第十一章微分方程 可得 f()-fu)=0, 其特征方程r2-1=0,特征根为2=±1，于是 f(u)=Ce"+Ce", 其中C与C,为任意常数. 例20(01研)设y=e(sinx+S,cosx)(G,92为任意常数)为某二阶常系数线 性齐次微分方程的通解，则该方程为 分析已知常系数齐次线性微分方程来求其通解与已知通解来确定其方程互为逆运 算.已知通解来确定其方程，可以直接求导求出任意常数代入通解中得到其方程，也可 以借助于特征方程及特征根与方程的关系来确定方程.由此题所给通解形式可知，特征 方程有一对共轭复根。 解法1类似例1，可通过求出y与y消去G,G的方法得到所求微分方程，请读者 自行完成， 解法2由通解的形式可知特征方程的两个根是2=1±1，从而得知特征方程为 -5Xr-5)=r2-G+5)r+r5=r2-2r+2=0. 故所求微分方程为 y'-2y+2y=0 例21求下列常系数齐次线性方程的通解： (1)y-3y+3y-y=0: (2)y9+2y+y=0. 解(1)原方程对应的特征方程为r3-32+3r-1=0即(r-)=0,得r=1,为三 重根，因此方程的通解为 y=(C+Cx+Cx2)e", 其中C、C、C为任意常数， (2)原方程对应的特征方程为r+2r2+1=0即(2+1)=0，特征根r=甘是二重 392第十一章 微分方程 392 可得 f u f u ( ) ( ) 0 − = ， 其特征方程 2 r − =1 0 ，特征根为 1,2 r =1 ，于是 1 2 ( ) u u f u C e C e− = + ， 其中 C1 与 C2 为任意常数． 例 20（01 研） 设 1 2 ( sin cos ) x y e c x c x = + （ 1 2 c c, 为任意常数）为某二阶常系数线 性齐次微分方程的通解，则该方程为 ． 分析 已知常系数齐次线性微分方程来求其通解与已知通解来确定其方程互为逆运 算．已知通解来确定其方程，可以直接求导求出任意常数代入通解中得到其方程，也可 以借助于特征方程及特征根与方程的关系来确定方程．由此题所给通解形式可知，特征 方程有一对共轭复根． 解法 1 类似例 1，可通过求出 y  与 y  消去 1 2 c c, 的方法得到所求微分方程，请读者 自行完成． 解法 2 由通解的形式可知特征方程的两个根是 1,2 r i = 1 ，从而得知特征方程为 2 2 1 2 1 2 1 2 ( )( ) ( ) 2 2 0 r r r r r r r r r r r r − − = − + + = − + = ． 故所求微分方程为 y y y   − + = 2 2 0 ． 例 21 求下列常系数齐次线性方程的通解： （1） y y y y    − + − = 3 3 0 ； （2） (4) y y y + + = 2 0  ． 解 （1）原方程对应的特征方程为 3 2 r r r − + − = 3 3 1 0 即 3 ( 1) 0 r − = ，得 r =1 ，为三 重根，因此方程的通解为 2 1 2 3 ( ) x y C C x C x e = + + ， 其中 C1 、 C2 、C3 为任意常数． （2）原方程对应的特征方程为 4 2 r r + + = 2 1 0 即 2 2 ( 1) 0 r + = ，特征根 r i = 是二重