=E(x,x…x)=∫-广(x,x…;x)(x,x…x2…d 按照傭倚密度函数8(x,x2…x)在0≤x,51,(=1)间中抛取N个子样 (x1,x12;…,xn),i=1,2,…N,则记录函数∫(x1x2…x)的平均值为 (x i12 它給出了Ⅰ的一个无佑计值,外可以作为的近似寶。 如果在S维体积内散叠堂积分/=「J(x,x2…x2…血时, 如果在积分域Ω内∫(x12x2…,x)的方差并不大,为了简化抽样,就 0,其它 蚊时记录函教为 f∫(x1,x2x,) =f(x12x2…x) g(r, 在S维体积Ω内抽取随机样本(x1x12;x)是客易的,抽得N个 样本之 ∑f( D- 就給出了的近似寶。 从前面介绍的减小方塾的第二个原则可以看出:在采用象卡 洛方法计多量积分时,如果能够将其中的某几量积分解析地求 出时,应当恳量地良用解析方法。这样龍减小方差,加遠收敛 为了在积吩的痛錐体积内的投点更加均訇,我们可以将积分 空间分成许多相同体积的子空间,在每个子空间中部投以相同数 目的隨机点,从而嫩少象卡洛积分误。这就是采用前面第2.4{ } . ∫ ∫ ∫ = ⋅⋅⋅ = ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ 1 0 1 0 1 2 1 2 1 2 * 1 0 1 2 * ( , , , ) ... ( , , , ) ( , , , ) s s s s I E f x x x f x x x g x x x dx dx dx 按照偏倚密度函数g(x1 , x2 ,⋅⋅⋅, xs )在0 ≤ ≤ 1 i x ,(i = 1,...,s)空间中抽取 N 个子样 (xi1 , xi2 ,⋅⋅⋅, xis ),i = 1,2,⋅⋅⋅, N ，则记录函数 , )的平均值为 * s ( , , ⋅⋅ x 1 2 f x x ⋅ ∑= = ⋅⋅⋅ N i N i i is f x x x N I 1 1 2 * ( , , , ) 1 . 它给出了I 的一个无偏估计值，并可以作为I 的近似值。 如果在 s 维体积Ω内做多重积分 时， 如果在积分域 ∫ ∫ Ω = ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ s s I f x x x dx dx dx 1 2 1 2 ... ( , , , ) Ω内 的方差并不大，为了简化抽样，就 取 , ,..., ) 1 2 s f (x x x    Ω ⋅⋅⋅ ∈ Ω ⋅⋅⋅ = 0,其它 1/ ,( , , , ) ( , , , ) 1 2 1 2 s s x x x g x x x 这时记录函数为 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 1 2 1 2 1 2 1 2 * s s s s f x x x g x x x f x x x f x x x = Ω ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ = . 在 s 维体积Ω内抽取随机样本(x , x , , x ) i1 i2 is ⋅⋅⋅ 是容易的，若抽得 N 个 样本之后， ∑= ⋅⋅⋅ Ω= N i N i i is f x x x N I 1 1 2 ( , , , ) . 就给出了I 的近似值。 从前面介绍的减小方差的第二个原则可以看出：在采用蒙特卡 洛方法计算多重积分时，如果能够将其中的某几重积分解析地求 出时，应当尽量地使用解析方法。这样便能减小方差，加速收敛。 为了使在积分的高维体积内的投点更加均匀，我们可以将积分 空间分成许多相同体积的子空间，在每个子空间中都投以相同数 目的随机点，从而减少蒙特卡洛积分误差。这就是采用前面第 2.4