z09a.nb 17 算符L(Dx,Dy)是DxDy的齐次式 这时,偏微分方程退化为 Ao DI+A1 D-D,+A2 DF-2D +.+An Dy u=0 取试探解为:y+αx)形式,利用 俨虮+ax)="φm(y+ax),D如+ax)=如(y+ax),DDd(y+ax)=am“m+(y+ax) 偏微分方程化为 (46a"+A1a"-1+A21-2+…+A)d"y+ax)=0 令n次多项式Anan+An1an-1+An-2a"-2+…+An等于0得辅助方程 Aoo+A1 a-I+A2a-2+-+An=0 解得根a1,a2,a3,…,an 1.若这些根各不相等,则原微分方程可写成 (Dx -a1 D,)(Dx-a2 D,).(Dx -an D,)o0+ax)=0 (D2-amD3)如+ax)=0=+amx)是偏微分方程的解 (x,y)=如y+a1x)+d(y+a2x)+…+dy+an 2.若有重根, 设有二重根a(2),则有以下形式 (D2-a2D)y+ax)=0这时可令二重根对应的解为2=do+ax)+x(y+ax) 代入可解得:a=a2)=n2=4y+a2)x)+xd(+a2x) 类似地,k重根对应的解为:a=y+04x)+x(y+cx)+…+x1dk-(+ax) 算符L(Dx,Dy)不是Dx,Dy的齐次式 这时会出现如下形式 令:l=c(x)y+ax)代入上式得(注意函数d自变量中的a等于上式的a) c(x)-Bc(x)=0=c(x)=eBx=对应的解l=exd(y+ax) 若出现如下形式 类似可求得解为: u=ex do(y+ax)+xearo,+ax) 例:求方程:-02n-221+2n+2On=0的通解 解:方程化为:(D-D2D,-2D+2D2+2D)u=0 因式分解:(Dx+D)(D-2Dy+2)u=0 解得:u=p1(y-x)+e-2xd2(y+2x) 思考:(19)式若取解的形式为:u=c(y)如y+ax,如何? 算符 L(Dx, Dy) 是 Dx, Dy 的齐次式 这时，偏微分方程退化为 A0 Dx n + A1 Dx n-1 Dy + A2 Dx n-2 Dy 2 + ⋯ + An Dy n u = 0 取试探解为：ϕ(y + α x) 形式，利用 Dx m ϕ(y + α x) = αm ϕ(m) (y + α x), Dy m ϕ(y + α x) = ϕ(m) (y + α x), Dx m Dy k ϕ(y + α x) = αm ϕ(m+k) (y + α x) 偏微分方程化为 A0 αn + A1 αn-1 + A2 αn-2 + ⋯ + An 令此代数式为0 ϕ(n) (y + α x) = 0 令 n 次多项式 An αn + An-1 αn-1 + An-2 αn-2 + ⋯ + An 等于 0 得辅助方程 A0 αn + A1 αn-1 + A2 αn-2 + ⋯ + An = 0 解得根 α1, α2, α3, ⋯, αn 1. 若这些根各不相等，则原微分方程可写成 (Dx - α1 Dy) (Dx - α2 Dy) ⋯(Dx - αn Dy) ϕ(y + α x) = 0 ⟹ (Dx - αm Dy) ϕ(y + α x) = 0 ⟹ ϕ(y + αm x) 是偏微分方程的解 u(x, y) = ϕ(y + α1 x) + ϕ(y + α2 x) + ⋯ + ϕ(y + αn x) 2. 若有重根， 设有二重根 α(2) ，则有以下形式 Dx - α(2) Dy 2 ϕ(y + α x) = 0 这时可令二重根对应的解为 u2 = ϕ0(y + α x) + x ϕ1(y + α x) 代入可解得 ：α = α(2) ⟹ u2 = ϕ0y + α(2) x + x ϕ1y + α(2) x 类似地，k 重根对应的解为 ：uk = ϕ0y + α(k) x + x ϕ1y + α(k) x + ⋯ + xk-1 ϕk-1y + α(k) x  算符 L(Dx, Dy) 不是 Dx, Dy 的齐次式 这时会出现如下形式： (Dx - α Dy - β) u = 0 (1.9) 令：u = c(x) ϕ(y + α x) 代入上式得（注意函数 ϕ 自变量中的 α 等于上式的 α） c′ (x) - β c(x) = 0 ⟹ c(x) =  β x ⟹ 对应的解 u = β x ϕ(y + α x) 若出现如下形式： (Dx - α Dy - β)2 u = 0 类似可求得解为： u = β x ϕ0(y + α x) + x β x ϕ1(y + α x) ☺ 例：求方程： ∂2 u ∂ x2 - ∂2 u ∂ x ∂ y - 2 ∂2 u ∂ y2 + 2 ∂ u ∂ x + 2 ∂ u ∂ y = 0 的通解 解：方程化为 ：Dx 2 - Dx Dy - 2 Dy 2 + 2 Dx + 2 Dy u = 0 因式分解 ：(Dx + Dy) (Dx - 2 Dy + 2) u = 0 解得：u = ϕ1(y - x) + -2 x ϕ2(y + 2 x) 思考：(1.9) 式若取解的形式为： u = c(y) ϕ(y + α x)，如何？ z09a.nb 17