10第I部分数值分析 第二章 解线性代数方程组的直接法 在自然科学与社会科学的研究中，常常需要求解线性代数方程组，例如：实验数 据的曲线、曲面的拟合，用差分法或有限元法解偏微分方程等都要用到线性代数方程 组的求解.由于从不同的问题导出的线代数方程组的系数矩阵不同，比如，矩阵阶数 的大小，矩阵中的非零元稠密情况等，系数矩阵可以粗略地分为低阶稠密矩阵和大型 稀疏矩阵，关于线性代数方程组的求解，主要分为两大类：直接法和迭代法.在理论 上，用直接法可以通过有限步的计算得到精确解，而迭代法是通过逐次迭代逼近来求 得近似解.实际上，由于舍人误差的影响.由直接法得到的解也不精确.因此，在某些 需要高精度解的问题中，常常把由直接法得到的解同时再运用迭代法迭代若干步；以 提高解的精度，一般地说，对于低价稠密的线性代数方程组以及大型带形方程组的求 解，采用直接法比较有效，而对于大型稀疏（非带形）方程组，则用迭代法求解比较有 利.当然，是采用直接法，还是采用迭代法，或是直接法与迭代法交替使用，要根据具 体情况确定. 本章主要讨论一些最基本的直接法，并在此基础上讨论它的变形情况，对于求解 线性代数方程组的迭代法，我们将在下一章中介绍. §2.1 Gauss消去法 考虑n阶线代数方程组 a1x1+a12x2+…十a1nxn=b1 a21x1十a2x2十…十a2mxn=b2 (2-1) … a1x1十a2x2十…十amxn=bn 采用矩阵和向量记号，我们可以把式(2-1)改写成 Ax=b (2-2) 其中10 分 数 第二章解线性代数方程组的直接法 在自然科学与社会科学的研究中，常常需要求解线性代数方程组，例如:实验数 据的曲线、曲面的拟合，用差分法或有限元法解偏微分方程等都要用到线性代数方程 组的求解.由于从不同的问题导出的线代数方程组的系数矩阵不同，比如，矩阵阶数 的大小，矩阵中的非零元稠密情况等，系数矩阵可以粗略地分为低阶稠密矩阵和大型 稀疏矩阵.关于线性代数方程组的求解，主要分为两大类 t直接法和迭代法.在理论 上，用直接法可以通过有限步的计算得到精确解，而迭代法是通过逐次迭代逼近来求 得近似解.实际上，由于舍人误差的影响.由直接法得到的解也不精确.因此，在某些 需要高精度解的问题中，常常把由直接法得到的解同时再运用迭代法迭代若干步豆以 提高解的精度，一般地说，对于低价稠密的线性代数方程组以及大型带形方程组的求 解，采用直接法比较有效，而对于大型稀疏(非带形)方程组，则用迭代法求解比较有 利.当然，是采用直接法，还是采用迭代法，或是直接法与迭代法交替使用，要根据具 体情况确定. 本章主要讨论一些最基本的直接法，并在此基础上讨论它的变形情况，对于求解 线性代数方程组的迭代法，我们将在下一章中介绍. § 2. 1 Gauss 考虑 n阶线代数方程组 all Xl +a12 X 2 =bl a 2l Xl 十 … 2 n =b2 ••• G时 n 2 十 … nn =bn 采用矩阵和向量记号，我们可以把式 - 1 写成 Ax = b 其中 (2ω 1) (2-2)