轴对称功能梯度材料设计模型

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.1998.01.012 第20卷。第1期 北京科技大学学报 VoL.20 No.1 1998年2月 Journal of University of Science and Technology Beijing Feb.1998 轴对称功能梯度材料设计模型 曹文斌葛昌纯李江涛 北京科技大学特种陶瓷粉末冶金研究开发中心，北京100083 摘要采用弹性力学，复合材料力学以及计算数学的有关理论，建立起了轴对称功能梯度材料分 析模型，结合这类材料实际应用背景，给出了理论模型求解的边界条件，在求解梯度层层间热应 力的过程中，引人了三角级数来描述功能梯度材料层间热应力，从而得到了层间热应力的精确 解，以此优化这类材料的设计与实现该类材料的成功制备， 关键词功能梯度材料：轴对称：热应力缓和；设计模型 分类号TQ038 1轴对称功能梯度材料与分析模型 轴对称功能梯度材料，就是在空间组成上组分具有轴对称结构的一类非均质复合材料， 设计轴对称功能梯度材料的目的，就是利用中间层与对称的两侧表面层的热膨胀系数的差 异，（一般是中间层热膨胀系数大，两侧小），而在表面层引人残余压应力，从而提高FGM的断 裂韧性和硬度值Ⅲ.实际上，已经有报道采用这种方法成功地制备出了 Al,O,TiC/Ni/TiC/AI,O,,MoSi/Al,O,Ni/Al,O,MoSi,轴对称功能梯度材料. 对于长方体型轴对称功能梯度材料， 如图1所示，设对称的上下表面层的高度 各为h,长度为l,弹性常数为E,G,4,热膨 E,G,4 胀系数为a;中心部分的高度为h,长度为 1,弹性常数为E,G4热膨胀系数为a 二者宽度均为b.设a,>a,当温度为t。时， E,G,4 设功能梯度材料内不存在温度应力；当温 度由1降至1时，由于上下表面层的热膨胀 系数与中心层存在差异，因而将产生层间 图1轴对称功能梯度分析模型 温度应力. 2 应力分析 2.1 假设 表面层与中间层的受力情况如图2所示.为了求解简单，假设：(1)表面层与中间层为各向 同性的材料.(2)表面层与中间层的物理性能与温度无关.(3)在温度变化过程中无塑性变 1997-10-06收稿曹文斌男，27岁，博士葛昌纯男，63岁，教授，博导 863高技术计划项目资助课题

第 卷 年 第 期 月 北 京 科 技 大 学 学 报 灰 轴对称功能梯度材料设计模型 曹文斌 葛昌纯 李江 涛 北京科技 大学特种 陶 瓷粉末 冶金 研究 开 发 中心 ， 北 京 摘要 采用 弹性力学 、 复合材料力学 以及计算数学 的有 关 理 论 ， 建 立起 了轴对称功能梯度材料分 析模 型 ， 结合这类材料实际应用 背景 ， 给 出 了理论模型 求解 的边 界 条件 在求解梯 度层 层 间热应 力 的过程 中 ， 引人 了三 角级 数来描述 功能梯 度 材 料 层 间 热应 力 ， 从而 得 到 了层 间热应力 的精确 解 ， 以 此优化这类材料的设计 与实现该类材料的成功制备 关健词 功能梯度材料 轴对称 热应力缓和 设计模 型 分类号 旧 轴对称功能梯度材料与分析模型 轴 对称 功 能梯 度 材 料 ， 就是 在 空 间组 成上 组分 具 有 轴 对称 结 构 的 一 类 非均 质 复合 材 料 ， 设计轴对称功 能梯度材 料 的 目的 ， 就是 利 用 中间层 与 对称 的 两 侧表 面 层 的 热膨胀 系 数 的差 异 ， 一般是 中间层 热膨胀系数大 ， 两 侧小 ， 而在 表 面层 引人 残余压应力 ， 从而提 高 的断 裂 韧 性 和 硬 度 值川 实 际 上 ， 已 经 有 报 道 采 用 这 种 方 法 成 功 地 制 备 出 了 爪。 刊 〔，，， 肠 〔，，轴对称 功能梯 度材料 对 于 长 方 体 型 轴 对 称 功 能梯 度 材 料 ， 如 图 所 示 ， 设 对称 的上 下 表 面 层 的 高 度 各 为 ， 长度 为 ， 弹性 常数 为 ， ， 拜 ， 热膨 胀系 数 为 中心 部分 的高度 为 ， 长度 为 ， 弹性 常数 为 月 ， ，拜 ， 热膨胀 系数 为 ， 二 者 宽度 均 为 设 ， 当温 度 为 时 ， 设 功 能梯 度 材 料 内不 存 在 温 度 应 力 当温 度 由 。 降至 时 ， 由于 上 下表 面层 的热膨胀 系 数 与 中心 层 存 在 差 异 ， 因而 将 产 生 层 间 温度 应 力 刃 ， ， 群 司 湃数汝照翔 魂 ， ，拜 图 轴对称功能梯度分析模型 应 力分析 假设 表 面层 与 中间层 的受 力情 况如 图 所示 为 了求解 简单 ， 假 设 表 面层 与 中间层 为各 向 同性 的 材 料 表 面 层 与 中 间层 的 物 理 性 能 与 温 度 无 关 在 温 度 变 化 过 程 中 无 塑 性 变 一 一 收稿 曹文斌 男 ， 岁 ， 博士 葛昌纯 男 ， 岁 ， 教授 ， 博 导 高技 术计划项 目资助 课题 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1998．01．012

·54· 北京科技大学学报 1998年第1期 形.(4)在初始条件下，即温度为t,时，FGM层 间无热应力 如果层间温度应力超过材料强度，FGM 将断裂失效.因此，通过材料设计的手段来调 整FGM体系内部非本征参数：如FGM的组成 和结构分布，表面层与中心层的厚度h,h,、长 度、宽度b,从而调整梯度材料梯度层之间的 层间温度热应力，使其不超过材料强度极限， 图2功能梯度材料层间温度热应力 避免材料断裂失效，能够成功制备FGM 层间温度应力以正弦级数和余弦级数可分别表示为： 五，=￡in"Ta,=￡6cos” (1) n =l 2.2表面层的应力分布 从表面层中截取一微段dx,如图3所示，根据力的平衡原理，可得： ds do bh =-br=-bo,0=2 (2) 其中：S为轴向力；Q为剪应力.整理后得： h dro 0=-2d 24·n (3) 由此可以得到应力分量： a.=-Σ(cosn-cos πhn三1n S+dS x t=(5+)∑an·sin (4) nn=1 V o+do hπ，1，yy 2.3中间层的应力分量 图3表面层微区应力分析 从梯度材料中间层中截取一微段dx,如图4所示，这与表面层的受力图大致相同，由力的 平衡条件可得应力分量为： bhπh,台n (cosnt -cos- πx d.s 2y ,nπX Tw=- ∑a,·sinh ha= (5) h 。y2 0=-0+2h-2h之，4”·cw d 00 图4中间层微区应力分析 以卡氏定理(A·Castigliano)解an得： 0m=-C· n·cosnπ n+2nn+p2 (6)

· · 北 京 科 技 大 学 形 在 初 始 条 件 下 ， 即 温 度 为 时 ， 层 间无 热应 力 如 果 层 间 温 度 应 力 超 过 材 料 强 度 ， 将 断裂 失 效 因 此 ， 通 过 材 料 设 计 的 手 段 来 调 整 体 系 内部 非 本征参数 如 的组 成 和 结 构 分 布 ， 表 面 层 与 中心 层 的厚 度 ， 、 长 度 、 宽 度 ， 从 而 调 整 梯 度 材 料 梯 度 层 之 间 的 层 间温 度 热 应 力 ， 使 其 不 超 过 材 料 强 度 极 限 ， 避免材料 断裂失 效 ， 能 够 成功 制备 学 报 年 第 期 暇【 王仁 一 二 犷 －曰 日 图 功能梯度材料层 间温度热应 力 层 间温 度应力 以 正 弦级数和 余弦级 数可 分别 表示 为 ” 杏 “ · 川下厂 ， 。 杏 ” 下厂 表面层 的应 力分布 从表 面层 中截取 一微段 叙 ， 如 图 所示 ， 根 据力 的平衡 原 理 ， 可得 ，了一 一 办丁 。 ， ， 一 一 丫 其 中 为轴 向力 为剪应力 整理 后 得 一 ， 。 “ 一 兀 可 “ ， 刀 一九，︸ 一 一 由此 可 以 得 到 应力 分 量 。 ， 工 ， 一 － 一 刀 兀 一 兀 － 。丁 一 ’ 兀 。 一 百 尸 。 杏 ， · ‘ “ 下厂 ’ 而 ， 马 一 、 。 － 、 一 十 一 ，二 ‘ ’ 】 夕，廿 · ’ ” ’ 下厂 气 口 中间层 的应 力分量 图 表面层微区应力分析 从梯 度 材 料 中间层 中截 取 一微 段 山 ， 如 图 所示 ， 这 与 表 面层 的受力 图大致相 同 ， 由力 的 平衡条件 可 得 应力分量 为 ‘ 二 。 ， 兀 ， 一 二气 二 － 户 一 砚 兀 一 兀 二 － ‘ 即 二 二 一 磷乃 ’ 下厂 兀 一 尹 、 － ‘ － 一 － 、 “ ， · ‘ 一 ’ 。二 兀 一 万 一 图 中间层微区应力分析 以 卡 氏定 理 · 解 。 得 ， 一 刀 刀 粉 尸

Vol.20 No.I 曹文斌等：轴对称功能梯度材料设计模型 ·55· 其中： 是+) p2= (7.) 云·安+会+】 π2 号告-(1+兮)+（后+G) 2m (7.2) +会g+后】 是（层+后会云owm+片身a,-a-小] (7.3) 晋玩+馆会+会+) 2.4层间应力 (1)对于n>p,层间剪应力： fπ Cπ (8) 4Vn-p2 sinhy sinhβr 其中： B=V7+7-p2,y=Vn-m-p2. 层间正应力为： hdt。__h Cn2 4m-p (9) sinhyx sinhBπ 在(7.1)~(7.3)式中，级数和： 会wam-cga+2+p-d-(- (10) (2)当7<p时，层间剪应力为： To= Cn (11) 4 Bysinhβπ\ 5xor号x-coy·caw9=xsi5） 其中，B=Vo+7-V-小，南式g一票层正应力为： 02 Cπ2 (sinyB)snsin (12) 综上可知，0t可求

曹文斌等 轴对称功能梯 度 材料 设计模 型 其 中 一 一吞 一气 二 等一 · 哥赤 气 一 杂」 一瓦 一气 一 一， 一 钟 一 十 一‘， 一飞 一 一力 一，、 十 产一 ， 拭 叮 万 而 一，︺、 十一︸一十 一，︸ 世 以止 一瓦 一气 犷 杂 － 、 。 。 兀 。 杏万 “ “ 十 了 ， 一 “ ，‘ 一 兰 星「生 厂 － － 呵封」 一气 一，‘ 一︶，、 一式 层 间应 力 对于叮 ， 层 间剪应 力 。 刀艺二 兀 什－ 二 兀 而 ， 一 ’ 兀 丫二 其 中 层 间正 应 力为 ，一 咖 而花于 ， ， 一 咖 一 而二于 二 二 一 粤架 军嵘全 冲 ‘ 一 一 “ ， 呷 ，一哗 ‘ 明二 一 一 一 一一曰﹄︸‘ 一︸力， 在 一 式 中 ， 级数和 ” 二 一 ”艺 稀 三 一 万 一 万淤不 一 乡 一 刹 一气 艺 当粉 时 ， 层 间剪应力 为 丽森不 颧蕊 ， ， 卿兀兀 二岁兀 口二 口兀 ， 叮 无 ’ 丁 尤 一 “ 即兀 ’ “ 叮 工 ’ ，叮 工 其 中 声 檐高 ， 一 、 。 、 ， ， 田 八 ， 一 百 ’ 丽 ， 层 同 止 应 刀 为 孔 久 、 二 一 丁不，丫二万下一 ’ 不 叼〕 尹 兀 ‘ 「 ， 。 、 ， 口兀 兀 甲 ‘ ” ，呷兀 一 ” ’ “ 叮 ’ “ 丫 义 。 一‘呷一 “ 一 · ，一‘ · 哗一 ‘谬 综 上 可 知 ， ， 。 可 求 ·

·56· 北京科技大学学报 1998年第1期 3结论 (1)采用弹性力学、复合材料力学以及计算数学的有关理论，建立起了轴对称功能梯度材 料的分析模型，结合这类材料实际应用背景，给出了理论模型求解的边界条件， (2)给出了轴对称功能梯度材料层间温度正应力0。剪应力x,在不同条件下的精确解，使 得计算机辅助设计成为可能. 参考文献 1 Markworth A J,Ramesh K S,Parks W P.Modelling Studies Applied to Functionally Graded Materi- als.J Mater Sci,1995,30:2183 2 Yan-Sheng Kang,Miyamoto Y,Muraoka Y,Yamaguchi O.Fabrication and Characterization of MoSi/Al2O,/Ni/Al,O/MoSi,FGMs.J of the Soc of Materials Science Japan,44(501)705-709 3张福范.复合材料层间应力.北京：高等教育出版社，1993 Analytical Model for Axial Symmetrical FGM Cao Wenbin Ge Changchun Li Jiangtao Laboratory of Special Ceramics Powder Metallurgy,UST Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT Analytical model for axial symmetrical functionally graded materials(FGM) is established based on the elasticity theory and computational mathematical model.The boundary conditions of the model is determined according to its application background. Triangle series are employed to describe the thermal stress caused by the difference of thermal expansion coefficients.Thus the accurate stress distribution has been calculated. KEY WORDS FGM;axial symmetrical FGM;thermal stress relaxation

结论 北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 采 用 弹性 力学 、 复合材料 力学 以 及计算数学 的有 关理 论 ， 建 立起 了轴 对称 功 能梯度材 料 的分析模型 ， 结合 这类材料 实 际应 用 背景 ， 给 出 了 理 论模 型求解 的边 界 条件 给 出 了轴对称 功 能梯 度 材 料 层 间温 度 正 应 力 。 、 剪 应力 在 不 同条件 下 的精确 解 ， 使 得计算 机辅助设计成 为可 能 参 考 文 献 七 ， 叮 ， 住心 巨 ， ， 一 ， 诵 ， ， 月 肠 · ， 一 张福 范 复合材料层 间应力 北京 高等教 育 出版社 ， 环色 讼 口 飞 ， ， ， 比 心 挑 ’ 出