第十一章微分方程 故由后者得四=G,即yW=G,由初始条件当x=0时，y=1,y=)于是C= 则有W=行即冰=水.积分得广=x+G由初始条件列。=1得了=x+1故所 求特解为y=√x+I 解法2由y+y2=0得yy=0.从而y=C,余下解法同解法1. 例17设线性无关的函数y、片、y,都是二阶非齐次线性方程 y+p(x)y'+q(x)y=f(x) 的解，其中G,G,是任意常数，则该非齐次方程的通解是(). A.Gy+6乃 B.G%+95-(G+Cy. C.Gy+6为-1-6-6y·D.Gy+6y+1-G-Gy 解非齐次线性方程通解的结构是对应齐次线性方程的通解加上非齐次线性方程自 身的一个特解。 A项当G+G≠1时，Gy+G乃不是方程的解，当然就不会是通解，显然不对： B项写成c(,-乃)+G0仍-为)，片-⅓与片-⅓是齐次方程的解，因而不是非齐 次方程的通解，也不对： C项将Gy+c5-1-G-c)片代入方程左边得(2c,+2c-)fx),因而当 2G+26-1≠1时，Gy+c丛-(1-G-G)以不是该方程的解，故也不是通解： D项写成c0-为)+6（仍-y)+片，片-为与片-片是齐次方程的两个线性无关的 特解，为是非齐次方程的特解，故c0-片)+G-y)+乃是非齐次方程的通解，从 而选D. 例18求下列常系数齐次线性方程的通解. (1)3y-2y-8y=0: (2)y-2y+5y=0: (3)9y-30y+25y=0. 390第十一章 微分方程 390 故由后者得 1 py C= ， 即 1 yy C  = ．由初始条件当 x = 0 时， y =1， 1 2 y  = ．于是 1 1 2 C = ， 则有 1 2 yy  = ，即 1 2 ydy dx = ．积分得 2 2 y x C = + ．由初始条件 0 1 x y = = 得 2 y x = +1, 故所 求特解为 y x = +1． 解法 2 由 2 yy y   + = 0 得 ( ) 0 yy   = ．从而 1 yy C  = , 余下解法同解法 1． 例 17 设线性无关的函数 1 y 、 2 y 、 3 y 都是二阶非齐次线性方程 y p x y q x y f x   + + = ( ) ( ) ( ) 的解，其中 1 2 c c, 是任意常数，则该非齐次方程的通解是（ ）． A． 1 1 2 2 c y c y + ． B． 1 1 2 2 1 2 3 c y c y c c y + − + ( ) ． C． 1 1 2 2 1 2 3 c y c y c c y + − − − (1 ) ． D． 1 1 2 2 1 2 3 c y c y c c y + + − − (1 ) ． 解 非齐次线性方程通解的结构是对应齐次线性方程的通解加上非齐次线性方程自 身的一个特解． A 项当 1 2 c c +  1 时， 1 1 2 2 c y c y + 不是方程的解，当然就不会是通解，显然不对； B 项写成 1 1 3 2 2 3 c y y c y y ( ) ( ) − + − ， 1 3 y y − 与 2 3 y y − 是齐次方程的解，因而不是非齐 次方程的通解，也不对； C 项 将 1 1 2 2 1 2 3 c y c y c c y + − − − (1 ) 代入方程左边得 1 2 (2 2 1) ( ) c c f x + − ，因而当 1 2 2 2 1 1 c c + −  时， 1 1 2 2 1 2 3 c y c y c c y + − − − (1 ) 不是该方程的解，故也不是通解； D 项写成 1 1 3 2 2 3 3 c y y c y y y ( ) ( ) − + − + ，1 3 y y − 与 2 3 y y − 是齐次方程的两个线性无关的 特解， 3 y 是非齐次方程的特解，故 1 1 3 2 2 3 3 c y y c y y y ( ) ( ) − + − + 是非齐次方程的通解，从 而选 D． 例 18 求下列常系数齐次线性方程的通解． （1） 3 2 8 0 y y y   − − = ； （2） y y y   − + = 2 5 0 ； （3） 9 30 25 0 y y y   − + = ．