多个执行机构的系数无界Lurie系统和Lurie大系统的绝对稳定性.pdf_大学文库

D0I:10.13374/i.issnl00It03.2009.11.048 第31卷第11期北京科技大学学报 Vol.31 No.11 2009年11月 Journal of University of Science and Technology Beijing Now.2009 多个执行机构的系数无界Lurie系统和Lurie大系统的绝对稳定性廖福成李安贵孙凤彬北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要研究了多个执行机构的系数无界L间接控制系统零解的绝对稳定性.首先，把研究对象看作大系统，利用大系统分解技术，把系统分解为一些孤立子系统，通过子系统的Lyapunov函数构造出Lrie间接控制系统的Lyapunov函数，进而得到系统绝对稳定性的多个判别准则.这些判别准则既适用于多个执行机构的系数无界L间接控制系统，又适用于系数有界的这类系统，还适用于常系数的这类系统：同时，将有关结果成功推广应用于多个执行机构的系数无界Le间接控制大系统关键词大系统：Lurie控制系统；绝对稳定性；Lyapunov方法分类号TP273;0231 Absolute stability of Lurie systems and Lurie large-scale systems with multiple op- erators and unbounded coefficients LIAO Fu-cheng,LI An-gui,SUN Feng"bin School of Applied Science.University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083.China ABSTRACT The absolute stability of multi-functional Lurie indirect control systems with multiple operators and unbounded coeffi- cients was studied.The systems were regarded as large-scale systems.Based on the decomposition technique,the considered systems were partitioned into some isolated subsystems.By making use of the Lyapunov functions of subsystems,the Lyapunov function of Lurie indirect control systems was constructed,and some stability criteria of Lurie indirect control systems were contained.The re- sults were also extended into large"scale indirect control Lurie systems with multiple operators and unbounded coefficients. KEY WORDS large"scale system:Lurie control system:absolute stability:Lyapunov method 作为一类非常重要的非线性系统，Lurie控制系是非常有效的1].文献[17一18]把这种方法应用到统一直受到学术界的关注，从1944年由Lurie和了一个执行机构的系数无界Luie系统.本文把这 Postnikov提出Lurie控制系统开始，人们就对它的种方法应用到多个执行机构的系数无界Luie系绝对稳定性持续地进行着研究，并已得到了许多有统，给出若干个非常简便的绝对稳定性判别准则，价值的结果-].其中，有许多文献对Lurie控制系沿用文献[1一18]的符号规则，用入(A)表示矩阵A 统进行了推广，提出并研究了Lrie大系统9-o]、的特征值：对向量x=（x1,x2,…,xm)T与y=(y1, Lurie不确定系统和Lurie时滞系统等1-. y2,…,ym),用x≤y表示x≤y:(i=1,2,3,…, 然而，这些文献都只讨论了系数为有界函数时的 m):对向量x=(x1,x2,…,xm),用‖x‖表示x Lrie系统，廖福成曾提出了一种研究系数无界大系统零解的绝对稳定性方法；该方法仍然是的Euclid范数，即‖x‖= ：对矩阵A, =1 Lyapunov函数法，对研究系数无界的Lurie系统也 ‖A‖表示由向量的Euclid范数导出的矩阵范数，收稿日期：2009-02-03 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N。.10671011):北京科技大学治金研究基金资助项目(N。.2009-002) 作者简介：廖福成(1957一)，男，教授，博士生导师，博士，E-mail:fcliao(@sas.ustb-ed~cnm

多个执行机构的系数无界 Lurie 系统和 Lurie 大系统的绝对稳定性廖福成李安贵孙凤彬北京科技大学应用科学学院北京100083 摘要研究了多个执行机构的系数无界 Lurie 间接控制系统零解的绝对稳定性．首先把研究对象看作大系统利用大系统分解技术把系统分解为一些孤立子系统通过子系统的 Lyapunov 函数构造出 Lurie 间接控制系统的 Lyapunov 函数进而得到系统绝对稳定性的多个判别准则．这些判别准则既适用于多个执行机构的系数无界 Lurie 间接控制系统又适用于系数有界的这类系统还适用于常系数的这类系统．同时将有关结果成功推广应用于多个执行机构的系数无界 Lurie 间接控制大系统．关键词大系统；Lurie 控制系统；绝对稳定性；Lyapunov 方法分类号 TP273；O231 Absolute stability of Lurie systems and Lurie large-scale systems with multiple operators and unbounded coefficients LIA O Fu-chengLI A n-guiSUN Feng-bin School of Applied ScienceUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT T he absolute stability of mult-i functional Lurie indirect control systems with multiple operators and unbounded coefficients was studied．T he systems were regarded as large-scale systems．Based on the decomposition techniquethe considered systems were partitioned into some isolated subsystems．By making use of the Lyapunov functions of subsystemsthe Lyapunov function of Lurie indirect control systems was constructedand some stability criteria of Lurie indirect control systems were contained．T he results were also extended into large-scale indirect control Lurie systems with multiple operators and unbounded coefficients． KEY WORDS large-scale system；Lurie control system；absolute stability；Lyapunov method 收稿日期：2009－02－03 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No．10671011）；北京科技大学冶金研究基金资助项目（No．2009－002）作者简介：廖福成（1957－）男教授博士生导师博士E-mail：fcliao＠sas．ustb．edu．cn 作为一类非常重要的非线性系统Lurie 控制系统一直受到学术界的关注．从1944年由 Lurie 和 Postnikov 提出 Lurie 控制系统开始人们就对它的绝对稳定性持续地进行着研究并已得到了许多有价值的结果［1－8］．其中有许多文献对 Lurie 控制系统进行了推广提出并研究了 Lurie 大系统［9－10］、 Lurie 不确定系统［11－13］和 Lurie 时滞系统等［14－15］．然而这些文献都只讨论了系数为有界函数时的 Lurie 系统．廖福成曾提出了一种研究系数无界大系统零解的绝对稳定性方法；该方法仍然是 Lyapunov函数法对研究系数无界的 Lurie 系统也是非常有效的［16］．文献［17－18］把这种方法应用到了一个执行机构的系数无界 Lurie 系统．本文把这种方法应用到多个执行机构的系数无界 Lurie 系统给出若干个非常简便的绝对稳定性判别准则．沿用文献［16－18］的符号规则用 λ（ A）表示矩阵 A 的特征值；对向量 x＝（ x1x2…xm） T 与 y＝（ y1 y2…ym） T用 x≤ y 表示 xi≤ yi （ i＝123… m）；对向量 x＝（ x1x2…xm ） T用‖ x‖表示 x 的 Euclid 范数即‖ x‖＝ ∑ n i＝1 x 2 i ；对矩阵 A ‖ A‖表示由向量的 Euclid 范数导出的矩阵范数第31卷第11期 2009年 11月北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．31No．11 Nov．2009 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2009．11．048

第11期摩福成：多个执行机构的系数无界Luie系统和Lurie大系统的绝对稳定性 ,1473 即‖A‖=巴码，‖AxI,易证‖A‖= 6:=-Pf:(),=1,2,…,m (3) N入r(ATA) 对孤立子系统(2)，作Lyapunov函数 1主要定理及其证明 Vo=x'Px (4) 由于P正定对称，所以Vo是R”中的正定二次型. 考虑具有多个执行机构的Lrie间接控制系统5 注意V0还有无穷小上界和无限大性质，另外还有 iolg=x[AT(t)P+PA(t)]x≤-a(t)‖xI2, x=A(t)x十2b(t)f(g) =1 =1,2,,m 由于lim(t)=十o,所以存在t1>t使得t≥h ai=c(t)x-0(t)fi() 时有(t)>l,从而t≥t1时有 (1) vol2≤-‖x‖2，式中，x∈R;b:(t)∈R;c:(t)∈R"(i=1,2,, 所以孤立子系统（②）的零解是全局渐近稳定的 m);A(t)是nXn矩阵函数；在(t,十o)上连续，这对(3)中的第i(=1,2,…,m)个孤立子系统，里(R或=-∞；f()(i=1,2,…,m)为连续作Lyapunov函数函数，满足f:(0)=0、:≠0时f:(:)>0;(t)≥ >0(i=1,2,…,m) =()=(oa (5) 士∞ 附注1本文假设。f(o)do=+∞(=1，由于f:(:)的性质，V:亦是正定的，而且，从对f: 的假设知V:有无穷小上界和无限大性质.由于 2,m),于是函数重()=0f()dc满足：① 重，(0)=0：②≠0时④()>0：③1m重(o)= lg=f( 十°，即Φ（σ）是正定函数，有无限大性质，且有无 -(t)f()≤-Pfi(), 穷小上界[5,1] 同样，从f()的性质，V:(3是负定的.所以(3)中附注2在以上假设下，系统(1)只有一个平衡点(x…m)T=0. 的每个孤立子系统的零解也是全局渐近稳定的· (2)求V:(=0,1,…,m)关于系统(1)的轨线如果对任何满足上述条件的f:(:)(=1,2, 的全导数并估计其大小. …,m),系统(1)的零解都是全局渐近稳定的，则称系统(1)是绝对稳定的， Vola)=x"[AT()P+PA(t)]x+ 假设I设存在正定对称常数矩阵P,使得 X[AT()P+PA()]-6(t)0(Ht∈(t,十oo),设limò(t)= 十∞； -ox+2空1m(oI1x= 假设Ⅱ 2b(≤KJ8080 ‖c()L≤ ()xlI-()llx+ (t)(t) M:. 式中，K:和M:(=1,2,…,m)为常数会胎a≤ 注意：假设I体现了系数无界的特点；假设Ⅱ相 (c)lxl-J()lx‖+ 当于说，关联项比主对角线上的“元素”要小. 定理1在假设I,假设Ⅱ下，如果之KM< K:(ol()] (6) =1 1成立，则Lurie间接控制系统(l)是绝对稳定的，对V:(=1,2,,m),有证明(l)构造孤立子系统的Lyapunov函数. 先考虑孤立子系统 ,lw=fi品l = x=A(t)x (2) f()[c(t)x-(t)f:()]≤ 和 ‖c(t)lf()l‖x‖-(t)lf(o)l2≤

即 ‖ A ‖ ＝ max ‖ x‖＝1 ‖ Ax ‖易证 ‖ A ‖ ＝ λmax（ A T A）． 1 主要定理及其证明考虑具有多个执行机构的 Lurie 间接控制系统［5－6］ x ·＝ A（ t） x＋∑ m j＝1 bj（ t） f j（σj） σ · i ＝ c T i （ t） x－ρi（ t） f i（σi） i＝12…m （1）式中x∈R n；bi（ t）∈R n；ci（ t）∈R n （ i＝12… m）；A（ t）是 n×n 矩阵函数；在（τ＋∞）上连续这里 τ∈R 或 τ＝－∞；f i（σi）（ i＝12…m）为连续函数满足 f i（0）＝0、σi≠0时 σif i（σi）＞0；ρi（ t）≥ ρi＞0（ i＝12…m）．附注1 本文假设∫ ±∞ 0 f i（σ）dσ＝＋∞（ i＝1 2…m）于是函数 Φi（σ）＝∫ σ 0 f i（σ）dσ满足：① Φi（0）＝0；② σ≠0时 Φi（σ）＞0；③ lim ｜σ｜→＋∞ Φi（σ）＝＋∞．即 Φi（σ）是正定函数有无限大性质且有无穷小上界［519］．附注2 在以上假设下系统（1）只有一个平衡点（ x T σ1 … σm） T＝0．如果对任何满足上述条件的 f i （σi）（ i＝12 …m）系统（1）的零解都是全局渐近稳定的则称系统（1）是绝对稳定的．假设Ⅰ 设存在正定对称常数矩阵 P使得 λ［ A T （ t） P＋PA（ t）］≤－δ（ t）＜0．式中δ（ t）＞0（∀t ∈（τ＋∞））设 limt→＋∞ δ（ t）＝＋∞；假设 Ⅱ 2‖Pbi（ t）‖ δ（ t）ρi（ t） ≤ Ki ‖ci（ t）‖ δ（ t）ρi（ t） ≤ Mi．式中Ki 和 Mi（ i＝12…m）为常数．注意：假设Ⅰ体现了系数无界的特点；假设Ⅱ相当于说关联项比主对角线上的“元素”要小．定理1 在假设Ⅰ、假设Ⅱ下如果 ∑ m i＝1 KiMi＜ 1成立则 Lurie 间接控制系统（1）是绝对稳定的．证明（1）构造孤立子系统的 Lyapunov 函数．先考虑孤立子系统 x · ＝ A（ t） x （2）和 σ · i＝－ρif i（σi）i＝12…m （3）对孤立子系统（2）作 Lyapunov 函数 V0＝x T Px （4）由于 P 正定对称所以 V0 是 R n 中的正定二次型．注意 V0 还有无穷小上界和无限大性质．另外还有 V · 0｜（2）＝x T ［ A T （ t） P＋PA（ t）］ x≤－δ（ t）‖x‖2 由于 limt→＋∞ δ（ t）＝＋∞所以存在 t1＞τ使得 t≥ t1 时有 δ（ t）＞1从而 t≥t1 时有 V · 0｜（2）≤－‖x‖2 所以孤立子系统（2）的零解是全局渐近稳定的．对（3）中的第 i（ i＝12…m）个孤立子系统作 Lyapunov 函数 V i＝Φi（σi）＝∫ σi 0 f i（σ）dσ （5）由于 f i（σi）的性质V i 亦是正定的．而且从对 f i 的假设知 Vi 有无穷小上界和无限大性质．由于 V · i｜（3）＝ f i（σi） dσi d t （3）＝－ρi（ t） f 2 i（σi）≤－ρif 2 i（σi）同样从 f i（σi）的性质V · i｜（3）是负定的．所以（3）中的每个孤立子系统的零解也是全局渐近稳定的．（2）求 V i（ i＝01…m）关于系统（1）的轨线的全导数并估计其大小． V · 0｜（1）＝x T ［ A T （ t） P＋PA（ t）］ x＋ 2∑ m i＝1 x T Pbi（ t） f i（σi）≤ －δ（ t）‖x‖2＋2∑ m i＝1 ‖Pbi（ t）‖‖xi‖｜fi（σi）｜＝ δ（ t）‖x‖ － δ（ t）‖x‖＋ ∑ m i＝1 2‖Pb（ t）‖ δ（ t）·ρi（ t） ρi（ t）｜f i（σi）｜ ≤ δ（ t）‖x‖ － δ（ t）‖x‖＋ ∑ m i＝1 Ki ρi（ t）｜f i（σi）｜（6）对 V i（ i＝12…m）有 V · i｜（1）＝ f i（σi） dσi d t （1）＝ f i（σi）［ c T i （ t） x－ρi（ t） f i（σi）］≤ ‖ci（ t）‖｜f i（σi）｜‖x‖－ρi（ t）｜f i（σi）｜2≤ 第11期廖福成：多个执行机构的系数无界 Lurie 系统和 Lurie 大系统的绝对稳定性 ·1473·

‖ci（ t）‖ δ（ t）｜fi（σi）｜ δ（ t）‖x‖－ρi（ t）｜fi（σi）｜2＝ ρi（ t）｜f i（σi）｜ ‖ci（ t）‖ δ（ t）ρi（ t） δ（ t）‖x‖－ ρi（ t）｜f i（σi）｜ ≤ ρi（ t）｜f i（σi）｜· ［ Mi δ（ t）‖x‖－ ρi（ t）｜f i（σi）｜］（7）综合式（6）和（7）得到 V · 0 V · 1 V · 2  V · m （1） ≤ δ（ t）‖ x‖ ρ1（ t）｜f1（σ1）｜ ρ2（ t）｜f2（σ2）｜ ⋱ ρm（ t）｜f m（σm）｜ D δ（ t）‖ x‖ ρ1（ t）｜f1（σ1）｜ ρ2（ t）｜f2（σ2）｜  ρm（ t）｜f m（σm）｜（8）其中 D＝－1 K1 K2 … Km M1 －1 0 … 0 M2 0 －1 … 0     Mm 0 0 … －1 （9）（3）矩阵 D 性质的讨论．容易求得矩阵 D 的特征多项式为｜λI－ D｜＝ λ＋1 － K1 － K2 … － Km － M1 λ＋1 0 … 0 － M2 0 λ＋1 … 0     － Mm 0 0 … λ＋1 ＝（λ＋1） 2－ ∑ m i＝1 KiMi （λ＋1） m－1＝ λ2＋2λ＋ 1－ ∑ m i＝1 KiMi （λ＋1） m－1 由 Routh-Hurwitz 定理［5］知D 稳定的充分必要条件是 ∑ m i＝1 KiMi＜1．（4）从子系统的 Lyapunov 函数构造原系统的 Lyapunov 函数并证明定理．因为 ∑ m i＝1 KiMi ＜1所以 D 是稳定的．由于－ D 是 M 矩阵［520］由 M 矩阵的性质知存在对角矩阵 S＝diag（ s0s1…sm）（其中 si＞0i＝012 3…m）使 D T S＋SD 2 负定［20］．设 D T S＋SD 2 的最大特征值为－β（注意－β＜0）．令 V ＝ ∑ m i＝0 siV i＝（ s0 s1 … sm） V0 V1  V m 则由二次型的性质及 Φi（σi）的性质V 是 R n＋m中的正定函数有无限大性质且有无穷小上界．把 V 作为系统（1）的 Lyapunov 函数则当 t≥t1 时有 V · ｜（1）＝（ s0 s1 … sm） V · 0 V · 1  V · m （1） ≤（ s0 s1 … sm）· δ（ t）‖x‖ ρ1（ t）｜f1（σ1）｜ ⋱ ρm（ t）｜f m（σm）｜ D δ（ t）‖x‖ ρ1（ t）｜f1（σ1）｜  ρm（ t）｜f m（σm）｜ ≤ ·1474· 北京科技大学学报第31卷

（ δ（ t）‖x‖ ρ1（ t）｜f1（σ1）｜ … ρm（ t）｜f m（σm）｜） D T S＋SD 2 δ（ t）‖x‖ ρ1（ t）｜f1（σ1）｜  ρm（ t）｜f m（σm）｜ ≤ －β（ δ（ t）‖x‖ ρ1（ t）｜f1（σ1）｜ … ρm（ t）｜f m（σm）｜） δ（ t）‖x‖ ρ1（ t）｜f1（σ1）｜  ρm（ t）｜f m（σm）｜＝－βδ（ t）‖x‖2＋ ∑ m i＝1 ρm（ t） f 2 i（σi）（10）由于这时还有 δ（ t）＞1从而有 V · ｜（1）≤－β ‖x‖2＋ ∑ m i＝1 ρm f 2 i（σi）（11）这表明对于所有满足条件的 f i （σi）（ i＝12… m）V · ｜（1）是负定的．由 Lyapunov 关于全局渐近稳定的定理［6］知系统（1）绝对稳定．定理1得证．附注3 从定理1的证明可以看出假设Ⅰ中的 limt→＋∞ δ（ t）＝＋∞可以减弱为 δ（ t）≥ a＞0（∀t∈ （τ＋∞））其中 a 为常数．定理1的假设Ⅱ还可以减弱到如下的假设Ⅱ′．假设Ⅱ′ limt→＋∞ 2‖Pbi（ t）‖ δ（ t）ρi（ t）＝ Ki limt→＋∞ ‖ci（ t）‖ δ（ t）ρi（ t）＝ Mi．式中Ki 和 Mi（ i＝12…m）为常数．推论1 在假设Ⅰ、假设Ⅱ′下如果 ∑ m i＝1 KiMi＜1 成立则 Lurie 间接控制大系统（1）是绝对稳定的．证明如果只把 KiMi（ i＝12…m）看作两组数从定理1的证明知∑ m i＝1 KiMi＜1是（9）式中的矩阵 D 稳定的充分必要条件．所以在这里的条件成立时 D 稳定．从而若ε＞0足够小矩阵 D＝－1 K1＋ε K2＋ε … Km＋ε M1＋ε －1 0 … 0 M2＋ε 0 －1 … 0     Mm＋ε 0 0 … －1 也稳定．取定这样的 ε由假设Ⅱ′知存在充分大的 T（ T＞t1）使得 t＞ T 时 2‖Pbi（ t）‖ δ（ t）ρi（ t） ≤ Ki＋ε ‖ci（ t）‖ δ（ t）ρi（ t） ≤ Mi＋ε i＝12…m．重复定理1的（6）（7）式的推导可得到类似（8）式的不等式即 t＞ T 时 V · 0 V · 1 V · 2  V · m （1） ≤ δ（ t）‖ x‖ ρ1（ t）｜f1（σ1）｜ ρ2（ t）｜f2（σ2）｜ ⋱ ρm（ t）｜f m（σm）｜ D δ（ t）‖ x‖ ρ1（ t）｜f1（σ1）｜ ρ2（ t）｜f2（σ2）｜  ρm（ t）｜f m（σm）｜由于现在 D 稳定于是与定理1类似可知大系统（1）绝对稳定．推论1证毕．推论2 在假设Ⅰ下如果 limt→＋∞ ‖bi（ t）‖ δ（ t）ρi（ t）＝0i＝12…m ‖ci（ t）‖ δ（ t）ρi（ t） ≤ Mi（有界）i＝12…m 或 limt→＋∞ ‖ci（ t）‖ δ（ t）ρi（ t）＝0i＝12…m 2‖Pbi（ t）‖ δ（ t）ρi（ t） ≤ Ki（有界）i＝12…m 成立则 Lurie 间接控制大系统（1）是绝对稳定的．第11期廖福成：多个执行机构的系数无界 Lurie 系统和 Lurie 大系统的绝对稳定性 ·1475·

证明因为 ∑ m i＝1 KiMi＜1从而推论1的条件满足．所以推论2成立．推论2证毕．考虑常系数 Lurie 间接控制系统［5－6］ x ·＝ Ax＋∑ m j＝1 bjf j（σj） σ · i ＝ c T i x－ρif i（σi） i＝12…m （12）这时系统的系数不是无界的但上面的定理仍然正确．叙述如下．假设Ⅲ 设存在正定对称常数矩阵 P使得 λ［ A T P＋PA］≤－δ＜0．式中δ＞0．假设Ⅳ 2‖Pbi‖ δρi ≤ Ki ‖ci‖ δρi ≤ Mi．类似于定理1可以证明：定理2 在假设Ⅲ、假设Ⅳ下如果 ∑ m i＝1 KiMi＜1 成立则常系数 Lurie 间接控制系统（12）是绝对稳定的．假设Ⅴ 2‖Pbi‖≤ Ki‖ci‖≤ Mi．还可以有如下证明．推论3 在假设Ⅲ、假设Ⅴ下如果 ∑ m i＝1 KiMi ρi ＜δ 成立则常系数 Lurie 间接控制系统（12）是绝对稳定的．证明由定理2系统（12）绝对稳定的充分条件是 ∑ m i＝1 KiMi＝ ∑ m i＝1 Ki δρi Mi δρi ＜1 就是 ∑ m i＝1 KiMi ρi ＜δ．推论3证毕． 2 多个执行机构的系数无界 Lurie 大系统的绝对稳定性考虑多个执行机构的系数无界 Lurie 大系统 x · i ＝ ∑ r j＝1 Aij（ t） xj ＋∑ m j＝1 bij（ t） f j（σj） σ · k ＝ ∑ r j＝1 c T kj（ t） xj －ρk（ t） f k（σk） i＝12…rk＝12…m （13）式中xi∈R n i （ i＝12…r）；bij （ t）∈R n i （ i＝1 2…r；j＝12…m）ckj （ t）∈R n i （ k＝12… m；j＝12…r）是向量函数在（τ＋∞）上连续 ∑ r i＝1 ni＝ n；Aij（ t）（ ij＝12…r）是 ni× nj 矩阵函数在（τ＋∞）上连续这里 τ∈R 或 τ＝－∞； ρk（ t）（ k＝12…m）是（τ＋∞）上的连续函数； f k（σk）（ k＝12…m）为连续函数满足 f k（0）＝ 0、σk≠0时 σk f k （σk）＞0；ρk （ t）≥ρk＞0（ k＝12 …m）．作如下假设：（a）存在适当维数的正定对称常数矩阵 P1 P2…Pr使得 λ［ A T ii（ t） Pi＋PiAii（ t）］≤－δi（ t）＜0 i＝12…r 式中δi （ t ）＞0（∀t ∈ （τ＋ ∞）记 δ（ t）＝ min｛δ1（ t）δ2（ t）…δr（ t）｝设 limt→＋∞ δ（ t）＝＋∞；（b） 2‖PiAij（ t）‖ δi（ t）·δj（ t） ≤ L ij＜＋∞ ∀t∈（τ＋∞）ij＝12…ri≠ j 式中L ij为常数；（c） 2‖Pibij（ t）‖ δi（ t）ρj（ t） ≤ Kij （ i＝12…rj＝12…m） ‖cij（ t）‖ δj（ t）ρi（ t） ≤ Mij （ i＝12…m；j＝12…r）．式中所有 Kij和 Mij都是常数．令 D＝－1 L12 … L1r L21 －1 … L2r    L r1 L r2 … －1 K＝ K11 K12 … K1m K21 K22 … K2m     Kr1 Kr2 … Krm M＝ M11 M12 … M1r M21 M22 … M2r    Mm1 Mm2 … Mmr ．定理3 在假设（a）、（b）和（c）下如果矩阵＾D＝ D K M － I 稳定则 Lurie 间接控制大系统（13）是绝对稳定的． ·1476· 北京科技大学学报第31卷

证明（1）构造孤立子系统的 Lyapunov 函数．先考虑孤立子系统 x · i＝ Aii（ t） xii＝12…r （14）和 σ · i＝－ρif i（σi）i＝12…m （15）对（14）中的每个孤立子系统作 Lyapunov 函数 V t＝x T i Pxi （16）对（15）中的每个孤立子系统作 Lyapunov 函数 V r＋ i＝Φi（σi）＝∫ σi 0 f i（σ）dσ （17）利用 Lyapunov 函数法与定理1一样可证由式（14）和（15）表示的所有孤立子系统都的零解都是全局渐近稳定的．仍然把由式（16）和（17）表示的子系统的 Lyapunov 函数的加权和作为大系统（13）的 Lyapunov 函数： V ＝ ∑ r＋m i＝1 siV i＝（ s1 … sr sr＋1 … sr＋m） V1  V r V r＋1  V r＋m （18）式中s1…srsr＋1…sr＋m是待定的正数．为了使求 V 的全导数的过程简单先求每个 V i 的全导数并估计其大小．当 i＝12…r 时 V · i｜（13）＝x T i ［ A T ii（ t） Pi＋PiAii（ t）］ xi＋ 2∑ r j＝1 j≠ i x T i PiAij（ t） xj＋2∑ m j＝1 x T i Pibij（ t） f j（σj）≤ －δi（ t）‖xi‖2＋2∑ r j＝1 j≠ i ‖PiAij（ t）‖‖xi‖· ‖xj‖＋2∑ m j＝1 ‖Pibij（ t）‖‖xi‖｜f j（σj）｜＝ δi（ t）‖xi‖ － δi（ t）‖xi‖＋ ∑ r j＝1 j≠i 2‖PiAij（t）‖ δi（t）·δj（t） δj（t）‖xj‖＋∑ m j＝1 2‖Pibij（t）‖ δi（t）ρj（t） · ρj（ t）｜f j（σj）｜ ≤ δi（ t）‖xi‖· － δi（ t）‖xi‖＋ ∑ r j＝1 j≠ i L ij δj（ t）‖xj‖＋ ∑ m j＝1 Kij ρj（ t）｜f j（σj）｜（19）而对 V r＋ ii＝12…m有 V · r＋ i｜（13）＝ f i（σi） dσi d t （13）＝ f i（σi） ∑ r j＝1 c T ij（ t） xj－ρi（ t） f i（σi） ≤ ∑ r j＝1 ‖cij（ t）‖‖xj‖｜f i（σi）｜－ρi（ t）｜f i（σi）｜2≤ ρi（t）｜fi（σi）｜ ∑ r j＝1 ‖cij（t）‖ δj（t）ρi（t） δj（t）‖xj‖－ ρi（ t）｜f i（σi）｜ ≤ ρi（ t）｜f i（σi）｜· ∑ r j＝1 Mij δj（ t）‖xj‖－ ρi（ t）｜f i（σi）｜（20）综合式（19）和（20）得到 V · 1  V · r V · r＋1  V · r＋m （13） ≤ W＾DU．其中 W＝ δ1（ t）‖x1‖ ⋱ δr（ t）‖xr‖ ρ1（ t）｜f1（σ1）｜ ⋱ ρm（ t）｜f m（σm）｜． U＝（ δ1（ t）‖x1‖ … δr（ t）‖xr‖ ρ1（ t）｜f1（σ1）｜ … ρm（ t）｜f m（σm）｜） T．第11期廖福成：多个执行机构的系数无界 Lurie 系统和 Lurie 大系统的绝对稳定性 ·1477·

.1478. 北京科技大学学报第31卷注意到一D是M矩阵，而且D稳定，因此存在对角于是当m>r时有矩阵S=diag(s1,…,S,s,+1,…,s+m)(其中s:> 9(入)=（λ+1）m-'|(λ+1)(M-D)-KM. 0,=1,2,,十m)使DSSD负定.利用这个注意，在m>r时，如果入=一1是D的特征值，上 2 式仍成立，所以有：对角矩阵S构造(18)式所示的函数V作为系统推论4设m>r·在假设(a)、(b)和(c)下，如 (13)的Lyapunov函数，则由矩阵P1,P2,,P,的果方程正定性及④西(1)，④Φ2(2)，，重m(m)的性质知这 I(入+1)(M-D)-KMl=0 个函数V是正定函数，有无限大性质，且有无穷小的根都有负实部，则Luie间接控制大系统(l3)是上界.设D生SD的最大特征值为一（注意一K 绝对稳定的， 0),由以上推导得到推论5。在假设(a)、(b)下，如果有 V 2‖pbO≤K时 pJ(t)(t） i=1,2,…,rj=1,2,…,m, la≤(s1…s,sr+1… r十m) 1 IeL≤M pò()(i) i=1,2,…,m,j=1,2,…,r, V+m(3 且矩阵 (81S8+1 ·S+m)WDU= - 稳定（式中K和M如前述），则Lurie间接控制大系 -月空a()lx2+空(e)ri(y= 统(13)是绝对稳定的. 推论6在假设(a)、(b)下，如果有 -月()空Ix+p2fi()(21) 2‖Pb)L=0, 式中，p=min{A,2,…,pm{.由于lim(t)= 興J(t)(t) +∞，所以存在T∈(t,+∞)使得t>T时(t)> =1,2,…,,j=1,2,…,m p.再从式(21)即得t>T时， ‖c)L=0, l≤-陶空x2+兰（对 p-J()() =1,2,…,m,j=1,2,…,r (22) 且矩阵就是说，l(a3是负定的，所以Lurie间接控制大系 D K 统(13)是绝对稳定的.定理得证， D-M 由于D的特征多项式为稳定（式中K和M如前述），则Lurie间接控制大系 (IN-DI-N- D 统(13)是绝对稳定的. 推论7设m≥r·在假设(a)、(b)下，若还有 N-D 一K 2‖Pbm(t)‖ 0 -M(+1)I i。,(t)(t) 如果≠一1，从 i=1,2,…,r,j=1,2,…,m, K(x+1)I oNI-D -K= ‖c)L=0, 0 -M(λ+1) pJ(t)(0) (λ+1)(M-D)-KMO =1,2,…,m,j=1,2,…,r, -M (λ+1)I 则如果D稳定，Lurie间接控制大系统(I3)是绝对两边取行列式得稳定的 (+1)9()=(λ+1)"|(x+1)(M-D)-KMl, 不难证明这些推论，所以略去

注意到－＾D 是 M 矩阵而且＾D 稳定因此存在对角矩阵 S＝diag（ s1…srsr＋1…sr＋m ）（其中 si＞ 0i＝12…r＋ m）使＾D T S＋S＾D 2 负定．利用这个对角矩阵 S 构造（18）式所示的函数 V 作为系统（13）的 Lyapunov 函数则由矩阵 P1P2…Pr 的正定性及Φ1（σ1）Φ2（σ2）…Φm （σm ）的性质知这个函数 V 是正定函数有无限大性质且有无穷小上界．设＾D T S＋S＾D 2 的最大特征值为－β（注意－β＜ 0）由以上推导得到 V · ｜（13）≤（s1 … sr sr＋1 … sr＋m） V · 1  V · r V · r＋1  V · r＋m （13） ≤ （ s1 … sr sr＋1 … sr＋m） W＾DU＝ U T ＾D T S＋S＾D 2 U≤－β‖U‖2＝－β ∑ r i＝1 δi（ t）‖xi‖2＋ ∑ m i＝1 ρi（ t） f 2 i（σi）＝－βδ（ t） ∑ r i＝1 ‖xi‖2＋ρ∑ m i＝1 f 2 i（σi）（21）式中ρ＝min｛ρ1ρ2…ρm｝．由于 limt→＋∞ δ（ t）＝＋∞所以存在 T∈（τ＋∞）使得 t＞ T 时δ（ t）＞ ρ．再从式（21）即得 t＞ T 时 V · ｜（13）≤－βρ ∑ r i＝1 ‖xi‖2＋ ∑ m i＝1 f 2 i（σi）（22）就是说V · ｜（13）是负定的所以 Lurie 间接控制大系统（13）是绝对稳定的．定理得证．由于＾D 的特征多项式为 φ（λ）＝｜λI－＾D｜＝ λI－ D K M － I ＝ λI－ D － K － M （λ＋1） I 如果 λ≠－1从 I K O I （λ＋1） I O O I λI－ D － K － M （λ＋1） I ＝（λ＋1）（λI－ D）－ KM O － M （λ＋1） I 两边取行列式得（λ＋1） rφ（λ）＝（λ＋1） m｜（λ＋1）（λI－ D）－ KM｜于是当 m＞ r 时有 φ（λ）＝（λ＋1） m－ r｜（λ＋1）（λI－ D）－ KM｜．注意在 m＞ r 时如果 λ＝－1是＾D 的特征值上式仍成立．所以有：推论4 设 m＞ r．在假设（a）、（b）和（c）下如果方程｜（λ＋1）（λI－ D）－ KM｜＝0 的根都有负实部则 Lurie 间接控制大系统（13）是绝对稳定的．推论5 在假设（a）、（b）下如果有 limt→＋∞ 2‖Pibij（ t）‖ δi（ t）ρj（ t） ≤ Kij i＝12…rj＝12…m limt→＋∞ ‖cij（ t）‖ δj（ t）ρi（ t） ≤ Mij i＝12…mj＝12…r 且矩阵＾D＝ D K M － I 稳定（式中 K 和 M 如前述）则 Lurie 间接控制大系统（13）是绝对稳定的．推论6 在假设（a）、（b）下如果有 limt→＋∞ 2‖Pibij（ t）‖ δi（ t）ρj（ t）＝0 i＝12…rj＝12…m limt→＋∞ ‖cij（ t）‖ δj（ t）ρi（ t）＝0 i＝12…mj＝12…r 且矩阵＾D＝ D K M － I 稳定（式中 K 和 M 如前述）则 Lurie 间接控制大系统（13）是绝对稳定的．推论7 设 m≥ r．在假设（a）、（b）下若还有 limt→＋∞ 2‖Pibij（ t）‖ δi（ t）ρj（ t）＝0 i＝12…rj＝12…m limt→＋∞ ‖cij（ t）‖ δj（ t）ρi（ t）＝0 i＝12…mj＝12…r 则如果 D 稳定Lurie 间接控制大系统（13）是绝对稳定的．不难证明这些推论所以略去． ·1478· 北京科技大学学报第31卷

第11期摩福成：多个执行机构的系数无界Lurie系统和Lurie大系统的绝对稳定性 .1479. [9]Guo J L.Liao F C.Absolute stability of Lurie indirect control 3结语 large scale systems.JUniv Sci Technol Beijing.2006.28(7): 本文研究了多个执行机构的系数无界Lurie间 704 接控制系统和Lurie间接控制大系统的绝对稳定 (郭俊伶，廖福成.Luic间接控制大系统的绝对稳定性.北京科技大学学报，2006,28(7)：704) 性，始终把系统看成大系统，利用大系统分解方法 [10]Guo J L.Liao F C.Wei HR.Robust absolute stability of inter- 把系统分成若干个孤立子系统，首先针对每个孤立 val large"scale Lurie indirect control systems//Proceedings of the 子系统构造Lyapunov函数，并求其全导数，再利用 2007 International Conferenceon Welet Analysis and Pattern M矩阵的性质，找到孤立子系统的Lyapunov函数 Recognition.Beijing.2007:18 一个适当的加权和作为整个系统的Lyapunov函数， [11]Wang T C.Absolute Stability for Lurie control systems with 通过要求其全导数负定，得到了使得这类系统的绝 time varying delay.Control Eng China.2006,13(3):215 (王天成.时变时滞Lie控制系统的绝对稳定性，控制工对稳定的若干个充分条件，本文的大部分结论由于程，2006,13(3)：215) 只需验证简单的不等式所以特别便于应用， [12]Peng DZ,Xu B G.Delay-dependent robust absolute stability for Lurie uncertain time-delay systems.Electr Mach Control. 参考文献 2003,7(4):322 [1]Aizerman M A.Gantmacher F R.Absolute Stability of Regula- (彭达洲，胥布工·Luie型不确定时滞系统的时滞相关鲁棒 tor Systems.San Francisco:Holden-Day,1964 绝对稳定性.电机与控制学报，2003,7(4)：322) [2]Lefschetz S.Stability of Nonlinear Control Systems.New [13]Gao J F,Su H Y,Ji X F,et al.New delay-dependent absolute York:Academic Press.1965 stability criteria for Lurie control systems.Acta Autom Sin. [3]Nian X H.Robust stability for Lurie control systems with several 2008,34(10):1275 stationary components.Acta Autom Sin.1998.24(4):563 [14]Lu R Q.Huang W J.Su H Y,et al.Robust Hoo control for a (年晓红·具有多个执行机构的Luic控制系统的鲁棒稳定性· class of uncertain Lurie singular systems with time-delays.Acta 自动化学报，1998,24(4：563) Autom Sin,2004,30(6):920 [4]Nian X H.Robust absolute stability for Lurie control systems (鲁仁全，黄文君，苏宏业，等.一类不确定Luie时滞奇异 with several independent stationary components.Control Theory 系统的鲁棒H∞控制.自动化学报，2004,30(6)：920) Appl,1999,16(1).43 [15]Nian X H.Fan X P.Robust stability for uncertain Lurie control (年晓红，具有多个独立执行机构的Luie控制系统的绝对稳 systems with time-delay.Control Theory Appl.2001.18(6): 定性.控制理论与应用，1999,16(1)：43) 925 [5]Qin Y X,Wang M Q.Wang L.Stability Theories and Applica- [16]Liao F C.The stability of a type of large"scale system with vari- tions.Beijing:Science Press,1981 able coefficients.Math Res Rev,1988.8(3):411 (秦元勋，王慕秋，王联.运动稳定性理论与应用.北京：科学 (廖福成.一类变系数复合系统解的稳定性.数学研究与评出版社，1981) 论，1988,8(3)411) [6]Xie H M.Theories and Applications of Absolute Stability.Bei- [17]Liao F C.Yao H C.Liu H P.Absolute stability of large-scale jing:Science Press.1986 Lurie indirect systems with unbounded coefficients.I Syst Sci (谢惠民.绝对稳定性理论及应用.北京：科学出版社，1986) 1nf,2005,3(2):303 [7]Arcak M.Teel A.Input-to-state stability for a class of Lurie sys- [18]Liao F C.Zhao L Y.Tang Y Y.et al.Absolute stability of gen- tems.Automatica.2002,38:1945 eral Lurie Indirect control large"scale systems.J Basic Sci Eng, [8]Gan Z X.Ge W G.Han J Q.Absolute stability of general Lurie 2006,14(4):579 indirect control systems with multiple nonlinearities.Acta A utom [19]Liao XX.Yu P.Absolute Stability of Nonlinear Control Sys- Sim,2001,27(5):710 tems.2nd Ed.Dordrecht:Springer,2008 (甘作新，葛渭高，韩京清.具有多个非线性项的一般Luie间 [20]Berman A,Plemmons R J.Nonnegative Matrices in the Mathe- 接系统的绝对稳定性.自动化学报，2001,27(5)：710) matical Sciences.New York:Academic Press,1979

3 结语本文研究了多个执行机构的系数无界 Lurie 间接控制系统和 Lurie 间接控制大系统的绝对稳定性．始终把系统看成大系统利用大系统分解方法把系统分成若干个孤立子系统．首先针对每个孤立子系统构造 Lyapunov 函数并求其全导数．再利用 M 矩阵的性质找到孤立子系统的 Lyapunov 函数一个适当的加权和作为整个系统的 Lyapunov 函数通过要求其全导数负定得到了使得这类系统的绝对稳定的若干个充分条件．本文的大部分结论由于只需验证简单的不等式所以特别便于应用．参考文献［1］ Aizerman M AGantmacher F R．Absolute Stability of Regulator Systems．San Francisco：Holden-Day1964 ［2］ Lefschetz S． Stability of Nonlinear Control Systems． New York：Academic Press1965 ［3］ Nian X H．Robust stability for Lurie control systems with several stationary components．Acta A utom Sin199824（4）：563 （年晓红．具有多个执行机构的 Lurie 控制系统的鲁棒稳定性．自动化学报199824（4）：563）［4］ Nian X H．Robust absolute stability for Lurie control systems with several independent stationary components．Control Theory Appl199916（1）：43 （年晓红．具有多个独立执行机构的 Lurie 控制系统的绝对稳定性．控制理论与应用199916（1）：43）［5］ Qin Y XWang M QWang L．Stability Theories and Applications．Beijing：Science Press1981 （秦元勋王慕秋王联．运动稳定性理论与应用．北京：科学出版社1981）［6］ Xie H M．Theories and Applications of Absolute Stability．Beijing：Science Press1986 （谢惠民．绝对稳定性理论及应用．北京：科学出版社1986）［7］ Arcak MTeel A．Input-to-state stability for a class of Lurie systems．A utomatica200238：1945 ［8］ Gan Z XGe W GHan J Q．Absolute stability of general Lurie indirect control systems with multiple nonlinearities．Acta A utom Sin200127（5）：710 （甘作新葛渭高韩京清．具有多个非线性项的一般 Lurie 间接系统的绝对稳定性．自动化学报200127（5）：710）［9］ Guo J LLiao F C．Absolute stability of Lurie indirect control large-scale systems．J Univ Sci Technol Beijing200628（7）： 704 （郭俊伶廖福成．Lurie 间接控制大系统的绝对稳定性．北京科技大学学报200628（7）：704）［10］ Guo J LLiao F CWei H R．Robust absolute stability of interval large-scale Lurie indirect control systems∥ Proceedings of the 2007International Conference on Wavelet A nalysis and Pattern Recognition．Beijing2007：18 ［11］ Wang T C．Absolute Stability for Lurie control systems with time-varying delay．Control Eng China200613（3）：215 （王天成．时变时滞 Lurie 控制系统的绝对稳定性．控制工程200613（3）：215）［12］ Peng D ZXu B G．Delay-dependent robust absolute stability for Lurie uncertain time-delay systems． Electr Mach Control 20037（4）：322 （彭达洲胥布工．Lurie 型不确定时滞系统的时滞相关鲁棒绝对稳定性．电机与控制学报20037（4）：322）［13］ Gao J FSu H YJi X Fet al．New delay-dependent absolute stability criteria for Lurie control systems． Acta A utom Sin 200834（10）：1275 ［14］ Lu R QHuang W JSu H Yet al．Robust H∞ control for a class of uncertain Lurie singular systems with time-delays．Acta A utom Sin200430（6）：920 （鲁仁全黄文君苏宏业等．一类不确定 Lurie 时滞奇异系统的鲁棒 H∞控制．自动化学报200430（6）：920）［15］ Nian X HFan X P．Robust stability for uncertain Lurie control systems with time-delay．Control Theory Appl200118（6）： 925 ［16］ Liao F C．The stability of a type of large-scale system with variable coefficients．Math Res Rev19888（3）：411 （廖福成．一类变系数复合系统解的稳定性．数学研究与评论19888（3）：411）［17］ Liao F CYao H CLiu H P．Absolute stability of large-scale Lurie indirect systems with unbounded coefficients．J Syst Sci Inf20053（2）：303 ［18］ Liao F CZhao L YTang Y Yet al．Absolute stability of general Lurie Indirect control large-scale systems．J Basic Sci Eng 200614（4）：579 ［19］ Liao X XYu P．Absolute Stability of Nonlinear Control Systems．2nd Ed．Dordrecht：Springer2008 ［20］ Berman APlemmons R J．Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences．New York：Academic Press1979 第11期廖福成：多个执行机构的系数无界 Lurie 系统和 Lurie 大系统的绝对稳定性 ·1479·