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.1478. 北京科技大学学报 第31卷 注意到一D是M矩阵，而且D稳定，因此存在对角 于是当m>r时有 矩阵S=diag(s1,…,S,s,+1,…,s+m)(其中s:> 9(入)=（λ+1）m-'|(λ+1)(M-D)-KM. 0,=1,2,,十m)使DSSD负定.利用这个 注意，在m>r时，如果入=一1是D的特征值，上 2 式仍成立，所以有： 对角矩阵S构造(18)式所示的函数V作为系统 推论4设m>r·在假设(a)、(b)和(c)下，如 (13)的Lyapunov函数，则由矩阵P1,P2,,P,的 果方程 正定性及④西(1)，④Φ2(2)，，重m(m)的性质知这 I(入+1)(M-D)-KMl=0 个函数V是正定函数，有无限大性质，且有无穷小 的根都有负实部，则Luie间接控制大系统(l3)是 上界.设D生SD的最大特征值为一（注意一K 绝对稳定的， 0),由以上推导得到 推论5。在假设(a)、(b)下，如果有 V 2‖pbO≤K时 pJ(t)(t） i=1,2,…,rj=1,2,…,m, la≤(s1…s,sr+1… r十m) 1 IeL≤M pò()(i) i=1,2,…,m,j=1,2,…,r, V+m(3 且矩阵 (81S8+1 ·S+m)WDU= - 稳定（式中K和M如前述），则Lurie间接控制大系 -月空a()lx2+空(e)ri(y= 统(13)是绝对稳定的. 推论6在假设(a)、(b)下，如果有 -月()空Ix+p2fi()(21) 2‖Pb)L=0, 式中，p=min{A,2,…,pm{.由于lim(t)= 興J(t)(t) +∞，所以存在T∈(t,+∞)使得t>T时(t)> =1,2,…,,j=1,2,…,m p.再从式(21)即得t>T时， ‖c)L=0, l≤-陶空x2+兰（对 p-J()() =1,2,…,m,j=1,2,…,r (22) 且矩阵 就是说，l(a3是负定的，所以Lurie间接控制大系 D K 统(13)是绝对稳定的.定理得证， D-M 由于D的特征多项式为 稳定（式中K和M如前述），则Lurie间接控制大系 (IN-DI-N- D 统(13)是绝对稳定的. 推论7设m≥r·在假设(a)、(b)下，若还有 N-D 一K 2‖Pbm(t)‖ 0 -M(+1)I i。,(t)(t) 如果≠一1，从 i=1,2,…,r,j=1,2,…,m, K(x+1)I oNI-D -K= ‖c)L=0, 0 -M(λ+1) pJ(t)(0) (λ+1)(M-D)-KMO =1,2,…,m,j=1,2,…,r, -M (λ+1)I 则如果D稳定，Lurie间接控制大系统(I3)是绝对 两边取行列式得 稳定的 (+1)9()=(λ+1)"|(x+1)(M-D)-KMl, 不难证明这些推论，所以略去，注意到－＾D 是 M 矩阵而且 ＾D 稳定因此存在对角 矩阵 S＝diag（ s1…srsr＋1…sr＋m ）（其中 si＞ 0i＝12…r＋ m）使 ＾D T S＋S＾D 2 负定．利用这个 对角矩阵 S 构造（18）式所示的函数 V 作为系统 （13）的 Lyapunov 函数则由矩阵 P1P2…Pr 的 正定性及Φ1（σ1）Φ2（σ2）…Φm （σm ）的性质知这 个函数 V 是正定函数有无限大性质且有无穷小 上界．设 ＾D T S＋S＾D 2 的最大特征值为－β（注意－β＜ 0）由以上推导得到 V · ｜（13）≤（s1 … sr sr＋1 … sr＋m） V · 1 V · r V · r＋1 V · r＋m （13） ≤ （ s1 … sr sr＋1 … sr＋m） W＾DU＝ U T ＾D T S＋S＾D 2 U≤－β‖U‖2＝ －β ∑ r i＝1 δi（ t）‖xi‖2＋ ∑ m i＝1 ρi（ t） f 2 i（σi） ＝ －βδ（ t） ∑ r i＝1 ‖xi‖2＋ρ∑ m i＝1 f 2 i（σi） （21） 式中ρ＝min｛ρ1ρ2…ρm｝．由于 limt→＋∞ δ（ t）＝ ＋∞所以存在 T∈（τ＋∞）使得 t＞ T 时δ（ t）＞ ρ．再从式（21）即得 t＞ T 时 V · ｜（13）≤－βρ ∑ r i＝1 ‖xi‖2＋ ∑ m i＝1 f 2 i（σi） （22） 就是说V · ｜（13）是负定的所以 Lurie 间接控制大系 统（13）是绝对稳定的．定理得证． 由于 ＾D 的特征多项式为 φ（λ）＝｜λI－＾D｜＝ λI－ D K M － I ＝ λI－ D － K － M （λ＋1） I 如果 λ≠－1从 I K O I （λ＋1） I O O I λI－ D － K － M （λ＋1） I ＝ （λ＋1）（λI－ D）－ KM O － M （λ＋1） I 两边取行列式得 （λ＋1） rφ（λ）＝（λ＋1） m｜（λ＋1）（λI－ D）－ KM｜ 于是当 m＞ r 时有 φ（λ）＝（λ＋1） m－ r｜（λ＋1）（λI－ D）－ KM｜． 注意在 m＞ r 时如果 λ＝－1是 ＾D 的特征值上 式仍成立．所以有： 推论4 设 m＞ r．在假设（a）、（b）和（c）下如 果方程 ｜（λ＋1）（λI－ D）－ KM｜＝0 的根都有负实部则 Lurie 间接控制大系统（13）是 绝对稳定的． 推论5 在假设（a）、（b）下如果有 limt→＋∞ 2‖Pibij（ t）‖ δi（ t）ρj（ t） ≤ Kij i＝12…rj＝12…m limt→＋∞ ‖cij（ t）‖ δj（ t）ρi（ t） ≤ Mij i＝12…mj＝12…r 且矩阵 ＾D＝ D K M － I 稳定（式中 K 和 M 如前述）则 Lurie 间接控制大系 统（13）是绝对稳定的． 推论6 在假设（a）、（b）下如果有 limt→＋∞ 2‖Pibij（ t）‖ δi（ t）ρj（ t） ＝0 i＝12…rj＝12…m limt→＋∞ ‖cij（ t）‖ δj（ t）ρi（ t） ＝0 i＝12…mj＝12…r 且矩阵 ＾D＝ D K M － I 稳定（式中 K 和 M 如前述）则 Lurie 间接控制大系 统（13）是绝对稳定的． 推论7 设 m≥ r．在假设（a）、（b）下若还有 limt→＋∞ 2‖Pibij（ t）‖ δi（ t）ρj（ t） ＝0 i＝12…rj＝12…m limt→＋∞ ‖cij（ t）‖ δj（ t）ρi（ t） ＝0 i＝12…mj＝12…r 则如果 D 稳定Lurie 间接控制大系统（13）是绝对 稳定的． 不难证明这些推论所以略去． ·1478· 北 京 科 技 大 学 学 报 第31卷