得分评卷人 三、证明题（本大题共5小题，每题6分，共30分） 1,证明下列方程在指定点的邻域存在以工，！为自变量的隐函数，并求影 1-1=0, -1+如S-1+咖架1+到m到 OF OF ay 在上连续，并且| =-1+0=-1≠0.由隐函数存在定 理，在0.0)的领域荐在唯一的有偏导数的二元隐函数2=了G)使 得F(x,f(x,)=0,f(0,0)=-1. 对x+y-2-cosx2=0若关于y求偏导，有 1一+血e:+=01+红血+-喘=0 0z 1+xzsinzyz →=1-rysin ry- 2证明广收敛 证明：因为 品a操V乐-典品 =1=1<+o,A=号>1 所以由比较判别法m山收敛 潮宣六备 (1-x) 恩0-=a-d+ -坦方-9 所以由比较判别法6一血收敛 数学分析（山试题第6页（共8页）© µò< n!y²K (ŒK
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30 © ) 1.y²e§3½:3± x, y gCþÛ¼ê, ¿¦ ∂z ∂y : x + y − z − cos xyz = 0, : (0, 0, −1). y²: - F(x, y, z) = x + y − z − cos xyz, K F(0, 0, −1) = 0 + 0 + 1 − cos 0 = 1 − 1 = 0 , ∂F ∂x = 1 + yz sin xyz, ∂F ∂y = 1 + xz sin xyz, ∂F ∂z = −1 + xy sin xyz 3 R3 þëY,¿… ∂F ∂z   (0,0,−1) = −1 + 0 = −1 6= 0. dÛ¼ê3½ n§3 (0, 0) + U 3k êÛ¼ê z = f(x, y) ¦  F(x, y, f(x, y)) ≡ 0, f(0, 0) = −1. é x + y − z − cos xyz = 0 e'u y ¦ ,k 1 − ∂z ∂y + sin xyz(xz + xy ∂z ∂y ) = 0 ⇒ 1 + xz sin xyz + (xy sin xyz − 1)∂z ∂y = 0 ⇒ ∂z ∂y = 1 + xz sin xyz 1 − xy sin xyz . 2. y² R +∞ 1 1 x √ x+1 dx Âñ. y²: Ϗ lim x→+∞ x 3 2 1 x √ x + 1 = lim x→+∞ r x x + 1 = r lim x→+∞ x x + 1 = √ 1 = 1 < +∞, λ = 3 2 > 1. ¤±d'O{ R +∞ 1 1 x √ x+1 dx Âñ. 3. y² R 1 0 √ 1 1−x2 dx Âñ. y²: x = 1 ´ √ 1 1−x2 ×:. Ϗ limx→1− (1 − x) 1 2 1 √ 1 − x 2 = limx→1− (1 − x) 1 2 (1 − x) 1 2 (1 + x) 1 2 = limx→1− 1 (1 + x) 1 2 = 1 √ 2 = √ 2 2 < +∞, λ = 1 2 < 1. ¤±d'O{ R 1 0 √ 1 1−x2 dx Âñ. êÆ©Û(III)ÁK 1 6 £
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