第十一章微分方程 手+nltc 另外，y=0也是原方程的解. 解法3将x看成是以y为自变量的函数，原方程可化为线性方程 $ 求得其通解为 多nl啡C 此外，易见y=0也是原方程的解 例14求y=血满足初始条件0=0，y0=Ly0=2的解 分析该方程为y=(x)型可降阶的高阶微分方程，方程的右端仅含有自变量x 将y作为新的未知函数，原方程则为新未知函数的一阶微分方程，两边积分得关于x 的n-1阶微分方程.依此法连续积分n次可得原方程的含有n个任意常数的通解。 解两端积分得 y-4G 又y①)=2，则得C=3,故 y 对其积分得 y=[(-Iz3x++C. 将y)=1代入上式，得C,=-2,于是 y=-ln'x-Inx+3-2, 对该式再次积分得 y=jenx-lax+3x-2h=-lx+r-2x+G 由于)0=0，可得G=分故所求的特解为 388第十一章 微分方程 388 ln | | x y C y + = ． 另外， y = 0 也是原方程的解． 解法 3 将 x 看成是以 y 为自变量的函数，原方程可化为线性方程 1 dx x dy y − = − ， 求得其通解为 ln | | x y C y + = ． 此外，易见 y = 0 也是原方程的解． 例 14 求 2 ln x y x  = 满足初始条件 y y y (1) 0, (1) 1, (1) 2 = = =   的解． 分析 该方程为 ( ) ( ) n y f x = 型可降阶的高阶微分方程，方程的右端仅含有自变量 x ， 将 ( 1) n y − 作为新的未知函数，原方程则为新未知函数的一阶微分方程，两边积分得关于 x 的 n −1 阶微分方程．依此法连续积分 n 次可得原方程的含有 n 个任意常数的通解． 解 两端积分得 2 1 ln ln 1 x x y dx C x x x  = = − − +  ， 又 y (1) 2 = ，则得 1 C = 3 ，故 ln 1 3 x y x x  = − − + ， 对其积分得 ln 1 ( 3) x y dx x x  = − − +  2 2 1 ln ln 3 2 = − − + + x x x C ， 将 y (1) 1 = 代入上式，得 2 C = −2 ，于是 1 2 ln ln 3 2 2 y x x x  = − − + − ， 对该式再次积分得 1 2 ( ln ln 3 2) 2 y x x x dx = − − + −  2 2 3 1 3 ln 2 2 2 = − + − + x x x x C ， 由于 y(1) 0 = ，可得 3 1 2 C = ，故所求的特解为