第十一章微分方程 解(1)所给微分方程的特征方程为32-2-8=0，解得两特征根为5=-子5=2， 4 属于两个不相等特征根的情形，故其通解为 y=Ce+c 其中C与C,为任意常数， (2)所给微分方程的特征方程为2-2r+5=0,其根2=1士2i为一对共轭复根， 则所求通解为 y=e'(C cos2x+C sin2x), 其中C与C,为任意常数。 (3)所给方程的特征方程为92-30r+25=0,解得r=；(二重根)，故通解为 y=(C+C:x)e", 其中C与C,为任意常数， 例19(97研)设函数fu)具有二阶连续导数，而：=f(e siny)满足方程 +=e:, 02=02= 求f. 分先家与将代入到方程导产：中可得一个以 f()为未知函数的微分方程. 解令u=e2siny,则有 是-rogy票-iny+rme产sm 袋ar” =-f'(u)e'siny+f"(u)e"cos'y. 将与票代入方程 391 第十一章 微分方程 391 解 （1）所给微分方程的特征方程为 2 3 2 8 0 r r − − = ，解得两特征根为 1 2 4 , 2 3 r r = − = ， 属于两个不相等特征根的情形，故其通解为 4 3 2 1 2 x x y C e C e − = + ， 其中 C1 与 C2 为任意常数． （2）所给微分方程的特征方程为 2 r r − + = 2 5 0 ，其根 1,2 r i = 1 2 为一对共轭复根， 则所求通解为 1 2 ( cos2 sin2 ) x y e C x C x = + ， 其中 C1 与 C2 为任意常数． （3）所给方程的特征方程为 2 9 30 25 0 r r − + = ，解得 5 3 r = （二重根），故通解为 5 3 1 2 ( ) x y C C x e = + ， 其中 C1 与 C2 为任意常数． 例 19（97 研） 设函数 f u( ) 具有二阶连续导数，而 ( sin ) x z f e y = 满足方程 2 2 2 2 2 z z x e z x y   + =   ， 求 f u( ) ． 分析 先求出 2 2 z x   与 2 2 z y   ，然后将其代入到方程 2 2 2 2 2 z z x e z x y   + =   中即可得到一个以 f u( ) 为未知函数的微分方程． 解 令 sin x u e y = ，则有 ( ) sin z x f u e y x  =   ， 2 2 2 2 ( ) sin ( ) sin z x x f u e y f u e y x  = +    ， ( ) cos z x f u e y y  =   ， 2 2 2 2 ( ) sin ( ) cos z x x f u e y f u e y y  = − +    ． 将 2 2 z x   与 2 2 z y   代入方程 2 2 2 2 2 z z x e z x y   + =  