特征值法及其应用

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1995.01.007 第17卷第1期 北京科技大学学报 Vol.17 No.1 19952 Journal of University of Science and Technology Beijing Feb.1995 特征值法及其应用 赵国堂 任天贵 北京科技大学矿业研究所，北京100083 摘要通过对地下工程围岩变形曲线的分析，提出了特征值法，介绍了其在确定最优支护时间和围 岩变形形态分类中的应用，并用实例证明了该方法的可靠性和简单易行的特点。 关键词地下工程，围岩变形形态，最佳支护时间，特征值法 中图分类号T①313：TD322:TU822 Characteristic Value Method and Its Application Zhao Guotang Ren Tiangui Mining Research Institute,USTB,Beijing 100083.PRC ABSTRACT Based on analysis of rock deformation curves around underground opening, the characteristic value method is proposed.The application of this method in determining the optimal supporting time and in classification of deformation pattern is described. This method is reliable,simple and convenient confirmed by a case. KEY WORDS underground opening,rock deformation characteristics,optimal support time,characteristic value method 在深埋和软岩地下工程中，变形失稳已成为其主要的失稳形式·由于变形信息具有易 量测性和直观性，而且能记录地下工程自开挖以后渐趋稳定或失稳的过程及其瞬时特 性，从而在研究围岩变形规律及其机理等方面获得了广泛的应用.对变形信息的研究， 避开了纯理论研究的各种简化和假说，是地下工程稳定性分析的正确途径，本文从变形 曲线反映的变形形态分析人手，提出了特征值法、并根据特征值法对变形形态的控制程 度以及与围岩性态之间的关系，介绍了确定最佳支护时间和进行围岩变形形态分类的方 法和原理· 1特征值法的提出 变形量测得到如图1(a)所示的u-t曲线，回归后得到函数ft,a),对f进行1次到3次微 分，可以得到图中的5个点：“Mo、ux,P点、M点和A点，其中，u。是工程开挖时的围岩变 形，是工程开挖出现临空面时瞬时完成的，是围岩性质和围岩应力共同作用的反映；“是 1994-05-10收稿 第一作者男30岁博士后副研究员

第 17 卷 第 1期 北 京 科 技 大 学 学 报 1望巧 年 2 月 oJ unr a l o f U n ive sr iyt o f S d ne ec a n d Te hc n o ol g y Be ij i n g V d . 17 N 0 . 1 I功 . 1望巧 特征值法及其应用 赵 国堂 任 天 贵 北 京 科技大学矿 业 研究所 . 北京 1仪幻 8 3 摘要 通过 对地下工 程 围岩变形 曲线 的分析 , 提 出 了特征值法 , 介绍 了 其在确定最优支护时间和 围 岩变形形态分类 中的应用 , 并用 实例证明 了 该方法 的可 靠性 和 简单易行 的特点 . 关键词 地下工 程 , 围 岩变形形 态 , 最佳支护 时间 , 特征值法 中图分类号 T D 3 13 ; T D 32 2 : n J 82 2 C h a r a cte r i s t i e V a lue M e t ho d a dn I ts A P P l ica t i o n Z h a o 确 o ta n g M i n 一n g R e s e a r c h I n s t 一t u t e R en iT a n gU i U S T B , B e i j i n g l 0 0() 8 3 , P R C A B S T R A C T B a s e d o n a n a l y s i s o f r o e k d e fo rm a t i o n c u r v e s a r o u n d u n d e r g r o u n d o P e n i n g , t h e e h a r a e t e r i s t i c v a l u e m e t h o d 1 5 P r o P o s e d . T h e a P P li ca t i o n o f t h i s me t h o d i n d e t e r m j n i n g t h e o P t i am l s u P P o r t i n g t im e a n d i n c l a s s iif ca t i o n o f d e fo mr a t i o n P a t t e nr 1 5 d es e r ib e d . T h i s m e t h o d 1 5 r e li a b l e , s im P l e a n d e o n v e n i e n t e o n if mr e d b y a ca s e . K E Y W O R D S u n d e r g r o u n d o P e n i n g , r o c k d e fo r m a t i o n e h a r a c t e r i s t i cs , o P t i anr l s u P P o r t t i r n e . e h a r a c t e r i s t i e v a l u e r 比e t h o d 在 深埋和 软岩 地下 工程 中 , 变形 失 稳 已 成 为 其 主要 的 失稳 形 式 . 由于 变 形 信息 具有 易 量 测 性 和直 观 性 , 而 且 能 记 录 地 下 工 程 自开 挖 以 后 渐 趋 稳 定 或 失 稳 的 过 程 及 其 瞬 时 特 性 , 从而 在研 究 围岩 变 形 规律 及其 机 理 等方 面 获 得 了 广 泛 的 应 用 . 对变 形 信 息 的 研 究 , 避 开 了 纯理 论研 究 的各 种 简 化 和 假 说 , 是 地 下 工 程 稳 定 性 分 析 的正 确 途 径 . 本 文 从 变 形 曲线 反 映 的变 形 形 态 分 析 人手 , 提 出 了特 征值 法 , 并 根 据 特 征 值法 对变 形 形 态 的 控 制 程 度 以 及 与 围岩 性 态 之 间 的 关 系 , 介 绍 了 确 定 最 佳 支 护 时 间和 进 行 围岩 变形 形 态 分 类 的 方 法和 原理 . 1 特征值法 的提 出 变形量测得 到 如 图 1 (a) 所 示 的 。 一 t 曲线 , 回 归后 得到 函数 f( t , a ` ) , 对 f 进 行 1 次 到 3 次 微 分 , 可 以 得到 图 中 的 5 个 点 : 。 。 、 。 二 、 P 点 、 M 点 和 A 点 , 其 中 , 。 。 是 工 程 开 挖 时 的 围 岩 变 形 , 是 工程 开挖 出 现 临 空 面 时 瞬 时完 成 的 , 是 围 岩 性 质 和 围 岩 应 力 共 同作 用 的反 映 ; u 二 是 1创拜 一 05 一 10 收稿 第一 作者 男 30 岁 博士 后 副研究 员 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1995. 01. 007

·28 北京科技大学学报 1995年No.1 围岩变形最终收敛值，与临界变形值（围岩临界变形或支护最大可缩量）相比，可以判断工程 的稳定状况；M点是由∫”=0得到的变形速度最大点；P和A点是由∫m=0得到的D一t曲 线的拐点，P点是变形急剧增加点，A点是变形趋向稳定的点，这5个点称之为特征点，与特征 点相关的时间、变形量和变形速率称之为特征值.由图1看出，当特征值确定以后，围岩变形 规律也基本确定，这就是特征值法， M A M 0 IV (a) 6 图1围岩变形曲线(a)和变形速率曲线(b) 2特征值与围岩变形形态 围岩变形形态是指同类围岩在动态效应（地下工程开挖）以后表现出的共有特征，是围岩 变形的一般形式.文献[)]通过对大量实测资料的分析，认为，“。和时间特征值只与围岩性质和 围岩应力有关，受其它因素影响较少，并首次提出了以4。和时间特征值tA作为围岩变形形态分 类指标的分类方法. 3围岩变形形态与支护 由特征点可以将围岩变形分为4个阶段（图1）：I为掘进变形段，是开挖超前影响所 致；Ⅱ是变形速度急剧增加段，是开挖引起应力重分布的结果，此时，第一塑性圈初步形 成；Ⅲ是变形速度衰减段，随着应力集中向深部三向应力状态岩体转移，传递到表面的位 移速度逐渐减小：Ⅳ为相对稳定阶段，应力重新分布趋于平衡后，围岩变形趋向蠕变·所 以，I阶段难以用支护手段控制：Ⅱ阶段是动压显著作用段，允许其发生，产生一个让压 范围，对工程长期稳定有利：Ⅲ阶段是围岩主要变形阶段，往往由变形地压向松动地压过 渡，如果不予控制，容易产生大的离层和垮冒现象·因而，在M点附近进行初次支护，控 制围岩大变形，在A点附近进行二次支护，实现第V阶段的长期相对稳定，是地下工程支 护的首要原则， 4uo的确定 围岩表面变形是其内在性态变化的反映，图2是深部位移量测方法和结果，假设各个钻

· 2 8 · 北 京 科 技 大 学 学 报 l卯 5年 N o . 1 围岩 变形最 终收 敛值 , 与临界 变 形值 ( 围 岩 临界 变 形 或 支 护最 大 可 缩 量 ) 相 比 , 可 以 判 断 工 程 的稳定 状况 ; M 点是 由 f ’ ` 二 0 得到 的 变形速 度 最大 点 ; P 和 A 点 是 由 f ` ’, 二 0 得 到 的 。 一 t 曲 线的拐 点 , P 点 是变 形急 剧 增加 点 , A 点 是变形 趋 向稳 定 的点 . 这 5 个 点称 之 为特征 点 , 与特 征 点 相 关的 时间 、 变形 量 和变形 速 率称 之 为特 征 值 . 由 图 1 看 出 , 当特 征 值 确 定 以 后 , 围岩 变 形 规律也 基本 确定 , 这 就 是特 征值 法 . 耳1 杆1 . (a ) n 肠 - 1 , 偏 VI ( b ) 图 1 围岩变形 曲线 ( a) 和变形速率 曲线 (b) 2 特征值与围岩变形 形态 围岩 变形形 态 是指 同类 围岩 在 动态效 应 (地 下 工程 开挖 ) 以 后表 现 出 的 共有 特 征 , 是 围 岩 变形 的一 般形式 . 文 献【l] 通过 对大 量 实测 资料 的分 析 , 认 为 , “ 。 和 时间特 征值 只 与围岩性 质和 围岩 应力 有 关 , 受其 它 因素影 响 较少 , 并首次提 出了 以 。 。 和 时间特征值 t A 作为围岩变形形态分 类指 标的分类方 法 . 3 围岩变形 形态与 支护 由特 征点可 以将 围岩变 形分 为 4 个 阶段 ( 图 1 ) : 工 为 掘进 变 形 段 , 是 开挖 超 前 影 响 所 致 ; n 是 变形 速 度急剧 增 加段 , 是 开挖 引起应 力重 分 布 的 结果 , 此 时 , 第 一 塑性 圈初 步形 成 ; 1 是 变形 速 度衰 减段 , 随着应 力集 中 向深 部三 向应 力 状 态 岩 体 转 移 , 传 递 到 表 面 的位 移 速 度 逐 渐 减 小 ; W 为 相 对稳 定 阶段 , 应 力 重 新 分 布趋 于平 衡后 , 围 岩变形 趋 向蠕变 . 所 以 , I 阶段 难 以 用 支护手 段控 制 ; n 阶段 是 动 压显 著作 用段 , 允许 其 发 生 , 产 生 一 个 让压 范 围 , 对工 程 长期 稳定 有利 ; 1 阶段 是 围 岩 主要 变形 阶段 , 往 往 由变 形地 压 向松 动 地 压 过 渡 , 如 果 不予 控制 , 容 易产 生大 的离层 和垮 冒现 象 . 因而 , 在 M 点 附 近 进 行 初 次 支 护 , 控 制 围岩 大 变形 , 在 A 点 附 近进行 二次 支 护 , 实 现第 W 阶段 的 长期 相 对 稳 定 , 是 地 下 工 程 支 护 的首要 原则 . 4 u o 的确 定 围 岩表 面 变形 是其 内在性 态 变化 的反 映 . 图 2 是 深 部位 移量测 方 法和结 果 . 假设 各 个 钻

Vol.17 No.1 赵国堂等：特征值法及其应用 …29. 孔的方向在地下工程的法向方向上，各点的位移分别为“，(i=1,2,·,),在围岩体失去连续 性之前，各点位移服从回归函数或插值函数F,围岩破坏时，达到临界应变ε。，即 8=-F=E (1) 掘进期间，假设围岩体不产生大的离层，而且破坏区岩体是体积不可压缩的，则有： aua=rpup (2) 式中a、r。一地下工程断面半径及塑性区半径；“。、“。一表面围岩变形和弹塑性区交界处 的变形， 这样，由式(1)和式(2)就能通过围岩表面变形求出破坏区的大小，建立起围岩变形与地 下工程稳定性之间的关系· 200 6) 目10 o 2 4 68 1012 rm 图2深部位移量测方法及成果 5M点和A点的确定 M点和A点由∫”=0和∫”=0确定，这里主要是确定a:问题，对于n对测量数据 (4,t)(j=1,2,…,n),使： 2=,-,a,=最小值 (3) 即为u=f(t,a)与观测值的最佳拟合， 一般采用线性化方法确定a,.先给一个初值a,,初值与真值之差为△，，即a,=a +△，(i=1,2,…,m),这样，确定a的问题就转化为确定修正值△，的问题.为了确定a, 在a)附近对∫作泰勒级数展开，并略去△：的高次项，得： j(t,a)=j,o+∑ afb 台10ak (4) 0fo=oft,a)t=t, 式中∫o=4,a:0 0aka,=ao,· 当a!)给定时，它们都是t的函数，可直接算出.将式(4)代人式(3)中，并记C -200k-12m)和c2治用： 0a:

Vo l . 17 N O . 1 赵 国堂 等 : 特 征值 法及其应用 . 29 . 孔 的方 向在地 下工程 的法 向方 向上 , 各 点 的位移 分 别 为 u ` ( i = 1 , 2 , … , n) , 在 围岩体失 去连续 性 之前 , 各点位 移服 从回 归 函数 或插值 函数 F , 围岩破 坏 时 , 达到 临界应 变 。 。 , 即 ￡ = 一 F ’ = ￡。 ( l ) 掘进 期 间 , 假设 围岩 体不 产 生大 的离 层 , 而 且破 坏 区 岩体 是体积不 可压 缩 的 , 则有 : a “ : = r p “ , ( 2 ) 式 中 a 、 r , 一 地下工 程断 面半 径及 塑性 区半径 ; 。 。 、 。 。 一 表 面围岩 变形 和 弹 塑性 区 交 界 处 的变形 . 这 样 . 由式 ( l) 和式 ( 2) 就 能通 过 围岩表 面 变形 求 出破坏 区 的大小 , 建 立起 围岩 变 形 与地 下 工程稳 定性 之 间的关 系 . : ! l 伪) 阵 厂~ ~ ~ 20lo 道日n 2 4 6 10 12 r加 图 2 深部位移 l 侧方法及成果 S M 点和 A 点 的确 定 M 点 和 A 点 由 f ’ ` 二 O 和 ’f ” ( u , , t , ) ( j = l , 2 , … , n ) , 使 : Q = = 0 确定 . 这 里 主要 是确 定 a ` 问 题 . 对 于 n 对 测 量 数据 艺u[ , 一 j ( t , , a : ) ] ’ = 最 小 值 ( 3 ) 即为 “ = f ( t , a ` ) 与观 测值 的最佳拟合 . 一 般 采 用 线性 化 方法 确 定 。 : . 先 给 一 个 初 值 a \0) , 初 值 与 真 值 之 差 为 △ ` , 即 a ` = 叫0) + △ ` i( = 1 , 2 , 一 , 。 ) , 这 样 , 确定 a , 的 问 题就 转化 为确 定 修正 值 △ . 的 问题 . 为 了确 定 a ` , 在 a( 夕, 附近 对 f 作 泰勒 级数 展开 , 并 略去 △ ` 的 高次项 , 得 : 君 刁沂 。 j ( `尸 “ ) 一 j , 。 + 户 1 , 言亡 △衡 (4 ) = ]a 产t ta 一a 一矛` 乙曰一 a 八口 八口一 一 力一扩a 口一ǔ八 a 一 f( 式 中 f,0 当 。 { 0 , 给 定 时 , 它 们 都 是 t 的 函 数 , 可 直 接 算 出 . 将 式 (4) 代 人 式 ( 3) 中 , 并 记 c `* _ 子 日关 。 日关 。 , , _ , , 、 角 。 _ 矛 日关 。 ; 。 _ 一 冷 l , 石丁币亩 L ` ’ 凡 一 ` ’ ` ” ” , m ’ 个“ 七 `一冷 , 一万舀丁份 :

·30· 北京科技大学学报 1995年No.1 2Cn4,=C,(=1,2,m） (5) 当数据点(u,t)和初值d给定后，系数Ck及Ca均可算出，因此，由方程组(S)可以解 出△，进而得到a,的值，利用a,不断迭代，直到△，值小到满足精度要求为止.a,确定后， u=化，a)函数关系随之确定，就可以确定出∫"=0和∫"=0的点，M和A点随之确定. 6实例分析 图1(a)是淮南某煤矿-660m水平巷道的围岩变形曲线，回归得曲线满足的解析式为： u。=A+BebI (6) 式中A、B、b一回归系数. 通过对不同围岩、不同埋深和不同支护下各回归系数值的分析得出，系数b主要与 围岩性质有关，受其它条件影响较小，系数A和B要受到各种因素的制约·由式(6)微 分，得特征点，tM=-b/2,tA=-0.788b,主要受岩性影响. 图2b)是深部位移实测曲线，回归得： u=A eir (7) 式中A:、x一回归系数· 由式(1)代人式(2)，得： 7,an÷ a'u (8) a 「。一般为松动区范围的3倍山·根据松动圈理论，在矿山巷道中，其围岩变形形态可 以分为3类I):I类稳定变形：u。≤15mm.tM>6d,tw>10d;Ⅱ类不稳定变形： 15mm<u。<50mm,3<tM≤6d,5d<t.≤10d;Ⅲ类极不稳定变形：ua≥S0mm,tM≤3d,ta ≤5d.在软岩矿区，围岩变形大多数是第Ⅲ类变形，此时、初次支护时间应为3d,二次支护 时间应在5d以内，在淮南某矿试验中采用此支护时间，取得了良好的效果， 7结束语 本文提出的特征值法开拓了围岩变形研究的新思路；用变形信息确定适时支护时间和以 4。与t。为指标的围岩变形形态分类方法尽管在指标的定量化方面还需要根据不同矿区做相 应的调整，但该方法直观、简单、可靠和指标的早期性对工程实践具有重要的参考价值) 参考文献 】赵国堂，陈庆敏.岩石临界变形稳定性及其在煤可矿围岩变形区判断中的应用，见：第二届华东地区岩 土力学讨论会文集，杭州：浙江大学出版社，1992.117~124 2赵国堂，任天贵.特征值法及其在软岩巷道围岩变形形态分类中的应用.化工矿山技术，1942)21~25 3赵国堂.软岩基本巷道围岩变形规律及其控制的研究：【博士学位论文】.北京：中国矿业大学，192

北 京 科 技 大 学 学 报 1卯 5年 N o . 1 艺C , * △` = e , 。 , ( i = l , 2 , … , m ) ( 5 ) 当数据点 (u , , t , ) 和初值 a\0 , 给 定后 , 系 数 C * 及 C ` 。 均可算 出 , 因此 , 由方程 组 (5 ) 可 以 解 出 △ ` , 进 而 得到 a : 的 值 , 利 用 a ` 不 断迭 代 , 直 到 A ,值 小 到 满足 精度要 求为止 . a , 确 定 后 , u = f( t , a) 函 数 关系 随之确 定 , 就可 以 确定 出 f “ = O 和 f’ ’ = O 的点 , M 和 A 点 随之确定 . 6 实例分 析 图 l( a) 是淮 南某 煤矿 一 6 60 m 水 平巷道 的 围岩变形 曲线 , 回 归得 曲线满 足的解 析式 为 : u 。 一 通 + B e 石 / ` ( 6 ) 式 中 A 、 B 、 b 一 回 归 系 数 . 通过 对 不 同 围 岩 、 不 同 埋 深和 不 同支护 下各 回 归系数值的 分 析 得 出 [ ’ ] , 系 数 b 主要 与 围岩性 质有 关 , 受其 它 条 件 影 响 较 小 . 系 数 A 和 B 要受 到 各种 因 素 的 制 约 . 由式 ( 6) 微 分 , 得 特 征点 , 编 = 一 b /2 , t A = 一 .0 7 8 8 b , 主要 受岩 性影 响 . 图 2山) 是深 部位 移 实测 曲线 , 回 归得 : u = 月 l e ’ / 『 ( 7 ) 式 中 A , 、 以 一 回归系 数 . 由式 ( l) 代 入式 ( 2) , 得 : a Z u a ` u 一 r o 一下下一一一一甲下 I n r p L r p 一 u ) —a ( 8 ) ; 。 一般 为松动 区 范 围 的 3 倍 L’ ] . 根 据 松动 圈 理论 , 在 矿山 巷道 中 , 其 围 岩变形 形态可 以 分 为 3 类 [ ’ 】 : 工 类 稳 定 变 形 : u 。 簇 巧 n 万n , t M > 6 d , t A > 10 ;d n 类 不 稳 定 变 形 : 15 nmr < u 。 < 50 I ur l l , 3 < t M 蕊 6 d , s d < t A 蕊 l o d ; 1 类极不稳 定变形 : u 。 ) SO m , t M 簇 3 d , t A 毛 s d . 在软 岩矿 区 , 围 岩 变形大 多数 是第 1 类 变形 , 此 时 , 初次 支护 时间应 为 3 d , 二次支 护 时间应 在 s d 以 内 . 在 淮南某 矿试 验 中采 用此支 护 时间 , 取得 了 良好 的效果 . 7 结束语 本 文提 出的特征 值法 开拓 了 围岩变形 研究 的新 思路 ; 用变形信 J自 、 确定 适 时支 护时 间和 以 “ 。 与 t 、 为指标 的 围岩变形 形态 分类 方 法尽管 在指 标 的定量 化方面还 需要 根据不 同矿 区 做相 应 的调 整 , 但该 方法 直观 、 简单 、 可靠 和指标 的早 期性 对工 程实践具 有重要 的参考 价值 [ 3 ] . 参 考 文 献 赵国堂 , 陈庆敏 . 岩石 临界 变形稳定性及其在煤矿 围岩变形 区判断中的应用 . 见: 第二届 华东地 区岩 土力学讨论会文集 . 杭 州 : 浙江大学 出版社 , 1卯2 . 1 17 一 124 赵国堂 , 任天 贵 . 特征值法及 其在软岩巷道围 岩变形形 态分类中的应用 . 化工 矿山技术 , 1男叫2 ) : 21 一 25 赵国堂 . 软岩基本巷道 围 岩变形规律 及其控制 的研究 : [博士 学位论文 】 . 北京: 中国 矿业大学 , 1叨