第十一章微分方程 其中C(x)为待定的可微函数，上式两端分别对x求导，得 ax,=ysinx+C' dx 由 a》=ysinx-1得ysinx+Ce)=ysinx-l, Ox 所以C(x)=-1故可取C(x)=-x,故 u(x.y)=-x-ycosx. 由上面的任意一种方法都可以解得此方程的通解为 -x-yCOSx=C(其中C为任意的常数)】 卫。-1，原方程不是全微分方程。可考虑寻求 原方程的积分因子， 解法】原方程可化为)k-迹=一，此时，方程的左端有积分因子“=了、 口一士等。由于右端只有y,故取一宁为积分因子，即有 从而可得其通解为 +nlyC. y 此外，y=0亦为原方程的解。 去少即云广之此为齐次方程，令兰，则有 解法2原方程可写为少=上即少。王 盘+品 即 d 得其通解为 -lwxl-C. 于是原方程通解为 387 第十一章 微分方程 387 其中 C x( ) 为待定的可微函数，上式两端分别对 x 求导，得 ( , ) sin ( ) u x y y x C x x  = +   由 ( , ) sin 1 u x y y x x  = −  得 y x C x y x sin ( ) sin 1 + = −  ， 所以 C x ( ) 1. = − 故可取 C x x ( ) = − ，故 u x y x y x ( , ) cos = − − ． 由上面的任意一种方法都可以解得此方程的通解为 − − = x y x C cos （其中 C 为任意的常数）． （2） P y = ，Q y x = − ， 1 P y  =  ， 1 Q x  = −  ，原方程不是全微分方程．可考虑寻求 原方程的积分因子． 解法 1 原方程可化为 ydx xdy ydy − = − ，此时，方程的左端有积分因子 2 1 y  = 、 2 1 x  = 等．由于右端只有 y ，故取 2 1 y  = 为积分因子，即有 2 ydx xdy 1 dy y y − = − ， 从而可得其通解为 ln | | x y C y + = ． 此外， y = 0 亦为原方程的解． 解法 2 原方程可写为 dy y dx x y = − 即 1 y dy x dx y x = − ，此为齐次方程，令 y u x = ，则有 1 du u x u dx u + = − ， 即 2 1 u dx du u x − = ， 得其通解为 1 ln | | ln | | u x C u − − = − ， 于是原方程通解为