第十一章微分方程 y方hx+r-2x+ 注在此类题目中，一般若出现任意常数，可依据初始条件逐步确定，使后面的运 算简化。若先求出通解，再由初值条件定特解也可以，只是计算将会麻烦一点。 例15(00研)微分方程y'+3y'=0的通解是 分析该方程中不显含y,可以看成是y=x,)型的可降阶微分方程：另外原方 程可化为欧拉方程x2y+3灯=0. 解法1方程属于y=fxy)型的可降阶微分方程.令y=p(x),则y=p,原 方程化为一阶线性方程 g+3p=0,即p+2p=0, 其通解为 y=p-9, 再对其积分得通解为 =空46 解法2原方程可化为欧拉方程x2y+3y=0.令x=￠，则原方程可化为 平噜-0 求得其通解为 =G+ce=C+9. 例16(02研)微分方程少+y严=0满足初始条件儿。=1，y儿=)的特解 是 分析该方程中不显含x,可以看成是y'=f,y)型的可降阶微分方程：另外原方 程可化为(yy=0. 解法1此微分方程属于y=fy,y)型.令y=p,则 密去寄会喝 于是原方程为p史+p=0,得p=0或)中+p=0.前者不满足初始条件)川= dy 389 第十一章 微分方程 389 1 3 1 2 2 ln 2 2 2 2 y x x x x = − + − + ． 注 在此类题目中，一般若出现任意常数，可依据初始条件逐步确定，使后面的运 算简化．若先求出通解，再由初值条件定特解也可以，只是计算将会麻烦一点． 例 15（00 研）微分方程 xy y   + = 3 0 的通解是 ． 分析 该方程中不显含 y ，可以看成是 y f x y   = ( , ) 型的可降阶微分方程；另外原方 程可化为欧拉方程 2 x y xy   + = 3 0． 解法 1 方程属于 y f x y   = ( , ) 型的可降阶微分方程．令 y p x  = ( )， 则 y p   = ，原 方程化为一阶线性方程 xp p  + = 3 0 ，即 3 p p 0 x  + = ， 其通解为 1 3 C y p x  = = ， 再对其积分得通解为 1 2 2 2C y C x = + ． 解法 2 原方程可化为欧拉方程 2 x y xy   + = 3 0 ．令 t x e = ，则原方程可化为 2 2 2 0, d y dy dt dt + = 求得其通解为 2 2 1 2 1 2 t C y C C e C x − = + = + ． 例 16（02 研） 微分方程 2 yy y   + = 0 满足初始条件 0 1 x y = = ， 0 1 2 x y =  = 的特解 是 ． 分析 该方程中不显含 x ，可以看成是 y f y y   = ( , ) 型的可降阶微分方程；另外原方 程可化为 ( ) 0 yy   = ． 解法 1 此微分方程属于 y f y y   = ( , ) 型．令 y p  = ，则 dy dp dp dy dp y p dx dx dy dx dy   = = =  = ， 于是原方程为 2 0 dp yp p dy + = ，得 p = 0 或 0 dp y p dy + = ．前者不满足初始条件 0 1 ' 2 x y = =