证明:∨G>0,3自然数K,使得>G,取N=2k,当n>N时, 1+++…+-|=1+ +…+->1+-+-+…+ =1++(+)+(-+ 5678 +-)+…+()k-1,1+……+ 111 >1+-+-+一+-+-+-+一+…+ 2448888 =1+1+1+1+1+…+1 2222 1+->->G 于是,1+++…+-是无穷大量.口 4.若x→+,证明:互+x+“+x →)+∞。 证明:由于xn>+∞,VM>o,3N,当n>N时,xn>2M x1+x+…+x 且 ≥0 工+x+“+工n=x+x2+…+x+xN++xN+2++x >xk+1+xx+2+…+x 2N 当n>2N时 M<M 于是 ≥2M、2M M>M 即 x1+x,+…+x →>+∞(n→∞) 5证明:若ⅵ∈N,有an>0,且iman=a,则imya2…an=a 证明:由于 -lim a=a,且an>0,则a≥0 (1)若a=0,由于lm4+a++a证明：   G 0， 自然数 K ，使得 2 K  G ，取 N＝2 K ，当 n＞N 时， 1 1 1 |1 | 2 3 n + + + + ＝ 1 1 1 1 2 3 n + + + + ＞ 1 1 1 1 2 3 2k + + + + ＝ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 3 4 5 6 7 8 2 1 2 k k − + + + + + + + + + + + + ＞ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 4 4 8 8 8 8 2 k k − + + + + + + + + + ＝ 2 3 1 3 4 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 k k − + + + + + + ＝ 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 + + + + + + ＝1 2 2 k k +   G 于是，1+ 1 1 1 2 3 n + + + 是无穷大量. □ 4．若 n x → + ，证明： 1 2 n x x x n + + + → + 。 证明：由于 n x → + ，  M o，N, 当 n＞N 时， 2 n x M  且 1 2 0 N x x x n + + +  . 1 2 n x x x n + + +  ＝ 1 2 1 2 N N N n x x x x x x n n + + + + + + + + + N N n 1 2 x x x n + + + + +  2 2 2 n N M n N M M n −   = −  当 n＞2N 时， 2N M M n   于是 1 2 n x x x n + + + 2 2 N M M M n  −   即 1 2 n x x x n + + + → + （n → ）. □ 5. 证明：若  n N ，有 0 n a  ，且 lim n n a a → = ，则 1 2 lim n n n a a a a → = . 证明：由于 lim n n a a → = ，且 0 n a  ，则 a  0 （1） 若 a = 0 ，由于 1 2 lim 0 n n a a a → n + + + =