z07anb 3 4.若(x)为连续函数,且(x)仅有一阶零点x,k=1,2,…,N,则 dlp(x)l= Et l'(xa) 证明:因为6函数仅在其宗量(自变量)为0时才不为0,故 o[y(x)=>ckd(r- 两边同时对x从x-E到x+E积分,取E→0+使得y(x)在积分区间[x-E,x+El仅有一个零点x dlp(r)ld dls(r)I 注意在一阶零点x邻域,连续函数y(x)≠0=y(x)≠0 b(dt,其中t=(x),x-E<E< o(odt= y(E)Wore c(x)当(x+e)>(x-8)即y(x)>0时 6()dt=--,当y(x1+E)<g(x1-ε)即φ(x)<0时 y(E)JcCrel y'(x川 ▲推论 d(x-b/a) 6(x-a)+O(x d(ax-b) d(x2-a2)= 6(sin x)=5 6(x-kn a Q5函数的常用极限表达式 sin-( u) e-r=lim4. 若 φ(x) 为连续函数，且 φ(x) 仅有一阶零点 xk, k = 1, 2, …, N，则 δ[φ(x)] =  k=1 N δ(x - xk) φ′ (xk) 证明：因为 δ 函数仅在其宗量 （自变量） 为 0 时才不为 0，故 δ[φ(x)] =  k=1 N ck δ(x - xk)， 两边同时对 x 从 xl - ε 到 xl + ε 积分，取 ε  0+ 使得 φ(x) 在积分区间 [ xl - ε, xl + ε] 仅有一个零点 xl 右 = xl-ε xl +ε  k=1 N ck δ(x - xk) x =  k=1 N ck xl-ε xl+ε δ(x - xk) x = cl 左 = xl-ε xl+ε δ[φ(x)] x = xl-ε xl+ε δ[φ(x)] φ(x) φ′ (x) , 注意在一阶零点 xl 邻域，连续函数 φ′ (xl) ≠ 0 ⟹ φ′ (x) ≠ 0 =  φ(xl-ε) φ(xl+ε) δ(t) t φ′ (x) = 1 φ′ (ξ)  φ(xl-ε) φ(xl +ε) δ(t) t , 其中 t = φ(x)，xl - ε < ξ < xl + ε = 1 φ′ (ξ) φ(xl-ε) φ(xl+ε) δ(t) t = 1 φ′ (xl) , 当 φ(xl + ε) > φ(xl - ε) 即 φ′(xl) > 0 时 1 φ′ (ξ) φ(xl -ε) φ(xl+ε) δ (t) t = - 1 φ′ (xl) , 当 φ(xl + ε) < φ(xl - ε) 即 φ′ (xl) < 0 时 = 1 φ′ (xl) ⟹ cl = 1 φ′ (xl) ⟹ δ[φ(x)] = k=1 N δ(x - xk) φ′ (xk) ▲ 推论 δ(a x - b) = δ(x - b/a) a , δx2 - a2 = δ(x - a) + δ(x - a) a , δ(sin x) =  k=-∞ ∞ δ(x - k π)  δ 函数的常用极限表达式 δ(x) = lim u∞ sin2(x u) π x2 u = lim n∞ n π -n2 x2 = lim ε0 ε πx2 + ε2 = lim ε0 n πn2 x2 + 1 z07a.nb 3