 ｖ２ 使得 Ｐ ＝ ｖ１ 􀱋ｖ２ 和（ ｖ Ｔ １ 􀱋 ｖ Ｔ ２ ）（Ｉｎ􀱋Ｂ）≠０ 成立，那么 （ｖ Ｔ １Λ） 􀱋 （ｖ Ｔ ２Ｂ） ≠ ０ （２５） 当且仅当以下 ２ 个条件同时满足时，式（ ２５） 成立。 １）ｖ Ｔ １Λ≠０，也就是说（Ｃ＋Ａ）不存在前 ｑ 项都是 零元素的左特征向量； ２）ｖ Ｔ ２Ｂ≠０，也就是说［Ｆ Ｂ］是一个能控矩阵对。 显然，定理 ６ 成立。 ４ 结束语 本文探究了多智能体网络系统的能控性问题， 分别在相对协议和绝对协议下总结了多智能体网络 系统的部分模型和能控性的线性代数条件。 相对协 议下，主要在 Ｌｅａｄｅｒ⁃Ｆｏｌｌｏｗｅｒ 模型下利用已有的能 控性代数条件对一阶系统和高阶系统的能控性代数 条件进行了总结和改进，并且还总结了一般多智能 体网络系统模型下能控性的充分必要条件。 在绝对 协议下，研究了广播信号下能控性的充分必要条件， 使能控性的充要条件得到了简化。 此外，本文不仅 讨论了同质多智能体网络系统的能控性，还讨论了 异质多智能体网络系统的能控性问题。 由于自然现 象和实际应用中，不同生物群体之间动力学具有较 大的差别，异质多智能体网络系统的能控性问题是 ·７５２· 智 能 系 统 学 报 第 １０ 卷