2z07a.nb 定义了一维δ函数,则带电为q,中心位于x=x0,长度趋于0的细小线段,其线电荷密度A(x)=qo(x-xol 起初,物理上定义6函数的目的仅在于简化对函数的微积分运算。直到发展了广义函数论后,才有严格的数学理论 因此,我们在涉及δ函数等式的证明方面,均通过所谓用“物理学家的证明方法”来论证,牺牲了数学上的严谨性。 “物理学家的证明方法”:对于涉及δ函数的证明,本节均通过判断下式是否成立来论证 fx)D1(x)dx=f(x)D2()dx→D1(x)=D2(x),其中f)为任意的连续函数 也就是说,这里说的证明,与其说是证明,不如说是一种理解、说明 若希望更严谨的数学论证,请参阅 Lighthill," An Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions Q6函数的性质 =~/0c-)dx=/o,对任意的连续函数f() 证明:利用6函数的定义 =f(x)6(x-xo)dx=limf(x)6(x-x0)dx,其中E→0+表示E>0且E→0 ff(x)-f(xo)18( dx t f(xo)d(x-xo)dx ff(x)-f(xo)]8(x-xo)dx ≤lmn|Ux)-f(x)bx-xo)dx,连续函数:g→0时,U(x)-fxo)<n ≤ 2.o(x-x0)=o(x0-x) 证明:利用涉及δ函数的“物理学家的证明方法”,设:左边为D1(x),右边为D2(x) ti= f(x)D x)dx=f(x)8(x-xo)dx=f(ro) *i= f()D2(x)dx=f()8(xo-x)dx f(x-1)o()d(-1)=f(x0) 左=右,故 =D2(x),即:6(x-x0)=0(xo-x) 3. g(x)oCr-xo)=g(xo)d(x-xo 明:类似地,设:左边为D1(x),右边为D2(x) f(x)D(r)dr= f(x)g(x)d(r-xo)dx=f(ro)gxo f(x)D2dx=|fx)g(xo)x-x)dx=/(o)8xo),得证 推论 ▲特别注意:f(x)ox)=g(x)o(x)不能导出f(x)=g(x),因为f(x)o(x)=f(0)(x), f(x)b(x)=g(x)ox)=f(0)=g(0)δ(x - x0) = 0 x - x0 ≠ 0 ∞ x - x0 = 0 ， -∞ ∞ δ(x - x0) x = 1 定义了一维 δ 函数，则带电为 q ，中心位于 x = x0，长度趋于 0 的细小线段，其线电荷密度 λ(x) = q δ(x - x0)。 起初，物理上定义 δ 函数的目的仅在于简化对函数的微积分运算。直到发展了广义函数论后，才有严格的数学理论。 因此，我们在涉及 δ 函数等式的证明方面，均通过所谓用“物理学家的证明方法”来论证，牺牲了数学上的严谨性。 ◼ “物理学家的证明方法”：对于涉及 δ 函数的证明，本节均通过判断下式是否成立来论证。 -∞ ∞ f (x) D1(x) x = -∞ ∞ f (x) D2(x) x ⟹ D1(x) = D2(x)， 其中 f (x) 为任意的连续函数 也就是说 ，这里说的证明 ，与其说是证明 ，不如说是一种理解 、说明。 若希望更严谨的数学论证 ，请参阅 Lighthill, "An Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions "  δ 函数的性质 1. I = ∫-∞ ∞ f (x) δ(x - x0) x = f (x0), 对任意的连续函数 f (x) 证明：利用 δ 函数的定义 I = -∞ ∞ f (x) δ(x - x0) x = lim ε0+ x0-ε x0+ε f (x) δ(x - x0) x, 其中 ε  0+ 表示 ε > 0 且 ε  0 = lim ε0+ x0-ε x0+ε [f (x) -f (x0)] δ(x - x0) x Δ + lim ε0+ x0-ε x0+ε f (x0) δ(x - x0) x = Δ + f (x0), Δ = lim ε0+ x0-ε x0+ε [f (x) - f (x0)] δ(x - x0) x ≤ lim ε0+ x0-ε x0+ε f (x) - f (x0) δ(x - x0) x， 连续函数 ：ε  0 时, f (x) - f (x0) < η ≤ lim ε0+ η x0-ε x0+ε δ(x - x0) x = lim ε0+ η = 0 2. δ(x - x0) = δ(x0 - x) 证明：利用涉及 δ 函数的 “物理学家的证明方法 ”，设：左边为 D1(x)，右边为 D2(x) 左 = -∞ ∞ f (x) D1(x) x =  -∞ ∞ f (x) δ(x - x0) x = f (x0) 右 = -∞ ∞ f (x) D2(x) x = -∞ ∞ f (x) δ(x0 - x) x 令x0-x = t ∞ -∞ f (x0 - t) δ(t) (-t) = f (x0) 左 = 右，故： D1(x) = D2(x)，即：δ(x - x0) = δ(x0 - x) 3. g(x) δ(x - x0) = g(x0) δ(x - x0) 证明：类似地，设：左边为 D1(x)，右边为 D2(x) -∞ ∞ f (x) D1(x) x = -∞ ∞ f (x) g(x) δ(x - x0) x = f (x0) g(x0) -∞ ∞ f (x) D2(x) x = -∞ ∞ f (x) g(x0) δ(x - x0) x = f (x0) g(x0), 得证。 ▲ 推论：x δ(x) = 0 ▲ 特别注意：f (x) δ(x) = g(x) δ(x) 不能导出 f (x) = g(x)，因为f (x) δ(x) = f (0) δ(x) ， f (x) δ(x) = g(x) δ(x) ⟹ f (0) = g(0) 2 z07a.nb